بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
کاربرد روش اولر- لاگرانژ دلخواه در مدلسازي عددي تغییر شکلهاي بزرگ
الاستو- پلاستیک
چکیده
در این مقاله، تکنیکALE و فرمولاسیون آن در اجزاء محدود ارائه می گردد. در این روش، از یک وضعیت مرجع براي بیان حرکـت استفاده میشود. در دیدگاه ALE ، حرکت گرهها مستقل از حرکت نقاط مادي نظیر میباشد. در این روش گرههاي داخلـی طـوري حرکت داده میشوند که المانها از شکلنسبتاً منظمی برخوردار باشند. بدلیل حرکت نسبی میان گره ها و نقاط مادي نظیر، در معـادلات پایستگی ترمهاي انتقالی ظاهر خواهند شد. همچنین مقادیر تنش باید از دامنه اولیه به دامنه مرجع انتقال یابد. در ادامه براي نشان دادن قابلیت این روش در حل مسائلی که استفاده از روشهاي اولري و لاگرانژي به تنهایی امکان پذیر نیست، از چند مثـال عـددي اسـتفاده
شده است.
کلید واژه ها: روش ALE ، اجزاء محدود ، اعوجاج ، تغییر شکلهاي بزرگ ، دامنه مرجع ، سرعت انتقالی
-1مقدمه
بسیاري از مسائل را نمیتوان توسط مشهاي لاگرانژي آنالیز کرد. در مواردیکه ماده به شدت دچار تغییر شـکل می شود، المانهاي لاگرانژي نیز به تبع آن دچار اعوجاج میشوند زیرا در روش لاگرانـژي المانهـا بـا مـاده حرکـت میکنند. به دلیل اعوجاج شدید المانها، دترمینان ماتریس ژاکوبین در نقاط گوس منفـی خواهـد شـد کـه پیامـد آن، توقف محاسبات خواهد بود.[1] بعلاوه در بسیاري از مسائل با تغییـر شـکلهاي بـزرگ ، بازسـازي مشـهاي لاگرانـژي پروسه اي وقت گیرو پرهزینه خواهد بود.[2]
1
در برخی از مسائل ، روشهاي لاگرانژيماهیتاً نامناسب است. بعنوان مثال ، در مکانیک سـیالاتمعمـولاً، فقـط محدوده خاصی از سیال مورد مطالعه قرار میگیرد. براي آنالیز اینگونه مسائل ، المانهاي اولري مناسب تر می باشـد.
در المانهاي محدود اولري، المانها همگی ثابت هستند و ماده از درون آن حرکت میکند. بنابراین ، المانهاي اولـري در تغییر شکلهاي بزرگ ماده دچار اعوجاج نمیشوند، اما مهمترین اشکال روشهاي اولري اینست که رفتـار مـوادي که پاسخ آنها وابسته به تاریخچه بارگذاري است در این روشها به نحو مناسب مدل نمی شـوند. از طرفـی مدلسـازي حرکت مرزهاي جسم با المانهاي اولري مشکل است. در مسائلی که هم تغییر شـکلهاي بـزرگ و هـم حرکـت آزاد مرزهاي جسم وجود دارد هیچکدام از روشهاي لاگرانژي و اولري به تنهایی قابل استفاده نیست . [2] هدف اصلی از فرمولاسـیون ALE ، اســتفاده حــداکثر از مزایـاي دوروش قبــل و بــه حــداقل رسـاندن معایــب آن از طریــق ترکیــب دودیدگاه میباشد.
-2فرمولاسیون اولر-لاگرانژ دلخواه
(1-2 مکانیک محیطهاي پیوسته در فرمولاسیون ALE
در روش ALE ، دو نوع حرکت باید بیان شود، حرکت مش و حرکت ماده. حرکت ماده مطابق معمول بصورت زیر بیان میشود:
دامنه مرجع ( ˆΩ) براي بیان حرکت مش که مستقل از حرکت ماده است، استفاده میشود.[3] این دامنـه همـواره بـر مش منطبق است، بنابراین میتوان آن را دامنه محاسباتی نیز نامید. حرکت مش را میتوان بصورت زیر بیان کرد:
در فرمولاسیون ALE ، متغیرهاي وابستهمعمولاُ بر حسب مختصات ( χ ) ALE و زمان ( ( t بیان میشوند. بنـابراین براي محاسبه مشتق زمـانی مـادي ایـن پـارامترهـا از قـانون زنجیـره اي مشـتق گیـري ( chain rule ) اسـتفاده میکنیم. تابع ( f ( χ , t را در نظر بگیرید با استفاده از قوانین مشتق گیري میتوان نوشت:
که در رابطه فوق ،مشتق زمانی مادی تابع f می باشد.
می توان نشان داد مشتق زمانی مادي، با توجه به گرادیانهاي فضایی بصورت زیر محاسبه میشود:
در رابطه فوق c ، سرعت انتقالی است :
(2-2 انتقال تنش
وضعیت تنش در مادهاي که رفتار آن وابسته به تاریخچه بارگذاري است در روش لاگرانژي به بخوبی بیان میشود، زیرا همواره نقاط گوس بر نقاط مادي منطبق هستند .[4] از سوي دیگر در بیان ALE ، نقطه گوس بر نقطه مادي منطبق نیست. بنابراین لازم است مقادیر تنش توسط سرعت انتقالی c ، منتقل شود .[5] براي این کار از رابطه (4)استفاده می شود. در مکانیک جامدات، نرخ تغییرات مادي تنش توسط مدلهاي رفتاري گوناگون، با تاریخچه تغییر شکل و نیز وضعیت فعلی تنش رابطه دارد. بنابراین با توجه به معلوم بودن تاریخچه تغییر شکل ووضعیت فعلی تنش، مقدار مشخص خواهد بود. با استفاده از رابطه (4) میتوان نرخ تغییرات تنش را در مختصات ALE محاسبه کرد :
در این فرایند روش Super Convergent Patch Recovery (SPR) بمنظور انتقال تنشها ازنقاط گوس به نقاط گرهی مورد استفاده قرار گرفته است( 6و. 7)با بدست آمدن مقادیر گرهی و نیز استفاده از توابع شکل، مشتقات تنش براي استفاده در رابطه (6) محاسبه می شود.
(3-2 خطیسازي معادلات عناصر محدود
نرخ تغییرات نیروهاي گرهی داخلی در فرمولاسیون ALE بصورت زیر بدست می آید : [3]
همانگونه که از رابطه (8) ملاحظه میشود ماتریس سختیALE بر خلاف
، ماتریس نامتقارن میباشد
.
بنابراین از روشهاي حل متداول دستگاه معادلات خطی نظیر روش Choleskiنمیتوان در فرمولاسیون ALEاستفاده کرد.
( 4- 2 حرکت مش در فرمولاسیون ALE
در روشALE حرکت مش باید طوري باشد که مرزهاي جسم تغییر نکند. بدین معنا که حرکت گرههاي مرزي بایددر جهت عمود بر مرز لاگرانژي باشد و گرهها روي مرز حرکت کنند. بنابراین در هر نقطه مرزي باید رابطه زیر برقرار باشد : [2]
روشهاي مختلفی براي حرکت دادن مش وجود دارد. در اکثر این روشها حرکت گرههاي داخلی و نقاط مادي توسط یک رابطه خطی با هم ارتباط می یابند بدین معنا که :
که a و B به ترتیب بردار و ماتریس با ضرایب ثابت میباشد. با جایگذاري رابطه فوق در رابطه (7) نرخ تغییرات نیروهاي گرهی داخلی برابر است با 2-
-3 نتایج عددي
در این بخش، براي نشان دادن قابلیت روش عناصر محدود ALE در حل مسائل مکانیک جامدات از چند مثال عددي استفاده شده است . در مثال اول نشان داده می شود که در مسائلی که اعوجاج المانها چندان مطرح نمی باشد روشهاي ALE و لاگرانژي جوابهاي نزدیکی بدست می دهند . در مثال دوم نشان داده می شود که در تغییر شکلهاي بزرگ که روش لاگرانژي دچار مشکل می شود روش ALE می تواند مشکلات ناشی از اعوجاج در مش هاي لاگرانژي را برطرف کند.
(1-3 رینگ تحت فشار داخلی
در این مثال، یک سیلندر استوانه اي ضخیم تحت تاثیر فشار داخلی مورد بررسی قرار می گیرد و فشار داخلی ( P)
از صفر شروع شده و بتدریج تا افزایش می یابد . هندسه مسئله ، شرایط تکیه گاهی ونیز مش بندي آن در شکل (1) نشان داده شده است . همانگونه که در این شکل ملاحظه میشود، بخاطر تقارن مسئله تنها ربع سیلندر استوانه اي مورد بررسی قرارمی گیرد. در این مثال از12 المان ایزوپارامتریک 8 گرهی استفاده شده است . آنالیز انجام شده کرنش مسطح ( Plane Strain) و مدل رفتاري استفاده شده ، Von Mises می باشد. شکل
(2) میزان جابجایی سطح داخلی سیلندر را با افزایش فشار داخلی نشان میدهد در این نمودار نتایج بدست آمده از هر دو روش ALE و لاگرانژي نشان داده شده است.
Punch (2-3
در این مسئله جسمی با سطح مقطع مستطیل به عرض 60mm و ارتفاع 12/5mm توسط یـک قالـب بـدون اصـطکاك صلب تحت فشار قرار می گیرد ( به شکل3 مراجعه شود ). در این مثـال از یـک مـدل رفتـاري الاسـتو – پلاسـتیک Von Mises استفاده شده است . آنالیز از نوع کرنش مسطح بوده و شرایط مرزي ازنوع جابجایی مـی باشـد. بـدین ترتیب که کلیه نقاط زیرقالب باندازه 5mm جابجا می شوند تا ارتفاع جسم بانـدازه %40 کـاهش یابـد . بـا توجـه بـه تقارن مسئله تنها ربع جسم با استفاده از 12×5 المان مستطیلی هم اندازه ، مدل می شود .
4
