بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله یک روش عددی برای حل یکپارچه صفحات چهار ضلعی دلخواه با شرایط مرزی لولایی در محدوده تغییر شکلهای بزرگ، ارائه می شود. معادلات تعادل با استفاده از اصل کار مجازی و با بهره گیری از توابع لاگرانژ برای میدان جابجایی در هر سه راستای u ،v و w ، نوشته می شوند. برای مدل سازی رفتار ورق در تغییر شکلهای بزرگ از فرمولاسون ون-کارمن استفاده می شود. برای نمونه، به کمک این روش مثالهایی از ورقهای چهار ضلعی با اشکال مختلف - مربع ، متوازی الاضلاع، ذوزنقه متقارن و نا متقارن - با شرایط مرزی درون صفحه ای آزاد و بسته، حل می شود. برای بررسی صحت و دقت نتایج، مقایسه ای بین تغییر مکانها و تنشهای حاصل از این روش با نتایج دیگر محققان انجام می شود.
کلید واﮊهها : ورق چهار ضلعی، حل غیر خطی،تغیر شکلهای بزرگ، توابع لاگرانژ.
۱- مقدمه
در برخی از کاربردهای ورقهای نازک در صنعت، خیز یا تغییر شکل حداکثر، از ضخامت ورق تجاوز کرده و به دلیل وجود تغییرشکلهای بزرگ، سطح میانی کشیده شده و تنشها و کرنشهای مسطحه داخل صفحه با نام تنشها و کرنشهای غشایی، ایجاد می شود که موجب سخت تر شدن ورق گشته و مقاومت ورق را در مقابل بار به مقدار چشمگیری افزایش می دهد.شاید اولین تحقیق معتبر در زمینه خیزهای بزرگ صفحات توسط لوی در ۳۴۹۱ صورت گرفت ]۱.[ او به کمک توابع مثلثاتی، معادلات حاکم بر خمش صفحات نازک مستطیلی با تغییر شکلهای بزرگ را حل نمود.پس از او محققین زیادی به روشهای مختلف به حل غیرخطی استاتیکی یا دینامیکی صفحات با اشکال و شرایط مرزی گوناگون پرداخته اند.
از جمله برگان و کلاف در ۱۷۹۱ یک مدل اجزاﺀ محدود برای صفحات و پوسته های نازک ارائه کرده اند ]۲.[ آنها فرمولاسیون خود را بر اساس روش ریلی-ریتز و با استفاده از رابطه ون_کارمن بسط داده اند. یانگ و بتی در ۵۸۹۱ یک المان غیرخطی برای حل استاتیکی و دینامیکی صفحات با فرمولاسیون لاگرانژی به هنگام شده ارائه کرده اند ]۳.[ همچنین داوه و لم در۲۹۹۱ حل غیر خطی ورقها را با استفاده از روش نوارهای محدود انجام دادند ]۴.[ در مرجع ]۵[ نیز می توان برخی از کارهای انجام شده در این زمینه را مشاهده کرد.در این مقاله حل غیر خطی ورق چهار ضلعی دلخواه با تکیه گاههای لولایی با استفاده از فرمولاسیون ون- کارمن و به کمک اصل کار مجازی بررسی می شود. میدان جابجایی به کمک توابع لاگرانژ تعریف شده و روش نیوتن – رافسون اصلاح شده ، برای حل غیر خطی مسأله استفاده می شود.
۲- تئوری
اگر میدان جابجایی هر سیستم سازه ای توسط تعداد محدودی توابع پایه با ضرایب مجهول تحت عنوان تغییر مکانهای تعمیم یافته a، بیان شود می توان معادلات تعادل مورد نیاز را با استفاده از اصل کارمجازی طبق رابطه زیر بدست آورد:
بطوری که Ψ جمع نیروهای تعمیم یافته داخلی و خارجی و B از تعریف کرنش بدست می آید :
در تغییر شکلهای بزرگ، کرنشها به صورت غیر خطی با تغییر مکانها مرتبط بوده و در این حالتماتریس B وابسته به a بوده و می توان نوشت:
که در آن BL0 بخشی از B بوده که مستقل از a است - همانند حل خطی که کرنشها بسیار کوچک فرض می شوند - و BL1 تابع خطی از a می باشد. با این توصیف خواهیم داشت:
رابطه الاستیک بین تنش و کرنش را می توان بصورت σ Dε نوشت که اگر در معادله - ۲ - بکاررود خواهیم داشت:
برای حل معادله - ۱ - در حالت غیر خطی - تغییرشکلهای بزرگ - می توان از روش نیوتن-رافسون بهره گرفت، دراین صورت لازم است ابتدا رابطه بین δa وδΨ تعیین شود. با محاسبه تغییرات δΨ بر حسب تغییرات δa خواهیم داشت:
که در آن KT ماتریس سختی مماسی کلی است. با استفاده از معادلات - ۳ - تا - ۵ - داریم:
که در این معادله، عبارت داخل پرانتز با توجه به رابطه - ۳ - تعیین می شود: KS0 همان ماتریس سختی استاندارد برای تغییر مکانهای کوچک است و KS1 که به عنوان ماتریس تغییرمکانهای بزرگ یا ماتریس تغییر مکان اولیه شناخته می شود، تنها شامل جملاتی است که نسبت به a خطی یا از درجه دو هستند. جمله اول معادله - ۷ - را می توان به صورت زیر نوشت:
بطوری که KG یک ماتریس متقارن بوده که به سطح تنش بستگی دارد و به عنوان ماتریس تنش اولیه یاماتریس هندسی شناخته می شود. بنابراین با توجه به معادلات - ۶ - تا - ۹ - داریم:
برای ورقی که تحت تنشهای غشایی و خمشی قرار دارد، تنشها و کرنشها را می توان به صورت زیرتعریف کرد:
به طوری که p برای پارامترهای غشایی و b برای پارامترهای خمشی بکار می رود. در روابط فوق تنشها به صورت برآیند تنشها در ضخامت ورق تعریف میشود و کرنشهای εx، εy و γxy مربوط به سطح میانی ورق هستندکه با توجه به این که حل تغییرشکلهای بزرگ مد نظر است باید از تعریف کرنش گرین استفاده کرد]۷[،یعنی: به طوری که u، v و w تغییر مکانهای میان صفحه در جهات x ،y و z هستند. دو جهت متعامد x و y داخل صفحه و z عمود بر صفحه ورق می باشد. با توجه به روابط - ۰۱ - و - ۱۱ - اگر رفتار ماده در محدوده الاستیک باشد، ماتریس D در رابطه - ۵ - را می توان به صورت زیر بیان کرد:
میدان جابجایی ورق چهار ضلعی با تکیه گاههای لولایی را می توان در دستگاه مختصات طبیعی - ξη - به کمک توابع لاگرانژ به تغییرمکانهای تعمیم یافته مرتبط ساخت:
