بخشی از مقاله
کلید واژه: پخشیدگی افقی، حل ضمنی، شبکهبندي سیگما، شبکهبندي پلکانی، الگوریتم توماس.
-1 مقدمه
نقش دریاها در زندگی بشر از دیرباز بهگونهاي بوده که بسیاري از نیازهاي خود را از طریق آن برآورده میساخته است. در این میان سواحل و بنادر بعنوان محل ورود و دسترسی به دریاها و اقیانوسها داراي جایگاه ویژهاي میباشند، به همین دلیل بررسی و مطالعه در زمینه مهندسی سواحل و دریا از اهمیت خاصی برخوردار بوده است. امروزه براي شناخت بیشتر و مدلسازي فرایندهاي دریایی نظیر امواج و جریانات دریایی، انتقال رسوب، پخش آلودگی، شوري، حرارت و محیط زیست دریا، مدلهاي عددي بسیاري چه بصورت مهندسی و بزرگ مقیاس و چه مدلهاي کوچک مقیاس و عمدتا با کاربردهاي تحقیقاتی توسعه یافتهاند. در مدلهاي عددي و به منظور پیشبینی تراز متغیر سطح آزاد سیال، روشهاي عددي گوناگونی پیشنهاد شده است. روش تبدیل مختصات سیگما و روشهاي مبتنی بر انتقال حجم سیال نظیر Maker and Cell - MAC - [1] و Volume of Fluid - VOF - [2] از روشهاي ارائه شده بدین منظور میباشند. شبکهبندي سیگما که اولین بار درسال [3] 1975 معرفی شد، شبکهبندي منحنیالخط غیرمتعامد منطبق با مرزي میباشد که با سطح آزاد آب و بستر محدوده محاسباتی در دو سمت منطبق میشود.
محاسبه صحیح انتقال ناشی از پخشیدگی1 در مدلسازي پدیدههاي هیدرولیکی و هیدرودینامیکی از اهمیت بالایی برخوردار میباشد. انتقال ناشی از پخشیدگی مهمترین نقش در توزیع آشفتگی را بازي میکند .[4] انتقال رسوب در سواحل یا کانالها، تخلیه فاضلاب، پخش آلودگی، میزان کیفیت آب، اختلاط آب شیرین و آب شور و فرایندهاي مربوط به محیطزیست بطور مستقیم با انتقال ناشی از پخشیدگی در ارتباط میباشند. تمامی موارد فوق بیانگر نقش مهم ترم پخشیدگی در معادلات حاکم بر فرایندهاي فیزیکی و بخصوص فیریک دریا و رودخانه میباشند. براي حل معادله پخشیدگی در مختصات سیگما نیاز به تبدیل معادلات از دستگاه مختصات کارتزین به سیستم مختصات سیگما میباشد. در این تبدیل، ترمهاي اضافیاي در معادلات حاصل میگردد که در روشهاي مرسوم با صرف نظر کردن از برخی از این ترمهاي اضافه شده، به حل معادلات در سیستم مختصات سیگما پرداخته میشود که باعث ایجاد خطاهاي عددي میگردد. براي کاهش خطاي بوجود آمده روشهاي مختلفی پیشنهاد و ارائه شده است. در روش دیگر بدون تبدیل معادلات از سیستم مختصات، تنها با استفاده از شبکهبندي سیگما و حل معادلات در سیستم مختصات کارتزین به حل معادلات پرداخته میشود که در مطالعه حاضر این روش بکار گرفته شده است.
در روش دوم که بدان اشاره شد، میتوان مقدار پخشیدگی افقی را در فضاي مختصات کارتزین و با استفاده از درونیابی خطی محاسبه کرد .[5] در این روش براي محاسبه مقدار غلظت همتراز افقی سلول مورد نظر، از درونیابی خطی استفاده میشود که ضمن مزیت خود مبنی بر حفظ تفسیر فیزیکی گرادیان افقی داراي نقایصی است که میتوان به تولید خطاي عددي در مواردي با توزیع غلظت بصورت غیرخطی، اشاره کرد. در برخی مطالعات، معادلات تبدیل دیگري براي محاسبه مستقیم پخشیدگی افقی در شبکهبندي سیگما مطرح شدند که با تبدیل معادلات پخشیدگی از دستگاه مختصات کارتزین به سیستم مختصات سیگما به حل معادله پخشیدگی افقی پرداختهاند - مانند [6] و . - [7] در این روش ترمهاي اضافی ایجاد شده بدلیل تبدیل و انتقال معادلات از دستگاه مختصات کارتزین به سیستم مختصات سیگما، سبب پیچیدگی در حل معادلات میگردد که براي راحتی کار و بر اساس اهمیت ترمهاي اضافی بوجود آمده، از برخی از آنها صرفنظر میکنند.
برخی محققین [8] با استفاده از درونیابی چند جملهاي لاگرانژي و با بکارگیري روش تفاضل محدود روشی پیشنهاد دادهاند که خطاي حاصل شده در حل معادلات پخشیدگی در سیستم مختصات سیگما را با دقت بسیار خوب کاهش میدهد. در این روش براي محاسبه مقدار شار عبوري از مرز سلولها در جهت افقی، ابتدا با استفاده از درونیابی چند جملهاي لاگرانژي مقدار غلظت همتراز افقی سلول با سلول مورد نظر، در سمت چپ و راست محاسبه میگردد. سپس مقدار شار عبوري بر اساس اختلاف غلظت سلول مورد نظر با مقدار غلظت محاسبه شده در دو سمت سلول محاسبه میگردد.کارهاي اشاره شده در فوق، تماما به ارائه روشهایی جهت حل صریح1 معادله پخشیدگی میپردازند. در مطالعه حاضر علاوه بر ارائه روشی جدید و بر مبناي روش احجام محدود براي افزایش دقت حل معادله، به حل ضمنی2 این معادله با استفاده از روش الگوریتم توماس یا الگوریتم جاروي دو مرحله3 پرداخته شده است.
حل معادله پخشیدگی به روش صریح، انتخاب مقادیر گام زمانی و مکانی را با محدودیت مواجه میسازد بطوریکه شرط 0.5 D t میبایست در تمامی سلولها و در تمام مدت اجراي مدل عددي رعایت گردد که در نهایت معمولا منجر به انتخاب گام زمانی کوچکتر و بالطبع صرف زمان و هزینه بیشتر جهت اجراي برنامه خواهد شد. در رابطه فوق، D ضریب پخشیدگی، t گام زمانی و x گام مکانی میباشد که در ادامه بیشتر توضیح داده خواهد شد. شبکهبندي پلکانی که بصورت یک شبکه متعامد غیر منطبق در گوشه سلول تعریف شده است، روشی است که براي افزایش دقت نتایج، پیشنهاد و بکار گرفته شده است. در انتها با توسعه یک مدل عددي و براي صحت نتایج، غلظت شوري در یک حوضچه بسته با بستري شیبدار مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج آزمایشات عددي صورت گرفته، بهبود در محاسبه انتقال ناشی از پخشیدگی را نشان میدهد و دقت روش مذکور را تایید مینماید.
-2 تعریف شبکهبندي سیگما و پلکانی
شبکهبندي سیگما، یک شبکه غیرمتعامد منطبق در گوشه سلول میباشد که با سطح آزاد آب و بستر محدوده محاسباتی در دو سمت منطبق میشود - شکل -1الف - . مهمترین فرضیات براي این سیستم عبارتست از :
-تعداد ثابت اجزاء شبکه قائم در کل محدوده و -منحنی الخط بودن، تنها در جهت طولی. در سیستم مختصات سیگما عمق آب به فواصل مساوي قائم تقسیم میشود. در این حالت هر تغییري در تراز آب در هر ستون موجب تغییر در بعد قائم در کل سلولهاي آن ستون میشود، بطوریکه نسبت بعد سلول شبکه قائم به کل عمق ثابت باقی میماند. در این شبکهبندي هر سلول تنها با دو سلول همردیف خود در راستاي افقی و دو سلول همستون در راستاي قائم داراي مرز مشترك میباشد. در شبکهبندي پلکانی که در این مطالعه تعریف و بکار گرفته شده است، با درنظر گرفتن یک شبکه بندي متعامد غیرمنطبق در گوشه سلول، امکان همسایگی بیش از 2 سلول در راستاي افقی فراهم میشود.
شکل 1 مقایسه بین شبکهبندي سیگما و شبکهبندي پلکانی را نشان میدهد. در این شبکهبندي براي شرایط مرزي بستر و تراز سطح آب میتوان از دو روش استفاده کرد. در روش اول مطابق شکل -2الف وجه بالایی سلولهاي واقع در ردیف بالا و وجه پایینی در سلولهاي ردیف اول، مشابه دیگر سلولها تعریف میشوند. در روش دیگر - شکل -2ب - مرزهاي بالایی و پایینی مشابه شبکهبندي سیگما انتخاب میگردند. بنابر مطالعات صورت گرفته در این تحقیق، روش دوم دقت بیشتري داشته و این در حالیست که این روش با فیزیک مسئله نیز همخوانی بیشتري دارد چراکه در این روش مرزهاي بالا و پایینی نیز بر مرزهاي واقعی مسئله منطبق میباشند، در حالی که روش اول این ویژگی را دارا نمیباشد.
که در آن c مقدار غلظت و Dx و Dy بترتیب ضرایب پخشیدگی در جهت افقی و قائم میباشند. قسمت اول طرف راست معادله بیانگر پخشیدگی افقی و قسمت دوم، پخشیدگی قائم را بیان میکند. در این مطالعه راهکاري براي افزایش دقت و حل ضمنی معادله پخشیدگی افقی بیان گردیده است، بنابراین با در نظر گرفتن قسمت اول معادله فوق، معادله افقی پخشیدگی را بصورت زیر بیان میکنیم: براي بیان معادله فوق به فرم احجام محدود، عبارت داخل پرانتز در رابطه شماره 2 را بصورت شار1 عبوري از مرز سلول درنظر میگیریم. با این تعریف، رابطه فوق بیان میدارد که تغییرات نسبت به زمان براي غلظت c در یک سلول برابر با اختلاف شار عبوري و خروجی از مرزهاي سلول مورد نظر میباشد. با تعریف فوق و با گسستهسازي رابطه شماره 2 خواهیم داشت: همانطور که اشاره گردید، در شبکهبندي پلکانی این امکان وجود دارد که هر سلول با سه سلول در هر سمت خود در تماس باشد. این در حالیست که در شبکهبندي سیگما تماس هر سلول تنها با یک سلول در هر طرف امکان پذیر میباشد. بنابراین در شبکهبندي پلکانی شار عبوري از مرزهاي سمت چپ و راست هر سلول میتواند از 6 سلول مجاور صورت گیرد - شکل شماره . - 3
