مقاله طرح مسأله و کاربردهای ریاضی در حل مسأله

بخشی از مقاله

طرح مسأله و کاربردهاي ریاضی در حل مسأله

چکیده

ریاضیات به عنوان یک درس اصلی است که داشتن درك درست از آن در آینده ي تحصیلی دانش آموزان و دانشجویان و طبعاً پیشرفت علمی کشور نقش مهمی دارد . در سال هاي اخیر تلاش متخصصان آموزش ریاضی براین بوده که ریاضیات از علمی براي نخبگان به علمی براي همگان مبدل شود. براي بکار بردن مفاهیم دنیاي واقعی، فرد باید به خوبی آن ها را

فهمیده و درك کرده باشد. روش هایی که به یادگیري بهتر و ایجادعلاقه و انگیزه در دانش آموزان و دانشجویان کمک می کنند توانایی طرح مسئله و کاربرد هاي ریاضی در سایر علوم می باشند. بیش از یک دهه که مطالعات آموزش ریاضی برروي حل مسئله متمرکز شده بود محققان به تدریج پی بردند که ترکیب فعالیتهاي طرح مسئله ریاضی در موقعیتهاي مختلف می تواند یک روش قدرتمند براي توسعه تفکر ریاضی دانش آموزان و دانشجویان باشد (سیلور و همکاران (1990 و همچنین دربرنامه درسی و آموزشی، برقراري پیوند ریاضیات با کاربردهایش در زندگی و سایر علوم از قبیل: هنر، علوم طبیعی ، علوم اجتماعی و . . .مد نظر قرار می گیرد. در این مقاله به این دو عامل مهم یادگیري که طرح مساله و کاربرد هاي ریاضی است می پردازیم. در حقیقت مساله عامیانه اي مطرح می شود و روش حل اشتباه ولی به ظاهر درستی بیان می شود و در آخر، کاربرد یک مبحث ریاضی در روش حل آن ارائه می شود.

کلمات کلیدي: طرح مسأله ریاضی، کاربردهاي ریاضی، مهارت حل مسأله، اصل شمول و عدم شمول

.1 مقدمه

تعریف حل مسألهي ریاضی، تولید مسائل جدید و صورتبندي مجدد مسائل موجود است(سیلور .([1]1994 سیلور سه نوع طرح مسأله را- به نامهاي طرح مسالهاي که در قبل، حین یا بعد از حل مسأله رخ میدهد- مشخص کرده است. تعریف سیلور به این امر اشاره میکند که لازم است طرح مسأله ریاضی را در هر گونه بحث و گفتوگو درباره حل مسأله ریاضی در نظر بگیریم.

در برخی کشور ها، چارچوب برنامهي درسی ریاضی بر حل مسأله ریاضی متمرکز است. از جمله اهداف برنامه درسی این است که دانش آموزان قادر به "صورتبندي" و حل مسائل باشند. هم چنین، تکلیفهاي طرح مسأله در کتابهاي درسی مورد استفاده در مدارس ایج است( به عنوان مثال فونگ[2]، راما کریشنان[3] و گان[4]،.(2007

مزایاي استفاده از تکلیف هاي طرح در کلاس هاي درس ریاضی در تمام پایه ها بررسی شده است و نمی توان نادیده گرفت که چنین تکلیف هایی می توانند بر سایر ویژ گی هاي دانش آموزان و دانشجویان تاثیر بگذارند از جمله بر استعداد ریاضی، شامل درك و فهم و توانایی حل مساله، طرز تلقی ها نسبت به ریاضی مانند کنجکاوي و علاقه، احساس مالکیت نسبت به کار خود (انگلیش[5]، a1997؛ گروندمیر[6]، 2002؛ کنوت[7]، 2002؛ پرین[8]، .(2007

طرح مسأله ریاضی و حل مسأله

ارتباط بین طرح مسأله ریاضی و طرح مسأله، موضوع بسیاري از مطالعات پژوهشی بوده است. در یک سري پژوهش هاي متوالی دربارهي دانش آموزان پایههاي سوم، پنجم و هفتم در استرالیا، انگلیش روابطی بین طرح مسأله و حل مسأله پیدا کرد. بهویژه، او نشان داد که توانایی طرح مسائل پیچیده محاسباتی- اما نه لزوما مسائلی با ساختار پیچیده- با حل مسأله معمولی در ارتباط است. توانایی در حل مسألههاي بدیع با طرح مسائلی با ساختار پیچیده در ارتباط است.

.2 آموزش حل مسأله

آیا حل مسأله آموزش دادنی است؟ یکی از دلایل فقدان طرحی براي آموزش حل مسأله به دانش آموزان و دانشجویان، این است که آموزشگران ریاضی تا چندین سال پیش معتقد بودند که حل مسأله آموزش دادنی نیست بلکه یک هنر یا ویژگی و توانایی است که بعضی از انسانها دارند و بعضی ندارند. بنابراین هیچ کس تلاش براي حل مسأله به شاگردان نمی کرد. اما تعداد کسانی که درمورد آموزش حل مسأله تحقیق می کنند بیش تر است .

یکی از افرادي که در مورد چگونگی حل مسأله و آموزش آن تحقیق کرد جرج پولیا است. حاصل کار او در کتاب »چگونه مسأله حل کنیم« منتشر شد. مرحوم احمد آرام این کتاب را ترجمه کرده است. او در مقدمه ي کتاب خود می گوید: » من یک ریاضیدان هستم. متخصص آموزش ریاضی نیستم، اما علاقمندم بدانم چرا من می توانم مسأله ریاضی را حل کنم و دیگران نمی توانند؟ چرا بعضی از دانشجویان مسأله ریاضی را حل می کنند ولی بعضی نمی توانند؟ او همین سؤال ها را دنبال کرد مدل چهار مرحله اي براي تفکر حل مسأله ارائه کرد.

1-2 مهارت حل مسئله (مدل چهار مرحله اي پولیا)

فرایند تفکر حل مسأله براي افراد مختلف متفاوت است. در سال 1945 جورج پولیا با نوشتن کتاب (How to solve it) براي اولین بار مدل یا چارچوبی براي حل مسئله ارائه داد. پولیا تلاش کرده تفکر حل مسأله را به نوعی مدل سازي کند .او الگویی چهار مرحله اي را مطرح کرده است. در فرایند حل مسأله این چهار مرحله چهار گام طی می شوند تا یک مسأله ریاضی به طور کامل حل شود. مدل چهار مرحله اي او به این مشکل است:

الف. فهم سؤال ب. تهیه طرح یا نقشه پ. اجراي طرح ت. بازنگري

که به طور خلاصه هر کدام را به صورت زیر می توان توضیح داد:

الف. فهمیدن مسئله

پاسخ به پرسشی که فهمیده نشده کاري عبث و بیهوده می باشد لذا باید از افتادن چنین اتفاقی در کلاس جلوگیري شود و علاوه بر آن میل به پاسخ را در دانش آموز و دانشجوبان ایجاد کنند. بنابراین ابتدا معلم با استاد باید از شاگرد بخواهد مسئله را بصورت روان بیان کند و سپس مشخص کند که مسئله از نوع (ثابت کردنی) یا (پیدا کردنی) است. لذا شاگرد باید بتواند بخش هاي اصلی مسئله که مجهول و داده ها و شرط است بیان کند. بنابراین معلم یا استاد نباید پرسش هاي زیر را فراموش کند : مجهول چیست؟ داده ها کدام است؟ شرط چیست؟ آیا تحقق یافتن شرط مسئله امکان پذیر است؟ آیا شرط مسئله براي تعیین مجهول کفایت می کند؟ یا این که شرط مسئله کافی است؟ آیا شرط مسئله زائد است؟ آیا در شرط مسئله تناقض است؟ حال می توان به شاگردان پیشنهاد داد که : در صورت امکان شکلی رسم کنید علائم مناسب را به کار ببرید قسمت هاي مختلف شرط را از هم جدا کنید به منابع دیگر براي یافتن لغات و عبارت هاي کلیدي رجوع کنید.

ب. تهیه طرحی مناسب براي مسئله:

در اینجا از شاگرد خواسته شود ارتباط میان داده ها و مجهول را پیدا کند و در صورت نیافتن ارتباط مستقیمی میان داده ها و مجهول مسئله هاي کمکی را در نظر بگیرد تا بتواند براي حل مسئله نقشه اي طرح کند لذا سئوالات زیر براي طرح نقشه، توسط شاگرد می تواند مفید باشد. در این جا مسئله اي وابسته به مسئله شما وجود دارد که قبل از این حل شده است آیا می توانید آنرا به کار ببرید؟ آیا می توانید روش به کار رفته در آن را در این مسئله به کار ببرید؟ آیا باید یک عنصر کمکی را وارد کنید تا به کار بردن آن را ممکن سازد؟ آیا می توانید صورت مسئله را به صورت دیگري بیان کنید؟ اگر نمی توانید مسئله طرح شده را حل کنید ابتدا به حل کردن مسئله وابسته به آن بپردازید. آیا می توانید مسئله وابسته را که بیشتر در دسترس باشد تحلیل کنید؟ با یک مسئله کلی تر؟ با یک مسئله خاص تر؟ با یک مسئله مشابه؟ آیا می توانید یک قسمت از مسئله را حل کنید؟ تنها یک جزء از شرط را نگاه دارید. و باقی آن را کنار بگذارید در این صورت مجهول تا به چه اندازه معلوم می شود و چگونه تغییر می کند؟ آیا می توانید از داده ها چیز سودمندي استخراج کنید؟ آیا داده هاي دیگري به فکر شما خطور می کند که بتواند براي به دست آوردن مجهول سودمند باشد؟ آیا می توانید مجهول با داده ها یا در صورت لزوم هر دو را چنان تغییر دهید که مجهول تازه و داده هاي تازه به یکدیگر نزدیکتر باشند؟ آیا همه داده ها را به کار برده اید؟ آیا همه شرط ها را به کار برده اید؟ آیا همه مفاهیم اصلی مندرج در مساله را بکار برده اید؟ چند نمونه از استراتژي هاي که در طول حل مساله ممکن است بکار روند بقرار زیر می باشد: تهیه مدل یعنی رسم الگوي مشابه یا منحنی متناسب با موقعیت مسأله، تهیه فهرست جدول ها و منحنی هاي منظم و سازمان یافته و جستجو براي الگو

3

کارکردن برعکس انتخاب هاي نمادهاي مناسب، مشخص کردن اطلاعات داده شده مورد احتیاج و خواسته شده نوشتن یک معادله یا یک فرمول حل ساده تر و مرتبط با مساله داده شده، تقسیم یک مسأله به زیر مسأله هاي مختلف و حل هر کدام از آنها استفاده از استدلال استنتاجی کنترل فرضیه هاي پنهان در صورت مساله حدس یک جواب و آزمایش آن تغییر نحوه نگرش به مساله (تغییر دیدگاه).

پ. اجراي طرح (نقشه):

پس از آنکه طرح مناسب براي حل مساله تهیه شد باید آن را به مورد اجرا گذاشت. شخص باید نظارت کامل به پیشرفت اجراي طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کند که طرح کشیده شده او را به هدف که همان حل مساله می باشد رهنمون نکند بتواند طرح جدیدي را تهیه و اجرا بکند. سوالاتی که در ضمن اجراي نقشه معلم می تواند از شاگرد بپرسد بصورت زیر می باشد. آیا طرحی که تهیه کرده اید شما را به حل مساله هدایت می کند؟ آیا لازم است که طرح فعلی را کنار گذاشته و طرح جدیدي تهیه کند؟آیا براي اجراي طرح خود به اطلاعات اضافه تر یا کمک دیگران نیازمند می باشید؟

ت. بازنگري:

امتحان کردن جوابی که بدست آمده است. پس از پایان اجرا، حل کننده مساله باید بازنگري بر تمامی مراحل اجراي طرح داشته باشد.

.2-2 طرح مساله:

میخواهیم تعداد ساعت هایی که دانش آموزان در طول یک سال تحصیلی در مدرسه هستند را محاسبه کنیم.

براي این منظور ابتدا به محاسبهي تعداد ساعت ها یا روزهایی که دانشآموزان در مدرسه نیستند میپردازیم و از 365 روز کم می کنیم.

کار هایی که دانش آموزان در اوقات خارج از مدرسه انجام می دهند، فعالیت هایی نظیر خواب، تکالیف مدرسه و کلاس هاي آموزشی، صرف غذا و کارهاي شخصی، تماشاي تلویزیون و انجام سرگرمی و بازي با موبایل می باشند. در ذیل به محاسبه تعداد ساعت هاي انجام این فعالیت ها می پردازیم.

اگر فرض شود که دانش آموزان روزانه 7 ساعت بخوابند. درهفته آنها 49 ساعت یا تقریبا 2 روز کامل می خوابند. بنابراین در ماه 8 روز و در سال 96 روز کامل وقت آنها براي خوابیدن سپري می شود.

روزانه 7 ساعت خواب
یک هفته 49 = 7* 7 ساعت 2 ≈ روز کامل

یک ماه 8 = 4* 2 روز کامل
یک سال 96 = 8* 12 روز کامل

بنابراین 96 روز کامل از سال وقت دانش آموزان صرف خوابیدن می شود.

حال فرض شود که دانش آموزان روزانه 3:30 ساعت از وقتشان را صرف درس، تکالیف مدرسه، علایق و کلاس هاي آموزشی کنند. پس در هفته آنها 24 : 30 ساعت یا تقریبا 1 روز کامل را براي این فعالیت ها اختصاص میدهند و در یک ماه 4 روز کامل و در نتیجه براي 1 سال 48 روز کامل بدست می آید.

روزانه 3:30 ساعت براي درس، تکالیف مدرسه، علایق و کلاس هاي آموزشی
یک هفته 7 24:30 = 3:30* ساعت 1 ≈ روز کامل
یک ماه 4 = 4* 1 روز کامل
یک سال 48 = 4*12 روز کامل
بنابراین 48 روز کامل از سال وقت دانش آموزان براي درس، تکالیف مدرسه، علایق و کلاس هاي آموزشی می گذرد.

در آخر فرض شود که دانش آموزان روزانه 2:30 ساعت از وقتشان را براي غذا، 2 ساعت براي سرگرمی و موبایل و 1 ساعت براي کارهاي شخصی بگذرانند، که در مجموع روزانه 5:30 ساعت را صرف کارهاي مذکور می کنند. پس در هفته آنها 38:30 ساعت یا تقریبا 1/5 روز کامل و در یک ماه 6 روز کامل و یک سال 72 روز کامل را به این صورت می گذرانند.

روزانه 5:30 ساعت براي غذا، سرگرمی و موبایل و کارهاي شخصی
یک هفته 7 38:30 = 5:30* ساعت 1/5 ≈ روز کامل
یک ماه 6 = 4* 1/5 روز کامل
یک سال 72 = 6*12 روز کامل
بنابراین 72 روز کامل از سال وقت دانش آموزان براي غذا، سرگرمی و موبایل و کارهاي شخصی سپري می شود.