بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
حل عددی روندیابی موج دینامیکی سیلاب به کمک شماهای صریح، ضمنی و روش مشخصات
خلاصه
در جریان های غیر دائمی، سرعت و عمق جریان در هر لحظه در طول مسیر تغییر می کند. برای بیان خصوصیات این جریان ها از معادلات سنت و نانت استفاده می شود. در تحقیق حاضر برای حل این معادلات از روش های پریسمن، لاکس و مشخصات استفاده گردیده است. برای ارزیابی میدانی از سیلابهای تک پیکه و چند پیکه رودخانه کارون استفاده شده است. نتایج نشان می دهد که کلیه روش های مورد مطالعه عموماً خروجی قابل قبولی در مقایسه با هیدروگرافهای مشاهداتی از خود نشان می دهند. همچنین برای سیلاب های چند پیکه، روش ضمنی بهتر عمل می نماید، درصورتیکه برای سیلابهای تک پیکه هر سه روش به نحو مناسبی عمل می نمایند.
کلمات کلیدی: روندیابی، موج دینامیکی، پریسمن، لاکس، مشخصات.
۱. مقدمه
زمانی که موج سیل به سمت پایین دست یک رودخانه حرکت می کند، مشخصات موج سیل از قبیل دبی اوج، زمان تا اوج و زمان تداوم هیدروگراف به سبب اختلالات و زبری کانال تغییر می کند. محاسبات روندیابی سیل شامل تعیین هیدروگرافهای عمق و دبی در نقاط مختلف در طول رودخانه بر اساس شرایط مرزی و آغازین جریان میباشد. به عبارت دیگر روندیابی سیل عبارت است از مراحلی که در طی آن پیشرفت زمانی و شکلی موج سیل در نقاط پشت سر هم در طول رودخانه معین می شود. اهمیت روندیابی سیل در طراحی اقدامات حفاظت سیل به منظور پیشنهاد راهکارهای موثر و اقتصادی برای حفاظت از رفتار امواج سیل در رودخانه ها می باشد. کاربردهای متعددی روندیابی سیل در طراحی سیستمهای هشدار سیل، تعیین حریم رودخانهها و طراحی سازه هایی از قبیل دیوارهای سیل بند است. مساله روندیابی سیل شامل حل معادلات سنت و نانت می باشد. حل تحلیلی دقیقی برای معادلات سنت و نانت در دسترسی نیست بنابراین از روش - های عددی برای حل این معادلات استفاده میگردد. از اوایل دهه ۱۹۶۰ محققین تلاشهای گسترده ای را برای یافتن روش های حل موثر معادلات جریان غیر دائمی انجام دادند. این حل می تواند به صورت حل عددی کامل و یا حل عددی تقریبی معادلات سنت و نانت باشد. در شکل ۱ انواع این روشهای حل نشان داده شده است [۱]، [۲]، [۳] و [۴]. حل عددی کامل معادلات سنت و نانت که به موج دینامیکی نیز مشهور است اغلب توسط شماهای مختلف مدل های تفاضلی محدود صورت می گیرد. روش های مختلف حل به کمک شماهای تفاضل محدود در [۵]، [۶]، [۷] و [۸] ارائه شده است. قبل از روشهای تفاضل محدود روش مشخصات تا دهه ۱۹۶۰ روشی معمول برای مسائل روندیابی سیل بود [۹]. به طور کلی از جمله مواردی که به بررسی روش مشخصات پرداخته اند میتوان به [ ۱۰]، [[۱۱] و [۱۲] و مواردی که به روش های تفاضل محدود پرداخته اند میتوان به [۱۳]، [۱۴]، [۱۵]، [۱۶]، [۱۷] و [۱۸] اشاره نمود. در تحقیق حاضر با استفاده از شماهای ضمنی (پریسمن)، صریح (لاکس) و روش مشخصات به بررسی مساله روندیابی سیل پرداخته شده است. برای بررسی میدانی مدلها از داده های رودخانه کارون استفاده شده است. همچنین برای ارزیابی نتایج از سه معیار آماری ۱- متوسط درصد خطا، ۲
ریشه دو میانگین مربع خطا و ۳- واریانس تشریح شده، استفاده گردیده است. کلیه روش های مورد بحث با کمک برنامه نویسی در فضای نرم افزار MATLAB| مدل شده اند.
۲. معادلات حاکم
معادلات سنت و نانت به شکل معادله پیوستگی و معادله اندازه حرکت می باشند، این معادلات در روابط (۱) و (۲) ارائه شدهاند:
در این روابط: A سطح جریان، Q دبی جریان، t و X به ترتیب متغیرهای زمان و مکان، g شتاب گرانشی، Sf شیب اصطکاکی و h = y+ Zb که در آن h تراز سطح آب اندازه گیری شده از سطح مبنای افقی، y عمق جریان و Zb تراز کف کانال بالای سطح مبنای افقی می باشند.
فرضیات اصلی استفاده شده در بدست آوردن معادلات سنت و نانت عبارت اند از: ۱- توزیع فشار هیدرواستاتیک است و از شتاب قائم ذرات آب صرف نظر می شود. ۲- سرعت به صورت یکنواخت در مقطع کانال توزیع شده است. ۳- متوسط شیب کف کانال کوچک است و بنابراین عمق جریان اندازه گیری شده به صورت قائم برابر با عمق جریان اندازه گیری شده عمود بر کف کانال در نظر گرفته می شود. ۴- از معادله مانینگ به عنوان معادله مقاومت جریان استفاده می شود. ۵- جریان به صورت همگن و غیر قابل تراکم در نظر گرفته می شود [۵].
۳. روش پریسمان
در طرح های تفاضل محدود ضمنی، مقادیر در مراحل زمانی معلوم و مجهول در تقریب مشتقات مکانی و زمانی و همچنین در متغیرهای وابسته استفاده شده اند. روش پریسمن از جمله روش های رایج تفاضل محدود ضمنی چهار نقطه ای می باشد. در این روش مشتقات جزئی و ضرایب به صورت زیر
تقریب زده شده اند:
در این روابط گام مکانی، گام زمانی، i و n به ترتیب اندیس های مکانی و زمانی، پارامتر وزنی و f بیان کننده دبی یا سطح مقطع در مشتقات جزئی میباشد. این روش برای بین ۰/۵ تا ۱ پایدار است. فاکتور وزنی 1= منجر به شمای کاملاً ضمنی و 0.5= منجر به شمای جعبه
می شود. همچنین برای موج سیل فاکتور وزنی برابر ۰/۵۵ پیشنهاد شده است [۱۶] و [۱۷]. شبکه محاسباتی در شکل ۲ ارائه گردیده است. با جایگزاری مشتقات و ضرایب در معادلات حاکم فرم تفاضل محدود معادلات پیوستگی و اندازه حرکت به صورت زیر حاصل خواهد شد.
معادلات حاصل که به صورت یک دستگاه معادلات غیرخطی می باشند، در هر گام زمانی با استفاده از تکنیکهای تکراری مثل نیوتن رافسون قابل حل هستند. به عنوان حدس اولیه در هر گام زمانی از متوسط مقادیر قطری شبکه محاسباتی استفاده شده است. به این ترتیب سرعت انجام محاسبات بیست درصد نسبت به حالتی که حدس اولیه مقادیر گام زمانی قبل هستند، کاهش پیدا می کند. توضیحات کامل روند حل معادلات در [۵] و [۷] بیان شده است. همانطور که قبلاً بیان شد این روش برای 0 بین ۰/۵ تا ۱ پایدار است. همچنین بهتر است برای افزایش دقت عدد کورانت نزدیک به یک نگه داشته شود. بعلاوه عدد ویدرنیکو به عنوان معیار پایداری قابل بررسی است.
برای بررسی پایداری می بایست 1 > V n باشد. در این رابطه Frعدد فرود، A سطح مقطع و R شعاع هیدرولیکی را نشان می دهند. mضریبی وابسته به نوع جریان است. برای مثال 1=m برای جریان آرام، 1.75=m برای جریان حد واسط و 2=m برای جریان کاملاً مغشوش است. مقدار p نیز به فرمول اصطکاکی مورد استفاده وابسته است، به طوری که برای فرمول شزی برابر یک و برای فرمول مانینگ برابر 4/3 می باشد.
شکل ۲- شبکه محاسباتی روش های صریح و ضمنی
۴. روش لاکس
در طرح های تفاضل محدود صریح، معادلات جبری صریح برای تعیین شرایط جریان در هر گره شبکه محاسباتی بدست می آیند. شمای لاکس از جمله
طرح های تفاضل محدود صریح است. در این روش مشتقات جزئی و ضرایب به صورت زیر تقریب زده شده اند:
با جایگزاری مشتقات و ضرایب در معادلات حاکم فرم تفاضل محدود معادلات پیوستگی و اندازه حرکت به صورت زیر حاصل خواهد شد.
شرط پایداری شمای لاکس مانند دیگر الگوهای صریح به صورت زیر میباشد:
این رابطه شرط کورانت نام دارد و می بایست برای همه گره ها در همه گامهای زمانی رضایت بخش باشد، که در آن و D عمق هیدرولیکی می باشد. لیژیت و کونژ (۱۹۷۵) نشان دادند اگر به اندازه کافی کوچک باشد، دقت نتایج الگوی لاکس قابل قبول است [۱۶]. مدل کردن شرایط مرزی در شماهای تفاضل محدود صریح به مراتب سختتر از شماهای تفاضل محدود ضمنی می باشد. در این شماها از معادلات مشخصه مثبت و منفی به ترتیب در پایین دست و بالادست استفاده می گردد (شکل ۳). در ادامه روابط مورد استفاده بیان می گردند: الف) معادله مشخصه منفی برای شرط مرزی بالادست:
ب) معادله مشخصه مثبت برای شرط مرزی پایین دست:
در معادلات بیان شده متغیرهای دارای اندیس های مM ،L و R معلوم می باشند و Cn وCp نیز مقادیر ثابت هستند بدین ترتیب Vp و yp با توجه به شرط موجود در بالادست و پایین دست بدست خواهند آمد.
۵. روش مشخصات
روش مشخصات برای سیستمهای که تغییرات ناگهانی هندسی در آنها رخ می دهد، مناسب نمی باشد. معادلات مشخصات برای جریان غیر دائمی به صورت زیر است:
که در این روابط سرعت موج، v متوسط سرعت در سطح مقطع، g شتاب گرانش، s0 شیب کف، sf شیب اصطکاکی، t متغیر زمانی و X متغیر مکانی می باشند. این معادلات را می توان به فرم تفاضل محدود تبدیل نمود. به این ترتیب که در معادله نخست از dx/dt = V + C (یعنی مشخصه مثبت) و در معادله دوم از dx/dt = V -C (یعنی مشخصه منفی) در صفحه X-t استفاده نمائیم. بنابراین معادلات
حاکم در فرم تفاضل محدود به صورت زیر بیان می گردند:
در این رابطه گام مکانی و گام زمانی را نشان میدهند. موقعیت اندیس های R M P و L در شکل ۳ ارائه شده است. شرط پایداری و شرایط مرزی روش مشخصات مشابه روشی های صریح می باشد.
شکل ۳ - الف) شبکه مشخصه مثبت در پایین دست و ب) شبکه مشخصه منفی در بالادست
۶. شرایط مرزی و آغازین
شرایط مرزی و آغازین، به عنوان شرط آغازین جریان به صورت دائمی در نظر گرفته شده است. در این حالت
