بخشی از مقاله
چکیده:
نظریه ي آشوب به مطالعه سیستم هاي دینامیکی آشوب ناك می پردازد . سیستم هاي آشوب ناك ، سیستم هاي دینامیکی اي غیر خطی هستند که نسبت به شرایط اولیه شان بسیار حساس اند. تغییري اندك درشرایط اولیه ي چنین سیستم هایی باعث تغییرات بسیار در آینده ي آنها خواهد شد.سیستم هاي آشوب ناك رفتارهاي پیچیده و غیر تناوبی از خود نشان می دهند. بررسی این رفتارها از اهمیت بسیار زیادي برخوردار است. مطالعه آنها هم اکنون سرلوحه مطالعات در بسیاري ازعلوم از جمله در فیزیک و... می باشد.هدف دراین مقاله بررسی رفتارآشوب ناك حرکت آونگ دوگانه درصفحه قائم است. ابتداء معادلات حرکت با استفاده از دینامیک لاگرانژي بدست آورده می شود. سپس سیماي فاز این سیستم و سایر نمودارها از طریق حل عددي معادله دیفرانسیل بدست می آید. تا با مقایسه آنها ، به درك بهتري از رفتار آشوب ناك آونگ دوگانه برسیم.
کلمات کلیدي:سیستم هاي غیر خطی، آشوب، آونگ دوگانه، مکانیک کلاسیک
.1 مقدمه
درطی سه دهه گذشته انقلاب آشکاري رخ داده است. راین پیشرفت جدید مربوط به دستگاهاي مکانیکی است که رفتار آنها به صورت آشفته توصیف می شود.موضوع خاصی از دینامیک آشوب، تغییرات کوچک در شرایط اولیه یک مساله است که می تواند به حد کافی تقویت شود تا باعث تفاوت هاي اساسی درخروجی هاي پیش بینی شده شود.این پدیده در آب وهوا، حرکت جابحایی سیالات گرم شده، حرکت اجسام متصل به منظومه شمسی، لیزرها، مدارات الکترونیکی وحتی برخی از واکنشهاي شیمیایی صورت می گیرد.رنوسان منظم در چنین سیستمهایی خود را مانند یک رفتار غیر تکراري نشان می دهد .q[1]
پایه واساس یک حرکت بی نظم براي سیستم غیرخطی رفتاري غیرقابل پیش بینی است. راین نوع حرکت درسیستم هاي مکانیکی ساده نظیر آونگ یا اجسام مرتعش که فراتر از ناحیه خطی خود تحریک شده اند نیز مشاهده میگردد.q [2]ر آونگ دوگانه یک مثال ازیک سیستم دینامیکی ساده است که رفتار پیچیده اي شامل آشوب را نشان می دهد.حل چنین سیستمی در کلی ترین حالت به معادلات دیفرانسیل غیرخطی منجر می شود که باید به روش عددي حل شوند.ردر واقع این مسئله یکی از مسائلی است که به زیبایی ترکیب فیزیکر وریاضی را نشان می دهد.رآونگ دوگانه اغلب به عنوان یک مدل مکانیکی براي نشان دادن حرکت هاي پیچیده غیر خطی سیستم ها در ماشین ها ومقایسه با نوسان هاي هارمونیک خطی به کار می رود[3]
در این مقاله، سیستم آونگ دوگانه به عنوان یک سیستم سادهو نمونه ي خوب آموزشی، که می تواند رفتارآشوب ناك از خود نشان دهد، مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته است. رتا ورود و مقدمه اي براي شناخت سایر سیستم هاي پیچیده آشوب ناك باشد. ردر بخش اول این مقاله معادلات حرکت آونگ دوگانه را در حالت کلی بدست آورده و در بخشهاي بعدي به حل عددي معادلات حرکت به روش رانگ –رکوتا با استفاده از نرم افزار مطلب می پردازیم و سپس سیماي فاز و سایر نمودارهاي مربوطهرا بدست می آوریم و در بخش پایانی نتیجه گیري می کنیم 10]و.q[8
.2 اهمیت وضرورت بررسی پدیده آشوب
اهمیت بررسی رفتار آشوبناك آونگ دو گانه، به عنوان یک نمونه خوب آموزشی، استفاده از آن براي تحقیق درمورد سیستم هاي آشوبناك است. ر به طور کلی اهمیت و لزوم وجود این بخش از آن جهت میباشد که انگیزه هاي لازم و قوي را به منظور تجزیه و تحلیل این پدیده غیر خطی تامین نماید.رباعث روشن شدن زمینه هاي حضور و ظهور آشوب و همچنین تاثیرات آن بر عملکرد سیستمها خواهد شد.رنیاز به دانستن و تحقیق نه تنها امکان شناخت هر چه بیشتر از سیستمها را فراهم می نماید بلکه سبب تحقق موارد ذیل نیز می گردد.-1 رفراهم گشتن امکان توضیح و کشف علل بسیاري ازر حوادث یا پدیده هاي طبیعی. -2رامکان جلوگیري از برخی سوانح و خطرات.-3 رتصحیح رفتار و عملکرد برخی از سیستمها در جهت مطلوب.رر -4 رایجاد آشوب در محدوده اي مشخص و تحت شرایطی کنترل شده.-5رتشخیص علت پاره اي از بی نظمی ها و تصحیح قوانین علمی و کشف قوانین جدید.رر -6ردرمان برخی بیماریها و ایجاد محیطی بهتر و سالم تر.
.3 معادلات حرکت آونگ دوگانه در حالت کلی
آونگ دو گانه صفحه اي شکل ع1لا، متشکل از دو آونگ جفت شده است. ریعنی دو جرم نقطه اي روکه به میله هاي بدون جرمی با طول ثابت رو رمتصل شده اندودر یک میدان گرانش ثابت حرکت می کنند. ر براي سادگی فقط یک حرکت صفحه اي از آونگ دوگانه را مورد بررسی قرار می دهیم . ر چنین آونگ دوگانه صفحه اي ، اغلب به سادگی به عنوان یک مدل مکانیکی براي نشان دادن حرکت هاي پیچیده غیر خطی سیستم ها در ماشین ها به کار می رود.ر وبا نوسان هاي هارمونیک خطی مقایسه می شود[4]ر.رر نمایش حرکت آونگ به طور مناسبی به وسیله مختصات تعمیم یافته زوایاي رو رکه به مختصات دکارتیع ‚ رلار به طوري که i=1‚ 2ررر، وابسته اند توصیف می شود.
