بخشی از مقاله
چکیده
ورق هاي دایروي و حلقوي در سیستمهاي مهندسی دوار با سرعت بالا یک المان بسیار مهم هستند و کارایی کل سیستم به کارایی این ورقها وابسته است. به همین علت بررسی رفتار ارتعاشی ورقهاي مدور بسیار مهم به نظر میرسد. در این مقاله، تحلیل ارتعاشات آزاد ورقهاي قطاعی ایزوتروپیک بر مبناي تئوري تغییر شکل برشی مرتبه اول مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است. با استفاده از اصل همیلتون و معادله الکترواستاتیکی ماکسول چند معادله دیفرانسیل وابسته بدست می آید. جهت حل معادلات مذکور یکسري توابع کمکی و پتانسیل معرفی شده و از روش جداسازي متغییرها استفاده شده است.به منظور بررسی دقت روش به کار رفته، نتایج عددي با نتایج موجود در مراجع مقایسه شده است که مطابقت بسیار خوبی میان نتایج حاصل از این تحقیق و مراجع حاصل شده است.
کلیدواژگان: ارتعاش آزاد؛ورقهاي قطاعی ؛ اصل همیلتون ؛ تئوري تغییر شکل برشی مرتبه اول
1. مقدمه
ورق ها عناصر سازهاي مهمی میباشند که در بسیاري از موارد بکار میروند. در مهندسی عمران، پنلهاي مسطح در انواع سازههاي فولادي و بتنی موجود است. در صنایع هوافضا براي ساخت هواپیما و موشک و در کشتیسازي براي ساخت انواع زیردریایی و کشتی بکار برده میشوند. در مهندسی مکانیک ورقها به عنوان دیسکهاي چرخان در سیستمهاي ترمز و قسمتهایی از کلاچ مشاهده می-گردند. همچنین به عنوان پنلهاي مسطح در بدنه ماشینها وجود دارند. ورقها به عنوان محفظه در بسیاري از تجهیزات الکتریکی و الکترونیکی مورد استفاده میگیرند. ورقها داراي اشکال گوناگون مستطیلی، دایروي، لوزي شکل، مثلثی و ذوزنقهاي میباشند. لوحهاي فشرده در واقع ورقهاي دایروي میباشند .[1]
مطالعه روي ارتعاش ورق ها از اوایل قرن نوزدهم آغاز شد. ابتدا کلانی [2] ارتعاشات آزاد ورقهاي مربعی که تمامی لبههاي آن آزاد بودند را بررسی نمود. پس از آن ریلی [3]و ریتز [4] روشی براي به دست آوردن فرکانس طبیعی ارتعاش در هر ساختاري را ارائه نمودند. پس از آن کارهاي زیادي در زمینه ارتعاش ورق با اشکال مختلف صورت پذیرفت که در اینجا مختصري از کارهاي انجام شده آورده میشود.[7] [6] [5]دریسویچ و میندلین [8] مطالعات خود را در زمینه ارتعاشات متقارن محوري صفحات دایروي شروع کردند.آنها فرکانس صفحات دایروي را با استفاده از تئوري میندلین و تئوري مرتبه اول کلاسیک بدست آوردند .سونی و همکارانش[9]مطالعات خود در زمینه ارتعاشات متقارن محوري آزاد ورقهاي دایروي با ضخامت متغیر انجام دادند.آنها از تکنیک چبیشف به منظور حل معادلات استفاده نمودند . چانگ و کوك [10] فرکانس ارتعاش ورقهاي ضخیم دایروي که داراي تکیه گاه ساده ویا گیردار بودند را بدست آوردند که به این منظور آنها از روش المان محدود استفاده نمودند.
ون کاتسان و کونوکاسریل [11]ارتعاشات آزاد ورقهاي دایروي چند لایه را بررسی نمودند. در تحلیل آن ها هر لایه به صورت ایزوتروپیک در نظر گرفته شد اما خواص مواد و ضخامت آنها متفاوت بود. معادلات دیفرانسیل بر پایه تئوري مرتبه اول میندلین ودر مختصات قطبی صورت پذیرفت. [7] گوروسوامی1 و یانگ[12]2 یک روش المان محدود قطاعی را براي تحلیل دینامیکی ورقهاي ضخیم در نظر گرفتند .تئوري ورقهاي میندلین در این مطالعات مورد استفاده واقع شد. برخی از جوابهاي عددي مربوط به ارتعاشات آزاد ورقهاي حلقوي نیز ارائه گردید. مسئله مشابهی نیز توسط راو و پراساد3 [13] حل گردید. ایري[14]4 رفتار ارتعاشی ورقهاي میندلین را با نه ترکیب از شرایط تکیهگاهی مختلف مربوط به لبههاي داخلی و خارجی تحلیل نمود. او براي توابع پذیرفتنی مربوط به جابجایی از توابع بسل در مسیر شعاعی و توابع مثلثاتی در مسیر جانبی استفاده نمود. وي از این طریق جوابهاي با ارزشی را توانست استخراج نماید . برخی از نتایج مربوط به ورقهاي دایروي با شرایط مرزي مختلف نیز ارائه گردید.
.2 فیزیک مسئله
ورق قطاعی نازکی را در نظر بگیرید که داراي ضخامت 2h میباشد. با توجه به شکل شعاع داخلی و شعاع خارجی ورق به ترتیب ri , r0 و مبدا دستگاه محورهاي مختصات استوانهاي در مرکز ورق، در صفحه میانی تعبیه میگردد. با فرض تئوري تغییر شکل برشی مرتبه اول روابط جابجایی ورق در دستگاه مختصات کارتزین به صورت زیر بیان میشوند
