بخشی از مقاله
خلاصه
در مقاله حاضر نیروی تحریک ناشی از تفرق موج آب وارد بر استوانه قائم با مقطع دایرهای با در نظر گرفتن تئوری موج خطی با استفاده از روش نیمه تحلیلی اجزای محدود مرزی مقیاسشده که ترکیبی از ویژگی های روشهای اجزای محدود و المان مرزی است محاسبه شده است. معادله حاکم در راستای پیرامونی ضعیف شده و با استفاده از المانهای یک بُعدی درجه سه، چهار گرهی گسستهسازی شده است. در راستای شعاعی معادله حاکم به فرم قوی خود باقی مانده و با استفاده از روش تحلیلی حل شده است. نیروی تحریک محاسبه شده با استفاده از مدل اجزای محدود مرزی مقیاسشده با نتایج تحلیلی مقایسه شده است، بررسی نتایج نشان دهنده دقت بالا و بازدهی مناسب روش اجزای محدود مرزی
مقیاسشده است.
کلمات کلیدی: روش اجزای محدود مرزی مقیاسشده، استوانه قائم با مقطع دایرهای، نیروی تحریک موج.
.1 مقدمه
استوانه قائم با مقطع دایره ای از مقاطع پرکاربرد در صنایع دریایی و به صورت ویژه در سازههای فراساحل به شمار میرود. محاسبه نیروی تحریک موج وارد بر استوانه قائم در سازه های دریایی از اهمیت بالایی برخوردار است. مطالعات فراوانی در زمینه محاسبه نیروی تحریک ناشی از تئوری تفرق وارد بر استوانه قائم با استفاده از روشهای عددی، تحلیلی و آزمایشگاهی انجام گرفته استتفرق. موج خطی با یک استوانه نسبتاً بزرگ در آب با عمق دلخواه برای نخستین بار توسط مککامی و فوکس[1] با استفاده از روش تحلیلی ارائه شد. اندرکنش موج با یک استوانه قائم بزرگ با استفاده از روش آزمایشگاهی توسط چاکرابارتی و تام[2] انجام گرفت.
از جمله روشهای عددی پرکاربرد مورد استفاده در بررسی اندرکنش سازه و موج آب میتوان به روشهای اجزای محدود و المان مرزی اشاره نمود. زینکیویچ و بتس[3] تفرق و انعکاس موج را با استفاده از روش های اجزای محدود و نامحدود بررسی نمودند. سپس آیو و بربیا[4] با استفاده از روش المان مرزی تفرق موج را در استوانه قائم با مقاطع مختلف مورد مطالعه قرار دادند. برای نخستین بار روش اجزای محدود مرزی مقیاس شده توسط ولف[5] به منظور بررسی اندرکنش سازه و خاک معرفی شد. لی و همکاران[6]معادله دو بُعدی هلمهولتز را برای استوانه قائم با مقاطع مختلف با استفاده از روش اجزای محدود مرزی مقیاس شده حل نمودند.
همچنین تاو و همکاران[7] تفرق موج با یک استوانه قائم را با در نظر گرفت امواج کوتاه با استفاده از روش اجزای محدود مرزی مقیاسشده مورد بررسی قرار دادند.روش نیمه تحلیلی اجزای محدود مرزی مقیاسشده ترکیبی از ویژگیهای روشهای اجزای محدود و المان مرزی است. روش اجزای محدود مرزی مقیاسشده یک روش المان مرزی بدون حل بنیادی و یک حل نیمه تحلیلی به روش اجزای محدود است. در روش اجزای محدود مرزی مقیاسشده یک دستگاه مختصات جدید شامل راستای پیرامونی موازی با مرز دامنه مسئله و راستای شعاعی تعریف میشود. معادله حاکم که به معادله دیفرانسیلهلمهولتز دو بُعدی تبدیل شده است، با بکارگیری روش باقیمانده وزندار در راستای پیرامونی ضعیف شده و با استفاده از المانهای یک بُعدی گسسته سازی میشود.
معادله حاکم در راستای شعاعی که شامل دستگاه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است به دستگاه معادلات معمولی تبدیل شده و در فرم قوی خود باقی میماند و به معادله دیفرانسیل بسل تبدیل میشود که با روش تحلیلی حل میگردد. در مقاله حاضر نیروی تحریک ناشی از تفرق موج از یک استوانه قائم با مقطع دایرهای به روش اجزای محدود مرزی مقیاسشده محاسبه شده است. نتایج حاصل از روش عددی با نتایج تحلیلی مورد بررسی و مقایسه قرار میگیرد. بررسی نتایج نشان دهنده دقت بالا و بازدهی مناسب در روش مورد استفاده است.
.2 تعرف مسئله
یک استوانه قائم که از بستر دریا تا میانگین سطح آزاد آب در راستای محور امتداد یافته است و تحت امواج برخوردی در راستای محور قرار دارد در نظر گرفته می شود. تئوری تفرق موج یک مسئله مقدار مرزی است، که با فرض غیر لزج، تراکم ناپذیر و غیر چرخشی بودن سیال معادله حاکم بر تئوری تفرق، معادله لاپلاسدر سه بُعد است که با تابع پتانسیل در دامنه تعریف میشود.
شرایط مرزی مسئله مقدار مرزی حاکم، شرط مرزی دینامیکی سطح آزاد و شرط مرزی نفوذ ناپذیری بستر دریا است. این شرایط، شرایط مرزی تئوری موج خطی هستند که به ترتیب با روابط - 2 - و - 3 - به صورت زیر تعریف میشوند.
همچنین در روابط فوق متغیر زمانی، شتاب ثقل و عمق آب است. پتانسیل سرعت از سه متغیر مکانی و یک متغیر زمانی تشکیل میشود. با توجه به این که مسئله مقدار مرزی تفرق یک مسئله خطی است، بنابراین میتوان تئوری تفرق را به صورت حاصلضرب سه تابع مستقل از هم به صورت زیر در نظر گرفت. پارامترفرکانس موج و√هستند. با استفاده از رابطه - 4 - و اعمال تکنیک جداسازی متغیرها در معادله لاپلاس - - 1 و شرط مرزی نفوذ ناپذیری بستر دریا که با رابطه - 3 - بیان شده است، تابع عمق آب به صورت زیر تعریف میشود.در رابطه فوق معرف عدد موج است. با اعمال تکنیک جداسازی متغیرها در شرط مرزی دینامیکی سطح آزاد و استفاده از تابع عمق آب که با رابطه - 4 - بیان شده است، عدد موج برابر است با:
معادله لاپلاس حاکم در سه بُعد که با رابطه - 1 - معرفی شده است با استفاده از تکنیک جداسازی متغیرها و اعمال شرایط مرزی فوق بهمعادله هلمهولتز در دو بُعد تبدیل میشود. در تئوری تفرق شرط مرزی نفوذ ناپذیری سطح جسم و شرط مرزی تشعشعی در بی نهایت که به شرط مرزی سامرفلد معروف است با روابط - 8 - و - 9 - معرفی می گردند.
⃗بردار یکّه عمود بر سطح، بالا نویسهای و در پتانسیلهای سرعت و به ترتیب معرف پتانسیل امواج پراکنده شده در حضور جسم و پتانسیل سرعت امواج برخوردی در غیاب جسم ناشی از تئوری موج خطی هستند. همچنین معرف راستای شعاعی استبردار. یکّه عمود بر سطح در مقطع دایره ای برابر با شعاع دایره یعنی است. با اعمال شرایط مرزی - 2 - و - 3 - و استفاده از روابط - - 5 و - 6 - و با فرض عمیق بودن آب، پتانسیل سرعت امواج برخوردی در غیاب جسم ناشی از تئوری موج خطی در مختصات استوانهای با رابطه زیر قابل بیان است.
در رابطه فوق ارتفاع موج و تابع بسل نوع اول از مرتبه است. ضریب به صورت زیر تعریف میشود. به منظور انتقال معادله دو بُعدی هلمهولتز از مختصات کارتزین به مختصات استوانهای، جهت برقراری شرط مرزی سامرفلد که با رابطه - - 9 معرفی شده است، از تابع هنکل استفاده می شود. با اعمال شرط مرزی نفوذ ناپذیری جسم که در رابطه - 8 - بیان شده است، پتانسیل سرعت امواج پراکنده شده در حضور جسم با فرض عمیق بودن آب در مختصات استوانهای برابر است با: در رابطه فوق، و به ترتیب معرف مشتق اول تابع بسل نوع اول، تابع هنکل نوع دوم از مرتبه و مشتق اول تابع هنکل نوع دوم هستند. با توجه به فرض خطی بودن تئوری تفرق، تابع پتانسیل کل از حاصل جمع پتانسیل سرعت امواج برخوردی و پتانسیل سرعت امواج پراکنده شده حاصل میشود.
