بخشی از مقاله
خلاصه
در این مقاله یک روش عددی بر اساس موجکهای چبیشف برای حل بطور عام مسائل کنترل بهینهی غیرخطی و بطور خاص مسألهی کنترل بهینهی هواپیمای جنگندهی F-8 ارائه میگردد. رویکرد به صورت یک روش مستقیم که در آن مسألهی کنترل بهینه با جایگزینی مستقیم متغیرهای حالت و کنترل به یک مسألهی برنامهنویسی ریاضیاتی تبدیل میشود، در نظر گرفته میشود. برای رسیدن به این هدف، رویکرد مبتنی بر موجک با استفاده از توابع مقیاسگذاری چبیشف به عنوان توابع پایه، بهمراه تکنیک تکرار شونده برای حل مسائل کنترل بهینهی مرتبه دوم بکار گرفته میشود. این روش بر روی چندین مثال شبیهسازی شد و مشخص گردید که روش پیشنهادی نتایج بهتر یا قابل مقایسهای با برخی از روشهای دیگر ارائه میدهد. بعلاوه برای اطمینان از اینکه این روش میتواند با مسائل واقعی پیچیده روبرو گردد، رویکرد بر مسألهی کنترل بهینهی جنگندهی F-8 اعمال شد.
کلمات کلیدی: مسألهی کنترل بهینهی غیرخطی، تکنیک تکرارشونده، کنترل بهینهی جنگندهی F-8، سیستم شبه خطی.
.1 مقدمه
روشهای حل مسألهی کنترل بهینهی خطی بجز در مواردی معدود بصورت تقریبی و عددی میباشند و از اینرو روشهای مختلف بسیاری برای حل این مسائل معرفی شدهاند .[1] متداولترین روش، رویکرد ریکاتی برای توابع هزینهی درجه دوم است اگرچه این روش منجر به مجموعهای از معادلات دیفرانسیل پیچیده است که به صورت بازگشتی حل میگردد .[2] علاوه بر این مسألهی کنترل بهینهی غیرخطی یک راه حل تحلیلی و ساده در مقایسه با مسألهی کنترل بهینهی خطی ندارد، بنابراین بسیاری از محققان روشهای تقریبی عددی را برای پیدا کردن یک راه حل برای اینگونه مسائل بر میگزینند. به طور کلی دو روش وجود دارد که برای حل مسائل کنترل بهینه استفاده میشود: روشهای غیرمستقیم و روشهای مستقیم. روشهای غیرمستقیم معمولاً بر اساس یافتن راه حلی برای معادلات اویلر-لاگرانژ که شرط لازم برای بهینگی بودن پاسخ بدست آمده میباشد و یا بر اساس پیدا کردن یک راه حل که معادلهی هامیلتون-ژاکوبی-بلمن را ارضا کند، بکار گرفته میشوند. این روشها دارای برخی معایب هستند از جمله:
* حل معادلهی هامیلتون-ژاکوبی-بلمن مسأله کنترل بهینهی غیرخطی که دشوار است،
*ابداع کمک وضعیتهای ساختگی در مسأله و افزایش تعداد معادلات و بار محاسباتی.
در سوی دیگر روشهای مستقیم میتوانند با استفاده از تکنیکهای گسستهسازی و پارامتریسازی اعمال گردند .[3] در روشهای عددی بسیاری چندجملهایهای متعامد مورد استفاده قرار گرفتهاند؛ در این تحقیقات انجام گرفته [5- 4] برای حل مسائل کنترل بهینه، توابع متعامد بعلت دارا بودن روابط تعامد و بازگشتی - مانند دو چندجملهای قدرتمند لژاندر و چبیشف - [9] به طور گسترده در به دست آوردن یک راه حل تقریبی مسائل کنترل بهینه، استفاده گردیدهاند. در این رویکرد متغیرهای حالت و کنترل توسط ترمهای محدود سریهای متعامد بنا به درجه تقریب بکار رفته و با استفاده از چند ماتریس عملیاتی برای سادهسازی معادلات تقریب زده میشوند.
ساختار و چگونگی بدست آوردن ماتریسهای عملیاتی مورد نیاز بستگی به انتخاب نوع توابع متعامد دارد مانند توابع والش، توابع بلوک پالس، چندجملهایهای لاگر، لژاندر، چبیشف، هرمیت .[8-6] در مقالهی حاضر روش مستقیم پارامتریسازی کنترل و حالت را برای حل مسألهی کنترل بهینه استفاده خواهیم کرد، و پس از حل مسأله، مقدار تابعی عملکرد بهینه بطور مستقیم نتیجه میگردد و هیچ نیازی به انتگرالگیری.وجود نخواهد داشت. روش پیشنهادی این تحقیق به منظور حل مسألهی کنترل بهینهی غیرخطی، روش پارامتریسازی حالت و کنترل با استفاده از توابع مقیاسگذاری موجکهای چبیشف بهمراه تکنیک تکرار شونده[11-10] * میباشد.
شایان ذکر است که تحقیقاتیمشابه این روش که قبلاً توسط Elaydi و Wadi در [20] و Haya و Jaddu در [21] با استفاده از دو موجک لژاندر و چبیشف صورت گرفتهاند دارای نقصهایی اساسی - در تئوری حل و فرمولبندی مسأله - میباشند که برای مثال تئوری این تحقیقات حتی توانایی لازم جهت حل مسأله 1 قسمت ب را بهیچ وجه ندارند و یا بدلیل نقص در توسیع دادن ترمهای شبه خطی بر پایه توابع مقیاسگذاری در [20] منحنی بهینهی هدف در مقاله ارائه نشده است؛ بهمین دلایل Jadduکه قبلاً مسألهی 3 این تحقیق - پلنت جنگندهی - F-8 را در [19] به روش چند جملهای متعامد چبیشف حل نموده بود در تحقیقهای ذکر شده با همکارانش موفق به اعمال رویکرد تکراری پیشنهادی خود بر روی این پلنت نگردیدند، در حالیکه پایه و اساس موجک بکار گرفته چندجملهایهای متعامد چبیشف میباشند.
در رویکرد و تئوری استفاده شده در این مقاله برای حل سیستمهای غیرخطی، بسیاری از موارد گفته شده در [1] اصلاح گردیده است و روش با استفاده از یک نوآوری منتج شده از پشتیبانی فشردهی موجک برای حل مسائل پیچیده که دارای ترمهای غیرخطی بیشتری هستند تعمیم داده شده است که در حل مسألهی F-8 موفقیتآمیز عمل کرد؛ این مسأله با روشی مشابه ولی بر مبنای مقادیر ویژه در یک مقاله معتبر [10] - را ببینید - حل گردیده که نتایج آن از نظر دانش مکانیک پرواز اعتبار علمی ندارند و حتی نویسندگان خود به این موضوع اعتراف نمودهاند که در این خصوص در بخش مثال سوم از مثالهای عددی توضیحات بیشتری داده شده است.
ساختار مقالهی حاضر به این ترتیب میباشد: ابتدا مسألهی جنگندهی F-8 و معادلات حرکت طولی آن مطرح میگردند و سپس فرمولاسیون مسألهی کنترل بهینهی غیرخطی بهمراه روش پیشنهادی بیان میشوند. در بخش بعدی به اجرای روش پیشنهادی روی مثالهای غیرخطی برگرفته از مطالعات پیشین که قبلاً به روشهای متفاوت دیگری حل و تفسیر گردیدهاند، پرداخته میشود تا با مقایسه نتایج بدست آمده کارآیی الگوریتم پیشنهاد شده را به اثبات رساند و در انتها نتیجهگیری آمده است.
.1-2 مدلسازی دینامیک غیرخطی جنگنده
نیروهای وارد بر هواپیما و دستگاه مختصات در نظر گرفته شده در شکل 1 نشان داده شده است [12] - را ببینید - . معادلات حرکت طولی به شرح زیر میباشند:
که در آن m جرم هواپیما، u و w سرعت در جهت X وZ ، I y گشتاور اینرسی هواپیما حول محورy ، Lw ، wو Lt و t نیروی لیفت و زاویهی حملهی بترتیب دم و بال، M w ممنتوم بال، c ممنتوم دمپینگ، l فاصله بین مرکزآیرودینامیکی بال و مرکز ثقل هواپیما و lt فاصله بین مرکز آیرودینامیکی دم و مرکز ثقل هواپیما هستند. Garrard و Jordan با فرض آنکه هواپیما در شرایط پروازی ماخ 0,85 و ارتفاع 30000 پا باشد، با استفاده از مقادیر مشخص شده برای این جنگنده و همچنین تقریب و استفاده از بسط تیلور، معادلات زیر را بدست آوردهاندو با تعریف سه حالت x1 زاویهی حملهی ، x2 زاویهی پیچ ، 3 انحراف الویتور e به یک مسألهی کنترل بهینهی غیرخطی می گردد در قسمت مثالها روی آن بحث میگردد.
