بخشی از مقاله
خلاصه
امروزه با توجه به گستردگی استفاده از ورقهای کامپوزیت یا چند لایه در زمینه های مختلف، تحقیقات بسیاری در این حیطه صورت پذیرفته است. در این راستا روشهای عددی مختلفی برای حل مسائل وجود دارد که از جمله این روشها میتوان به روش احجام محدود اشاره نمود. این روش که بر پایه تعادل بنا نهاده شده، بیشتر برای حل مسائل مکانیک سیالات استفاده میشود. در این مقاله با بهکارگیری توابع شکل حداقل مربعات متحرک در روش احجام محدود با استفاده از تئوری مرتبه اول تغییر شکل برشی، ورقهای چند لایه مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج ارائه شده در تحلیل ورقهای چند لایه، کارآمدی این روش را در مکانیک جامدات نشان میدهد. نتایج در این مقاله با جواب دقیق و یا با نتایج به دست آمده از نرم افزار ABAQUSکه از روش اجزای محدود استفاده میکند، مقایسه میگردد.
واژههای کلیدی: تحلیل ورقهای چند لایه، احجام محدود، حداقل مربعات متحرک، تئوری مرتبه اول تغییر شکل برشی
.1 مقدمه
امروزه از ورقهای کامپوزیت در مکانیک، هوافضا و عمران به طور گسترده ای استفاده میشود و به دلیل دارا بودن سختی، مقاومت بالا و وزن کم، سهم بسیار مهمی در ساخت اجزای سازه ای اتومبیل و هواپیما دارند. این ورقها به دلیل متفاوت بودن جنس مواد در راستای ضخامت دارای رفتار پیچیده ای میباشند و تئوریهای متعددی برای بررسی رفتار این سازه ها به کار گرفته شده است. تئوری کلاسیک ورق لمینیت1 با در نظر نگرفتن برش عرضی و کرنشهای نرمال دقت کافی برای ورقهاینسبتاً ضخیم ندارد. برای غلبه بر این محدودیتها رایسنر[1] 2 و میدلین[2] 3 تئوری مرتبه اول تغییر شکل برشی4 را برای ورقهای همگن و با نسبت دهانه به ضخامت کم معرفی نمودند.
بعد از آن ویتنی5 و پاگانو[3] 6 روش FSDT را برای ورقهای لمینیت ضخیم و با فرض تنش برشی عرضی ثابت در راستای ضخامت و بدون در نظر گرفتن کرنش های نرمال و معرفی ضریب تصحیح برشی در انرژی کرنشی برشی، توسعه دادند. برای غلبه بر مشکلات تئوری FSDT، تئوریهای گوناگون مراتب بالاتر برای ورق با در نظر گرفتن درجهی بالاتری از جابهجایی به وجود آمد. اکثر این تئوری ها مرتبه سوم7 هستند که در آن جابهجایی داخل صفحه به صورت درجهی سوم از مختصات ضخامت بیان میشود. در مقایسه با تئوری FSDT،TSDTمخصوصاً برای نسبت دهانه به ضخامت کم دقت بالاتری دارد.
در این مقاله برای تحلیل ورق های کامپوزیت از روش احجام محدود بر اساس مرکزیت سلول، همراه با تقریب حداقل مربعات متحرک برای ساخت توابع شکل استفاده شده است. دلیل ادغام تقریب حداقل مربعات متحرک با روش احجام محدود کلاسیک، از بین بردن وابستگی این روش به گره های ثابت مشخص اطراف حجم کنترل مورد نظر برای ساخت توابع شکل و افزایش دقت نتایج میباشد. به منظور بررسی کارایی این روش مثالهای متنوعی در محیط برنامه نویسی MATLAB نوشته شده است و نتایج حاصل مورد بررسی قرار گرفته است. برای درک بهتر روش احجام محدود و مشاهده کارهای انجام شده در زمینه حل مسائل مکانیک جامدات توسط این روش میتوان به [9-4] رجوع کرد.
.2تقریب حداقل مربعات متحرک - Moving Least Squares - MLS -
امروزه این تقریب به طور وسیعی در بسیاری از روشهای بی شبکه برای ساخت توابع شکل به کار میرود، زیرا میتواند تقریب پیوسته ای برای تابع میدان در سراسر دامنه مسئله ایجاد کند. در توابع شکل کلاسیک حجم محدود، درونیابی بر حسب نقاط ثابت درون سلولها بوده و از روابط از پیش تعیین شده بدست میآید. ولی در درونیابی MLS این توابع شکل به صورت محلی تعریف شده و با تغییر مکان نقطه ممکن است تغییر کند. بدین منظور برای تعیین توابع شکل از مفهومی به نام دامنه پشتیبانی در این روش استفاده میکنند. شکل 1 نمایشی از دو شکل رایج برای دامنه پشتیبانی است.[10]
دقت درون یابی برای نقطه مورد نظر - نقطه XQ در شکل - 1 به گره های داخل دامنه تأثیر بستگی دارد. در نتیجه برای اطمینان خاطر از تقریب دقیق و کارآمد، لازم است که دامنه پایه مناسبی انتخاب گردد. برای نقطه مورد نظر XQ بعد دامنه پایه d s از رابطه - 1 - تعیین میشود:
در رابطه - 1 - ،sپارامتر بی بعد دامنه پشتیبانی و dcفاصله نقاط دامنه از یکدیگر در نزدیکی نقطه XQ است. ضریب s برای هر مسئله متغیر میباشد وباید با انجام سعی و خطا بهترین مقدار آن برای آن مسئله تعیین شود. چنانچه گره ها به طور یکنواخت توزیع شده باشند d c به آسانی از روی محاسبه فاصله میان دو گره همسایه به دست میآید و زمانی که گره ها به طور یکنواخت توزیع نشده باشند dc برابر با فاصله میانگین گره ای در دامنه پایه XQ است. حال اگر فرض کنیم برداری با n داده برای تقریب میدان مجهول u - x - داشته باشیم، بدین معنی که دامنه پشتیبانی نقطه مورد مطالعه شامل n نقطه باشد، درون یابی MLS برای این مجهولات به صورت زیر است:
در رابطه - 2 - ، - 1×n است که نمیآید، به این - xh u تقریب بردار - u - x ، n تعداد نقاط واقع در دامنه پشتیبانی نقطه x و I تابع شکل نقطه I در محل x است. - - x یک ماتریس شامل توابع شکل Iو u برداری است که شامل مقادیر گرهی میباشد. در درون یابی MLS در ابتدا مقادیر حقیقی نقاط به دست معنی که - u h - xI، لزوماً برابر مقدار uI در آن نقطه نیست. اگر u - x - یک چند جمله ای درون یابی شده باشد، داریم:
P - x - تابع پایه مختصات فضایی است، برای مسائل دو بعدی تمامیت، از تک جمله ای های مثلث خیام- پاسکال استفاده میشود.
xt x y و m تعداد توابع پایه میباشد. اغلب برای اطمینان خاطر از حداقل a - x - یک بردار ضرایب است که به صورت زیر نمایش داده میشود:
در درون یابی MLS، توابع شکل با مینیمم کردن وزن باقی مانده J، برای به دست آوردن ضرایب a - x - به صورت رابطه - 5 - به دست میآیند:
