مقاله ارزیابی روشهای حل معادله انتقال – پخش ( Advection Diffusion ) به روش احجام محدود ( Finite Volume )

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

ارزيابي روشهاي حل معادله انتقال – پخش (Advection Diffusion) به روش احجام محدود
(Finite Volume)
چکيده
معادله انتقال - پخش از معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي است و از ترکيب معادله پيوستگي وقانون اول فيک بدست مي آيد. اين معادله کاربردهاي فراواني در شبيه سازي پديده هاي هيدروليکي دارد. در حل معادلات جريان غير ماندگار در مجاري روباز دو معادله ي انتقال و پخش کاربرد بسيار دارند. در جريان هاي غير ماندگار جهت حل معادلات سنت ونانت در حالت هاي مختلف از اين معادلات استفاده مي گردد. لذا حل اين معادلات از اهميت بالايي برخوردار مي باشد. جهت حل معادله ي انتقال – پخش روش هاي مختلف عددي ارائه گرديده است . در روش هاي احجام محدود با استفاده از شبکه ي نامنظم مثلثي به راحتي مي توان هر ميدان با شرايط مرزي پيچيده را مورد تحليل قرار داد. به همين دليل ارزيابي روش هاي احجام محدود در حل معادله ي انتقال – پخش ، موضوع تحقيق حاضر در نظر گرفته شده است . در اين تحقيق به بررسي ارزيابي روشهاي حل معادله انتقال – پخش به روش احجام محدود و مقايسه نتايج پرداخته شده است . مقايسه ي حل تحليلي و عددي در اين تحقيق نشان مي دهد که در حل معادله ي انتقال با افزايش مرتبه ي دقت شماي عددي نتايج حل تحليلي و عددي به هم نزديک تر مي گردد. لکن ميزان دقت حاصله متناسب با هزينه ي محاسباتي روش ها نمي باشد. روش PPM بيشترين همخواني در حل معادله ي انتقال با حل تحليلي اين معادله دارد. گر چه روش Fromm از دقت مرتبه ي دوم برخوردار است لکن نتايج بسيار مطلوبي ارائه مي دهد. روش هاي St FV١ و Lax Wandrof داراي خطاي بالايي در حل معادله ي انتقال خالص مي باشند. در شرايط وجود دو پديده ي انتقال و پخش در يک مسئله ي فيزيکي يا هيدروليکي، نتايج تحليل ها نشان مي دهد که استفاده از روش هاي با دقت بالا در حل معادله ي انتقال نياز نبوده و بسته به ضريب ديفيوژن پديده ي موردنظر بايد اقدام به انتخاب شماي عددي در حل معادله ي انتقال نمود. در اين راستا توصيه مي گردد در صورت پايين بودن ميزان ديفيوژن از روش Lax يا Fromm استفاده گردد لکن در شرايط ناچيز بودن ضريب ديفيوژن ، روش هاي مرتبه ي بالا پيشنهاد مي گردد.
کلمات کليدي: معادلات سنت ونانت ، حل عددي، معادله انتقال – پخش ، روش احجام محدود.
١- مقدمه
معادله انتقال - پخش از معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي است و از ترکيب معادله پيوستگي وقـانون اول فيـک بدسـت مـي آيـد. در حل معادلات جريان غير ماندگار در مجاري روباز دو معادله ي انتقال و پخش کاربرد بسيار دارند. در جريان هاي غير ماندگار جهـت حـل معادلات سنت ونانت در حالت هاي مختلف از اين معادلات استفاده مي گردد. در حل معادله ي موج ديناميک هـر دو معادلـه ي انتقـال و پخش ظاهر مي گردد. همچنين معادله ي موج سينماتيک ، همان معادله ي انتقال مي باشد. معادله ي موج ديفيوژن نيـز همـان معادلـه ي پخش مي باشد. لذا حل اين معادلات از اهميت بالايي برخوردار مي باشد. جهت حل معادله ي انتقال – پخش روش هاي مختلف عـددي ارائه گرديده است . لکن در هيدروليک حل احجام محدود اين معادلات از ارزش بالايي برخوردار مي باشد و در روند حل ايـن معـادلات بـه دليل استفاده از احجام کنترل و معادلات انتگرالي سيالات ، جرم در روند محاسـبات تغييـر نمـي کنـد(Mass Conservative).در روش هاي احجام محدود بسيار ساده تر بـه روش هـاي بـا دقـت بـالا ميتـوان دسـت يافـت . لکـن در روش هـاي تفاضـل محـدود ( Finite Difference) دست يابي به روش هاي با دقت مراتب بالا بسيار سخت بوده و هزينـه ي محاسـباتي بـالايي دارد. لازم بـه ذکـر اسـت
اعمال شماي تفاضل محدود در ميدان هاي با شرايط مرزي پيچيده ، که در عمل زياد اتفاق مي افتد، بسيار سخت و عملا غير ممکن مـي باشد. اما در روش هاي احجام محدود با استفاده از شبکه ي نامنظم مثلثي به راحتي مي توان هر ميدان با شرايط مـرزي پيچيـده را مـورد تحليل قرار داد. [١].
٢- تاريخچه تحقيق
نجفي جيلاني وبني هاشمي (١٣٨٠) با استفاده از الگوي منقطع سازي QUICK وQUICKEST به حل عددي معادله انتقـال پرداختنـد و منحني جواب هارا با منحني هاي درجه يک ودو وسه وچهار شبيه سازي کردند کـه در نهايـت نتيجـه گرفتنـد کـه منحنـي درجـه سـه بهترين وبهينه ترين دقت را در شبيه سازي پديده انتقال دارد[٢]. فرامرز وهمکاران (١٣٨٤) باحل عددي معادله انتقال وپخـش در رودخانـه هاي با پهنه سيلابي وتوسعه کد POLLUTE١ نتيجه گرفتند که اثر متقابل منطقه سيلاب دشت ومنطقـه جريـان اصـلي باعـث کـاهش ضريب پخش طولي مي شود در نتيجه غلظت آلاينده در زمان بيشتري بـه نقطـه معينـي مـي رسـد. کاشـفي پـور وتـوکلي زاده (١٣٨٤) بااستفاده از روش UITIMATE QUICKEST به حل عددي معادله انتقال وپخش براي آلودگي انتقال رسوب پرداختند ومدل خـود را با يک مدل استاندارد مقايسه نمودند وصحت مدل در پيش بيني انتقال آلودگي اثبات گرديد. احمدي وقـادري (١٣٨٩) بـه حـل عـددي معادله انتقال وپخش به روشهاي حجم محدود و با روشهاي مختلف پرداختند وضمن پيدا کردن بهترين الگو کـه کمتـرين خطـا را داشـته باشد به شرايط پايداري خطي الگو هاي مختلف عددي پرداختند ونتيجه گرفتند که شکل فـروم بيشـترين دقـت را دارا مـي باشد.کاشـفي پور(٢٠٠٢) مدل Faster را جهت تخمين پارامترهاي هيدروليکي به کار رفته در معادله انتقال - پخش ارائه کرد. در ايـن مـدل معـادلات سنت ونانت با استفاده از الگوي تفاضل محدود ضمني مرکزي به همراه روش يک در ميان اندازه شبکه متغير بصـورت عـددي حـل شـده اند. وي در سال ١٣٨٧ از روش ترکيبي UITIMATE QUICKEST و روش عـددي صـريح ، ضـمني و يـک روش جـامع کـه از ترکيب سه روش فوق است ، استفاده نمود و مدلي را براي شبيه سازي انتقـال و پخـش آلـودگي ارائـه داد. سـيگ (٢٠٠٢) مـدل بهينـه معادله انتقال وپخش (MADE) را پيشنهاد کرد. سينگ سه مدل از مدلهايي که براي اصلاح معادله انتقـال و پخـش بـه کـار مـي رود را براي داده هاي سه رودخانه در ايالات متحده به کاربردند و نتيجه گرفتند که مدل بهينه معادله انتقـال - پخـش در مقايسـه بـا مـدل نگـه داشت موقت و معادله انتقال و پخش جزئي داراي پارامترهاي کمتري است و از لحاظ کاربرد نيز ساده تـر اسـت (٢٠٠٨ ,Singh). زي و هان (٢٠٠٩) مدل مقياسي را براي مدل سازي انتشار آلودگي در رودخانه هاي با پهنه سيلاب پيشنهاد دادند. اين مدلها شامل سه بخـش است : ١- حل معادله انتقال وپخش که ترم منطقه نگه داشت (ذخيره ) موقت را درنظر گرفته است . ٢- مدل براي پـيش بينـي پخشـيدگي طولي هم مناسب است و ٣- مدل شامل يک عملگرگسسته ساز است که براي حل عددي معادله انتقال وپخش بسيار مناسب است [٣].
٣- تئوري مسئله
در اکثر مسائل هيدروليکي جهت حل مسايل از ديدگاه اويلري استفاده مي گردد. بدين شکل که بجاي بررسي رفتار ذره در ميـدان جريـان به بررسي حجم کنترل (Control Volume) پرداخته مي شود. از ويژگي هاي ديدگاه اويلـري آن اسـت کـه سـطح کنتـرل ( Surface Control) حجم مذکور، قابليت عبور جرم را دارد. جهت نوشتن قانون بقاي جرم در هرC.V، لازم است جرم عبوري از سـطوح کنتـرل محاسـبه گـردد. ميـزان جـرم عبـوري از واحـد سـطح S.V را شـار ( Flux ) مـي نامنـد. شـار عبـوري بسـته بـه جهـت قرارگيـري (Orientation) صفحه موردنظر تغييرعلامت مي دهد به گونه اي که شار در جهت بـردار نرمـال صـفحه مثبـت و در خـلاف جهـت آن منفي ميباشد. شار (Flux) بصورت رابطه زيرقابل بيان مي باشد[١]:

در سيالات ، جرم از طريق دو فرآيند انتقال ( Advection ) و پخش ( Diffusion ) از سطح کنتـرل عبـور مـي کنـد. بنـابراين فـلاس عبوري از S.V بصورت رابطه ي (٢) تعريف مي گردد:

در اين رابطه ، Flux : شار کل ، Fluxadv شار ناشي از انتقال و Fluxdiff شار ناشي از پخش مي باشد.
Fluxadv ميزان جرم عبوري از واحد سطح کنترل ، توسط سرعت جريان مي باشد و بصورت حاصلضرب غلظت در سـرعت قابـل بيـان مي باشد:

C : غلظت در مرز سطح کنترل ، n : بردار نرمال سطح کنترل و v : بردارسرعت در سطح کنترل مي باشد.
Fluxdiff ميزان جرم عبوري از واحد سطح کنترل ، ناشي از ديفيوژن ملکولي و ديفيوژن تلاطم مي باشد و به صـورت زيـر بيـان مـي گردد:

در اين رابطه C∂ : تغييرات غلظت در راستاي عمود بر سطح کنترل ، n : بردار نرمال سـطح کنتـرل و Dn: ضـريب ديفيـوژن در راسـتاي nعمود بر سطح کنترل مي باشد.
معادله اساسي انتقال جرم بصورت رابطه ي (٥) تعريف ميگردد. اين معادله بيان مي کند که حاصل جمع تغييـرات جـرم ورودي نسـبت بـه زمان ، درون حجم کنترل و خالص جرم عبوري از سطوح کنترل برابر صفر مي باشد.

باجايگزين کردن روابط (٢) و (٣) و (٤) دررابطه فوق داريم :

معادله فوق شکل عمومي و جامع معادله انتقال – پخش مي باشد. در صورتيکه جريان غير قابل تـراکم و ضـرايب ديفيـوژن در هـر راسـتا ثابت در نظر گرفته شود با يک جايگذاري ساده و استفاده از رابطه پيوسـتگي، رابطـه (٧)، معادلـه بـه شـکل سـاده ي رابطـه (٨) حاصـل مِيگردد[٢]:

٣-١- ضريب ديفيوژن
ديفيوژن در هيدروليک عموما به دو شکل پخش ملکـولي� (Molecular Diffusion ) و پخـش در اثـر تلاطـم ∋ ( Diffusion Turbulent) ظاهر مي شود. در صورت وجود ديفيوژن ملکولي، ضريب � مقداري ثابت و وابسـته بـه شـرايط مرزهـاي حجـم کنتـرل ميباشد لکن ضريب ديفيوژن تلاطم ، بسته به شرايط مي تواند مثبت و يا منفي باشد.

در اين رابطه σ انحراف معيار توزيع ابر غلظت مي باشد.
در محاسبه ضريب ديفيوژن ناشي از تلاطم ، عموما l٢=σ٢ و ′t=l∆ تعريف ميگردد بنابراين ضـريب ديفيـوژن مـتلاطم کـه بـا ∋ uنشان مي دهيم برابر است با:

در روابط فوق l طول اختلاط پرانتل و ′u مشخصه سرعت ادي مي باشد. بر اساس بررسي هاي تجربي انجام گرفته ، مقدار ضـريب ∋ در مقطع عرضي يک آبراهه تابعي از مقادير عمق جريان (Y) و سرعت متوسط (U)به صورت زير برآورد گرديده است

ضريب ديفيوژن کل در هيدروليک با D نشان داده شده و به صورت حاصل جمع ديفيوژن ملکولي و ديفيوژن تلاطم تعريف مي گردد:

ذکر اين نکته ضروري است که در محاسبه بار معلق که عموما جريان متلاطم است ، ∋=D بوده و در محاسـبه بـار بسـتر کـه جريـان عموما در لايه مرزي اتفاق مي افتد و جريان آرام است D= � مي باشد[١].
٤- حل تحليلي معادله ي انتقال - پخش
در مسائل عددي لازم است معادله انتقال – پخش به سه معادله در جهت x ،y و z تفکيک گردد همچنـين بـراي حـل معادلـه در هـر جهت ، تفکيک اين معادله به دو بخش انتقال (Advection) و پخش (Diffusion) در دستور کار قرار مي گيرد. بنابراين حـل تحليلـي دو معادله مذکور بصورت مجزا جهت ارزيابي حل عددي مفيد مي باشد. در ادامه به حل تحليلي معادله يادشـده در يـک بعـد و همچنـين معادلات انتقال و پخش بصورت مجزا اشاره مي گردد. معادله انتقال - پخش در حالت يک بعدي بر اساس رابطـه (١٣) قابـل بيـان مـي باشد:

حل تحليلي معادله (١٣) با انواع شرايط مرزي موجود مي باشد و منجر به يک توزيع نرمال گوسي مي شود که به حل گوسي هـم معـروف مي باشد. اضافه مي گرددکه تابع توزيع احتمال براي يک متغير نرمال C با ميانگين μ و انحراف معيارσ به صورت زير تعريف مي گردد:

پس از تفکيک معادله يک بعدي انتقال – پخش ، شکل عمومي معادله انتقال (Advection) به صورت رابطه (١٥) بيان مي گردد:

اين معادله داراي جواب تحليلـي عمـومي(F)x−ut=C)x,t( مـي باشـد. جـواب تحليلـي معادلـه بـا شـرايط اوليـه =(٠,C)x
2((x٢٠−x)−exp) بصورت رابطه زير مي باشد که يک توزيع نرمال (Gaussian Distribution) مي باشد:

همچنين شکل عمومي معادله پخش (Diffusion) پس از تفکيک به صورت رابطه (١٧) قابل بيان مي باشد:

ايـن معادلـه تحـت شـرايط مـرزي مختلـف داراي جـواب تحليلـي متفـاوتي اسـت . جـواب تحليلـي بـا شـرايط اوليـه ي، =(٠,C)x((x٢٠−x)−exp) ، بصـورت رابطـه (١٨) بيـان ميگــردد. همـانطور کـه مشـاهده ميشــود حـل تحليلـي ايـن معادلــه نيـز يـک توزيــع 2σنرمال (Gaussian Distribution) مي باشد[٤]:

لازم به ذکر است در اين تحقيق جهت ارزيابي روش هاي عددي احجام محدود در حل معادلات انتقال و پخـش ، از دو رابطـه ي (١٦) و (١٨)، که حل تحليلي معادلات مذکور در نيم صفحه با شرايط اوليه ي(٢(x٢٠−x)−exp)=(٠,x) مي باشند، استفاده مي گردد.
٥- روشهاي عددي حل معادله انتقال - پخش
از آنجا که حل تحليلي معادله انتقال - پخش براي هندسه هاي پيچيده غيرممکن ويا بسيار مشکل مي باشـد، بسـياري از محققـان بـه حل عددي اين معادلات روي آورده اند. ذکر اين نکته ضروري است که معادله ي انتقال ( Advection ) داراي حل تحليلي است لکـن هميشه انتقال به تنهايي اتفاق نمي افتد بعلاوه بدست آوردن جواب خصوصي اين معادله در هندسه هاي پيچيده بصـورت مسـتقيم امکـان پذيرنمي باشد. همچنين معادله پخش ( Diffusion ) در نواحي خاص هندسي منظم ، از جمله نيم صفحه ، ربع صـفحه ، نـوار و .... داراي حل تحليلي است لکن در نواحي و هندسه هاي پيچيده ، حل تحليلي بسيار مشکل و يا غير ممکن مي باشد. لذا حل عددي ايـن معـادلات از اهميت بالايي برخوردار مي باشد. روش هاي مختلـف عـددي بـراي حـل معادلـه مـذکور شـامل روش مشخصـه ( Characteristic Method)، تفاضل محدود(Finite Difference)، احجام محدود (Finite Volume) و .... مي باشد. [٥] در اين تحقيـق بـه بررسـي روش هاي حـل معادلـه ي انتقـال شـامل ١) روش مرتبـه اي اول First Order Finite Volume( F.V) ، ٢) روش Lax Wandrof F. V ، ٣) روش Fromm ، ٤) روش Quickest F.V و ٥- روش PPM روش هاي حل معادله ي پخش شامل ١) روش حل صريح (Explicit Method )
٢) روش حل ضمني (Implicit Method ) پرداخته مي شود.
٦- ارزيابي دقت و پايداري مسئله
از مهم ترين مسائل مرتبط با روش هاي عددي حل معادلات ديفرانسيل ، بررسي پايداري حل شماي عددي و ارزيـابي ميـزان دقـت روش مورد نظر مي باشد. اين مهم در حل معادلات با مشتقات جزئي انتقال – پخش نيز مطرح بوده و از اهميت بسزايي برخـوردار اسـت . بطـور خلاصه مي توان گفت در پايداري و ارزيابي دقت معادلات مذکور، دو شاخص نسبت سـرعت فيزيکـي بـه سـرعت عـددي ( Courant Number) و اندازه ي ابعاد شبکه (Resolution) تعيين کننده مي باشد. براي بررسي نحوه ي تاثير اين دو شاخص بر پايداري و ميـزان دقت روش هاي عددي، از پارامتري به نام ضريب تشديد (Amplification Factor) که با نمـاد G نشـان داده ميشـود، اسـتفاده مـي گردد.
اگر ميزان غلظت در يک گره براي گام زماني n و ١+n به يک سري فوريه مختلط بسط داده شود، جهت تضمين پايداري حل لازم اسـت در مسير حل عددي، ضرايب سري فوريه بصورت يک به يک روند صعودي نداشته باشند. بعبارت ديگـر مقـادير ضـرايب در گـام زمـاني
١+n بيشتر از مقادير متناظر در گام زماني n نباشد. نسبت اين ضرايب در گام زمـاني ١+n(١+An) بـه مقـادير متنـاظر در گـام زمـاني ضريب تشديد تعريف مي گردد. بنابراين جهت تضمين پايداري لازم است ١≥G باشد. ضريب تشـديد در نهايـت An براي هر روش تابعي از عدد کورانت ( و ابعاد شبکه بصورت رابطه ي زير قابل بيان مي باشد.

لازم به ذکر است براي يک شماي عددي هر چه ضريب تشديد به يک نزديک تر باشد شرايط براي حل عددي مطلوب تر مي باشد.
جهت ارزيابي دقت يک شماي عددي، از پارامتري به نام خطاي فاز (Phase Error) استفاده مي گردد. اين پارامتر خطاي ناشي از اختلاف بين سرعت عددي و سرعت فيزيکي را نشان مي دهد. هر چه تعداد گره هاي شبکه بيشتر باشد خطاي فاز کمتر مي باشد و برعکس . خطاي فاز با علامت (�) نشان داده شده و بر حسب مقادير موهومي (���) و حقيقي (���) ضريب تشديد ، براساس رابطه ي (٢٠)زير بيان مي گردد[١١]:

٧- نتايج و بحث
٧-١ - مقايسه حل تحليلي و عددي
همانطور که در مباحث قبل اشاره گرديد، جهت بررسي روش هاي مختلف احجام محدود در حل عـددي معادلـه ي انتقـال پخـش ، سـعي گرديده است ميدان حل و شرايط مرزي به گونه اي انتخاب گردد که در آن ميدان ، با اعمال شرايط مرزي، بتـوان حـل تحليلـي معادلـه ي انتقال پخش را بدست آورد. در اين راستا از حل تحليلي معادله ي انتقال و پخش در نيم صفحه استفاده گرديده است . لذا يک توزيـع اوليـه ي غلظت بصورت نرمال در ابتداي گام زماني بعنوان شرايط اوليه در نظر گرفته شده و موقعيت و تغييرات اين توزيع در انتهاي گـام زمـاني بصورت تحليلي حاصل شده است . در ادامه با کد نويسي در محيط فرترن ، حل عددي معادله ي انتقال و پخش با شرط اوليه ي ذکر شـده در فوق ، براي روش هاي مختلف احجام محدود حاصل گرديده است . جهت ارزيابي روش هاي مختلف احجام محدود، خروجي برنامـه ي فرترن در انتهاي گام زماني با