بخشی از مقاله
*** اين فايل شامل تعدادي فرمول مي باشد و در سايت قابل نمايش نيست ***
حل مدل ماسکینگام غیرخطی با استفاده از روشهای حل عددی دیفرانسیلی در روندیابی معکوس سیلاب
چکیده
در روندیابی معکوس سیلاب، آبنمود بالادست از آبنمود پاییندست بهدست میآید. روندیابی معکوس سیلاب در مهندسی رودخانه، بهمنظور امدادرسانی و تعیین خسارات بعد از گذر سیل مخرب بسیار پر اهمیت است. مدل ماسکینگام از جمله روشهای هیدرولوژیکی در روندیابی معکوس سیلاب میباشد که دقت در تخمین پارامترهای آن بر صحت آبنمود روندیابی شده بسیار تأثیرگذار است. پارامترهای موجود در مدل ماسکینگام را میتوان توسط روشهای بهینهسازی تخمین زد. قبل استفاده از روشهای بهینهسازی برای تخمین پارامترهای موجود در مدل ماسکینگام در روندیابی معکوس، ابتدا باید مدل ماسکینگام توسط یک روش بادقت حل (شبیهسازی) شود. با توجه به اینکه در مرحله شبیهسازی ممکن است که روشهای حل مختلف، نتایج متفاوتی ایجاد کنند، در تحقیق حاضر به ارائه و مقایسه دو روش برای شبیهسازی مدل ماسکینگام غیرخطی بهمنظور روندیابی معکوس پرداخته میشود. اولین روش شبیهسازی بر مبنا روش حل عددی دیفرانسیلی اولر (شبیهساز (1 و دومین روش شبیهسازی بر مبنا روش حل عددی دیفرانسیلی رانگ کوتای مرتبه 4 (شبیهساز (2 میباشند.
در این تحقیق برای تخمین پارامترهای موجود در شبیهساز 1 و 2 از روش تعمیم یافته گرادیان مختصر شده(GRG) 1 موجود در سلور اکسل2 با تابع هدف مجموع مربعات انحرافات(SSQ) 3 دبی روندیابی شده مشاهداتی و محاسباتی استفاده شده است. برای نشان دادن کارآیی روشهای شبیهسازی 1 و 2 در شبیهسازی معکوس مدل ماسکینگام غیرخطی، این دو روش شبیهساز در یک مورد مطالعاتی مبنا به کار گرفته شدهاند. نتایج بهدست آمده از این تحقیق نشان میدهد که روش شبیهساز 2 در روندیابی معکوس سیلاب مورد مطالعاتی مبنا توانسته است، مقدار SSQ را نسبت به روش شبیهساز 1 و SSQهای گزارش شده در مطالعات قبلی، بهبود (کاهش) بخشد.
واژههای کلیدی: روندیابی معکوس سیلاب، مدل ماسکینگام غیرخطی، روش اولر، روش رانگ کوتای مرتبه 4، .GRG
-1 مقدمه
تعیین آبنمود بالادست از آبنمود معلوم پاییندست را روندیابی معکوس سیلاب4 مینامند. روندیابی معکوس سیلاب این امکان را به سازمانهای مسئول و خود مردم میدهد که نسبت به انجام اقدامات حفاظتی اقدام کنند و از خسارات سیل و تبعات آن بکاهند. [1] برخی از کاربردهای روندیابی معکوس سیلاب را به این شرح بیان کرد: (1) در برخی از موارد بعد از گذر یک سیل مخرب، نیاز به داشتن اطلاعاتی درباره ویرانی در بالادست وجود دارد. زیرا ممکن است ایستگاه آبسنجی در بالادست مفقود شده باشد. همچنین جهت تخمین هزینه بازسازی و نوسازی در بالادست که متناسب با سیل عبوری میباشد، با استفاده از روندیابی معکوس میتوان به اطلاعات سیل ورودی دست یافت و (2) واسنجی ایستگاههای آبسنجی بالادست.
بررسی روند سیل به دو روش هیدرولیکی5 و هیدرولوژیکی6 قابل مطالعه است. در روندیابی هیدرولیکی از رابطه پیوستگی جریان و رابطه اندازه حرکت استفاده میشود و اساس آن بر تئوری جریانهای غیردائمی، استوار است. این نوع از روندیابی دقیق بوده ولی در این روش احتیاج به اطلاعات زیادی از قبیل مقاطع عرضی، زبری، شرایط مرزی بالادست و پاییندست و شرایط آغازین احتیاج است. همچنین این روش اکثرا پیچیده بوده و احتیاج به محاسبات زمانبر دارد. در روشهای هیدرولوژیکی روابط پیوستگی یک بعدی بههمراه رابطه بین دبی و ذخیره بهعنوان روابط حاکم مورد استفاده قرار میگیرند که روش نسبتا سادهای بوده و دارای دقت مناسبی نیز میباشد. مدل ماسکینگام یکی از روشهای روندیابی هیدرولوژیکی میباشد که کاربرد گستردهای در روندیابی سیل دارد. این روش توسط [2] در ارتباط با پروژه کنترل سیلاب حوضه رودخانه اوهایو1 ارائه شده است. دو رابطه پیوستگی2 و ذخیره3 خطی به عنوان روابط پایهای به صورت روابط (1) و (2) در مدل ماسکینگام به کار میروند:
در این روابط، S ، I و O به ترتیب مقادیر حجم ذخیره در، جریان ورودی به و جریان خروجی از مقطع مشخصی از رودخانه میباشند که بهطور همزمان رخ دادهاند، K ثابت ذخیره زمانی میباشد و بعد زمان دارد، X ضریب وزنی بدون بعد است که درجه اهمیت جریان ورودی و جریان خروجی را در تعیین ظرفیت ذخیره مخازن و رودخانه نشان میدهد کهمعمولاً برای مخازن ذخیره بین صفر و 0/5 و برای رودخانهها بین صفر و 0/3 در نظر گرفته میشود.
هنگامیکه ارتباط بین حجم ذخیره ( ( S و وزن جریان XI 1 X Oخطی نباشند، استفاده از یک مدل ماسکینگام غیرخطی برای روندیابی مناسبتر میباشد [4] .[3] و [5] در روندیابی سیلاب با استفاده از مدل ماسکینگام غیرخطی، روابط ذخیره غیرخطی را به ترتیب مطابق روابط (3) و (4) بهکار بردند:
در این روابط، m به عنوان توان به معادله اضافه شده است، که مدل را قادر میسازد تا رابطه غیرخطی بین را بهتر مدلسازی کند. این روابط در مقایسه با رابطه (2) دارای مجهولات بیشتر و در نتیجه روند واسنجی پیچیدهتری هستند. رابطه (3) نسبت به رابطه (4)، به دلیل دقت بالاتر، کارآیی بیشتری در روندیابی معکوس سیلاب دارد .[1]
نکته حائز اهمیت در مدل ماسکینگام غیرخطی، لزوم تخمین مناسب سه پارامتر موجود در رابطه غیرخطی مذکور است که تأثیر زیادی در نتایج روندیابی دارد. پارامترهای موجود در مدل با توجه به آبنمودهای ورودی و خروجی مشاهداتی تخمین زده میشوند. برای محاسبه پارامترهای موجود در مدل ماسکینگام غیرخطی استفاده از روشهای سعی و خطا بسیار زمانبر و دشوار است. به همین منظور روشهای مختلفی برای تخمین این پارامترها استفاده شده است، که از میان این روشها، روشهای بهینهسازی4 بهدلیل سهولت استفاده و کارآیی بالا مورد توجه بسیاری از محققین قرار گرفتهاند.
قبل از استفاده از روشهای بهینهسازی برای تخمین پارامترهای مدل ماسکینگام غیرخطی، ابتدا باید مدل ماسکینگام غیرخطی توسط یک روش با دقت حل شود (مرحله شبیهسازی.(1 در مرحله شبیهسازی ممکن است روشهای حل مختلف، نتایج متفاوتی از تخمین پارامترهای مدل ماسکینگام غیرخطی (مرحله واسنجی) ایجاد کنند .[6] به دلیل وجود رابطه دیفرانسیلی مرتبه 1 در رابطه پیوستگی در مدل ماسکینگام غیرخطی، برای حل و شبیهسازی این مدل میتوان از روشهای حل عددی دیفرانسیلی استفاده کرد. روشهای حل عددی دیفرانسیلی بهصورت پیشرو2 یا پسرو3 انجام میشوند. در روندیابی مستقیم مدل ماسکینگام غیرخطی به صورت پیشرو و در روندیابی معکوس مدل ماسکینگام غیرخطی یهصورت پسرو حل میشود .[6] در روندیابی مستقیم [7] و [6] مدل ماسکینگام غیرخطی را به ترتیب بر مبنای روش حل عددی دیفرانسیلی اولر و رانگ کوتای مرتبه 4 حل و شبیهسازی کردهاند.
بعد از مرحله شبیهسازی مدل ماسکینگام غیرخطی، پارامترهای موجود در مدل را میتوان توسط روشهای بهینهسازی تخمین زد (مرحله واسنجی). روشهای بهینهسازی را میتوان بهطور کلی به دو دسته تقسیم کرد .[7] در دسته اول روشهای مبتنی بر فنونهای ریاضی قرار دارند، مانند: روش کمینه مربعات سگمنتال[5] (S-LSQ) 4 ، روش کمینه مربعات غیرخطی[3] (N-LSQ) 5 ، روش برویدن فلچر گلدفارب شانو[8] BFGS 6، روش ضرایب لاگرانژ[1] (LM) 7 و [9]، روش روش نلدر-مید سادک[10] (NMS) 8 و روش تعمیم یافته گرادیان مختصر شده[11] (GRG) 9؛ [12] و .[13]
در دسته دوم روشهای مبتنی بر الگوریتمهای فراکاوشی قرار دارند، مانند: الگوی جستجو[7] (PS) 10، الگوریتم ژنتیک(GA) 11 [14]، جستجوی هماهنگ[15] (HS) 12، بهینه سازی ازدحام ذرات[16] (PSO) 13، پارامتر آزاد جستجوی هماهنگ(PSF-HS) 14 [8]، روش دیفرانسیل تکاملی[17] (DE) 15، نوردشبیهسازی شده(SA) 16 و الگوریتم جهش قورباغه.[18] (SFLA) 17
[1] از روش LM بهره برد تا پارامترهای مدل ماسکینگام در روندیابی معکوس را بهینه کند. او به این نتیجه رسید که در شرایط ایده-آل، پارامترهای سهگانه تخمین زده شده در روندیابی مستقیم باید با پارامترهای سهگانه تخمین زده شده در روندیابی معکوس یکسان باشند. اما به دلایلی از جمله خطای اندازهگیری این اتفاق نمیافتد و نیاز است که پارامترها به صورت مجزا برای هر یک از روندیابیهای مستقیم و معکوس تخمین زده شوند. لازم به ذکر است که روش LM به دلیل مشتقگیری همزمان از پارامترهای موجود در مدل ماسکینگام K)، X و (m، جریانهای ورودی ( ( I و ضرایب لاگرانژ ( ( و همچنین روش پیچیده حل، در روشهای تخمین پارامترهای مدل ماسکینگام جزء روشهای بسیار دشوار و زمانبر میباشد.
با وجود سهولت استفاده و کاربرد فراوان روشهای حل عددی دیفرانسیلی در شبیهسازی مدل ماسکینگام غیرخطی بهمنظور روندیابی مستقیم، با این حال در تحقیقات گذشته هیچگونه روش شبیهسازی مدل ماسکینگام غیرخطی بر مبنای حل عددی دیفرانسیلی بهمنظور روندیابی معکوس ارائه نشده است. در این تحقیق برای شبیهسازی مدل ماسکینگام غیرخطی به منظور روندیابی معکوس سیلاب برای اولین بار از دو روش بر مبنای روشهای حل عددی دیفرانسیلی اولر (شبیهساز ( 1 و رانگ کوتای مرتبه ) 4 شبیهساز (2 استفاده میشود. همچنین در این تحقیق برای تخمین پارامترهای موجود در روشهای شبیهساز 1 و 2 از سلور اکسل استفاده شده است. بر این اساس در قسمتهای بعدی این تحقیق به تشریح روشهای شبیهساز 1 و 2 برای مدل ماسکینگام غیرخطی بهمنظور روندیابی معکوس و نحوه تخمین پارامترهای موجود در روشهای شبیهسازی 1 و 2 پرداخته شده است. در ادامه نتایج حاصل از شبیهساز 1 و 2 و روش LM در روندیابی معکوس یک مورد مطالعاتی مبنا مورد مقایسه قرار میگیرند.
-2 مواد و روشها
در این قسمت تشریح روشهای شبیهساز 1 و 2 و نحوه تخمین پارامترهای موجود در این دو روش شبیهساز ارائه شده است. نکته حائز اهمیت در روشهای شبیهساز 1 و 2 نحوه محاسبه مقدار حجم ذخیره در گام زمانی قبلی است که در هر کدام از این دو روش شبیهسازی این فرآیند متفاوت است. در روشهای شبیهساز 1 و 2، N برابر تعداد گامهای زمانی مورد استفاده در روندیابی جریان ورودی سیل می-باشد. همچنین در این روشهای شبیهسازی مقدار حجم ذخیره، تغییرات حجم ذخیره، جریان خروجی مشاهداتی و جریان ورودی
محاسباتی در گام زمانی j به ترتیب برابر j ، j ، j و ˆ j میباشند که j = 0, 1, 2, …, N میباشند.
S I O S
-1 -2 روش شبیهساز 1 مدل ماسکینگام غیرخطی در روندیابی معکوس سیلاب
در روندیابی معکوس تخمین آبنمود ورودی روندیابی از آخرین گام زمانی شروع میشود. در روش شبیهساز 1، مدل ماسکینگام غیرخطی بر مبنای روش اولر بهصورت پسرو، حل و شبیهسازی شده است. روش اولر جزء روشهای حل عددی دیفرانسیلی میباشد که استفاده از آن بسیار آسان میباشد. در زیر روش شبیهساز 1 برای مدل ماسکینگام غیرخطی در روندیابی معکوس ارائه شده است.
مرحله :(1) در نظر گرفتن مقدار اولیهای برای پارامترهای K، X و .m
مرحله :(2) محاسبه مقدار حجم ذخیره در آخرین گام زمانی روندیابی با استفاده از رابطه (5) با فرض برابر بودن جریان ورودی محاسباتی با جریان خروجی مشاهداتی در آخرین گام زمانی روندیابی .
مرحله :(3) محاسبه نرخ تغییرات حجم ذخیره با استفاده از رابطه .(6)
مرحله :(5) محاسبه مقدار حجم ذخیره در گام زمانی قبلی با استفاده از رابطه .(7)
مرحله : (6) محاسبه مقدار جریان ورودی در گام زمانی قبلی با استفاده از رابطه .(8)
مرحله :(7) تکرار مراحل (3) تا (6) تا اتمام شبیهسازی جریان ورودی در هر N گام زمانی روندیابی.
-2 -2 روش شبیهساز 2 مدل ماسکینگام غیرخطی در روندیابی معکوس سیلاب
روش رانگ کوتای مرتبه 4 بهدلیل دقت بالا و استفاده آسان برای حل روابط دیفرانسیلی بسیار پرکاربرد است. در روش شبیهساز 2، مدل ماسکینگام غیرخطی بر مبنای روش رانگ کوتای مرتبه 4 بهصورت پسرو حل و شبیهسازی شده است. در زیر مراحل روش شبیهساز 2 ارائه شدهاند.
