بخشی از مقاله
خلاصه
بیشتر سیستمهای سازهای در برابر بارهای دینامیکی شدید از قبیل تحریکات زمین، بادهای شدید و نیروی امواج، متحمل تغییر شکلهای غیرخطی میباشند. یکی از رویکردهای ارزیابی رفتار غیرخطی سازهها در برابر بارهای تصادفی، بکارگیری تئوری ارتعاشات تصادفی میباشد. در مقاله حاضر با استفاده از تئوری ارتعاشات تصادفی به بررسی پاسخ لرزهای غیرخطی سیستم یک درجه آزادی در حوزه فرکانسی پرداخته شده است. سیستم سازهای مورد مطالعه در این مقاله به صورت یک ستون طرهای با جرم متمرکز در راس آن و همچنین مدل انتخابی برای بیان رفتار غیرخطی این سیستم به صورت مدل هیسترزیس دوخطی در نظر گرفته شده است.
پاسخ لرزهای غیرخطی سازه با محاسبه ریشه میانگین مربعات - RMS - پاسخ نوسانگر با استفاده از مفهوم تعادل انرژی تلف شده و انتگرال گیری در تمام سطوح انرژی با بکارگیری تابع چگالی انرژی سیستم محاسبه شده است. در نهایت نتایج حاصل از تئوری ارتعاشات تصادفی در حوزه فرکانس با حوزه زمان برای دو دسته از رکوردهای نزدیک و دور از گسل مقایسه شده است که مدل بایاس پاسخ غیرغطی حاصل از ارزیابی این رکوردها نشان دهنده دقت مناسب رویکرد بکارگرفته در تحقیق حاضر می باشد.
.1 مقدمه
یکی از مباحث اصلی مهندسین سازه، ارزیابی ایمنی سازه ها در برابر تحریکات تصادفی از قبیل زمین لرزه، باد و نیروی امواج با وجود فراوانی کمیتهای تصادفی و در نتیجهی آن بروز عدم قطعیتها در تحریکات ورودی، مشخصات و خصوصیات سیستم ها میباشد. این عدم قطعیتها میتواند ناشی از طبیعت تصادفی پدیدهها - عدم قطعیت تصادفی - و یا ناشی از نقص دانش بشری - عدم قطعیت در مبانی - باشد. با وجود فراوانی عدم قطعیتها و تلاش جهت بهبود مراحل طراحی، استفاده از ارزیابی احتمالاتی سازهها امری ضروری به نظر میرسد. در ارزیابی احتمالاتی سازها، تابع چگالی احتمال مربوط به پاسخ اطلاعاتی مهمی در مورد ماکزیمم مقادیر پاسخ به ما می دهد.
از این رو یکی از رویکرد ها جهت ارزیابی رفتار غیرخطی سازهها در برابر بارهای تصادفی محاسبه تابع چگالی احتمال پاسخ می باشد. کولموگروف با انجام بررسی های زیادی به فرمولبندی ریاضیاتی معادلات حرکت چگالی های احتمال دست یافت [1] و در این زمینه افراد دیگری چون فوکر، پلانک سهم مهمی داشتند. تعداد زیادی از مقالات مهم در این زمینه در کتابی به وسیله واکس چاپ شدند .[2] مطالعات گذشته به اثرات نوفه افزایشی بر روی سیستم های خطی محدود بودند. حل این نوع مسائل خطی را می تواند به وسیله تعدادی از تکنیک های استاندارد بدست آورد.
بنابراین، بررسی در مورد سیستم های غیر خطی مشکل تر بود و حل این مسائل به طور کامل ممکن نبود. اولین کارها در مورد مسائل مربوط به تحریکات تصادفی سیستم های غیر خطی، توسط اندرو و همکاران انجام شد، که آنها از معادلات فوکر-پلانک برای مطالعه حرکت سیستم های دینامیکی تحت تحریکات تصادفی استفاده نمودند.[3] برای محاسبه تابع چگالی احتمال پاسخ ابتدا از روش های دقیق استفاده می شد 5]،.[4 اما این روش برای حالتی که معادلات حرکت پیچیده باشند محدودیت داشت به همین دلیل روش های دیگری تحت عنوان روش های تقریبی معرفی شدند.
برای بدست آوردن حل تقریبی مسائل ارتعاش تصادفی غیر خطی، روشی کلاسیک به نام خطی سازی معادل موجود می باشد. که در آن معادله حرکت غیر خطی با یک حالت خطی که حل آن راحت تر است، معادل می شود. اختلاف این دو سیستم در فرآیندهای تصادفی می باشد. این روش برای سیستم های غیرخطی ضعیف وتحت تحریکات نوفه سفید گوسین افزاینده استفاده می شود و برای حل سیستم های چند درجه آزادی نیز کاربرد دارد. این روش پیش بینی دقیقی از پاسخ در رنج متوسطی از فرکانس ها می دهد اما برای سیستم های با رفتار شدید غیر خطی، طیف پاسخ خیلی ضعیفی را نتیجه می دهد. مثال های متعددی از این روش را می توان در کارهای مادسن و همکاران [6] و روبرتز و سپانوز [7] مشاهده نمود.
از روش های کلاسیک حل معادلات غیرخطی می توان به روش غیرخطی سازی معادل اشاره نمود. روش غیرخطی سازی معادل به عنوان راه حلی تقریبی برای حل سیستم های هیسترزیس غیر خطی شدید تحت تحریکات جمع شونده معرفی شد.[8] در این مطالعه برای محاسبه چگالی احتمال پاسخ، سیستم هیسترزیس اصلی با یک سیستم غیرخطی معادل جایگزین می شود. شرط انتخاب سیستم جایگزین، هیسترزیس بودن سیستم ها و یکسان بودن انرژی تلف شده در آنها می باشد.
از این روش نیز برای سیستم های با میرایی غیرخطی و تحت تحریکات تصادفی جمع شونده استفاده شد.[9] در این روش سیستم غیر خطی اصلی با یک سیستم معادل جایگزین می شود که همچنان غیر خطی باقی می ماند ولی حل معادلات مربوط به این سیستم غیر خطی معادل ساده تر می باشد. روش های غیر خطی سازی معادل را نیز می توان برای سیستم های یک درجه آزادی با تحریک ورودی پارامتریکی یعنی وقتی که تحریک ورودی تابعی از پاسخ باشد، بسط داد .
در راستای راه حل های دقیق برای دسته پتانسیل مانای تعمیم یافته، کای ولین [10] روش تقریبی دیگری را با نام تعادل انرژی تلف شده گسترش دادند که بیشترین کاربرد آن در بخش مکانیک احتمالاتی برای نوسانگرهای یک درجه آزادی می باشد. در این روش سیستم غیرخطی با سیستم های غیرخطی دیگری از دسته پتانسیل مانای تعمیم یافته جایگزین می شود ملاک سیستم جایگزین این است که میانگین انرژی تلف شده در دو سیستم یکسان باشد.
در واقع این روش تغییر یافته روش غیرخطی سازی معادل می باشد که برای سیستم ها تحت تحریکات نوفه سفید گوسین جمع شونده و افزاینده کاربرد دارد. کاربرد این روش را نیز می توان در تحقیق اخیر یزدانی و سلیمی [11]در حوزه ارتعاشات غیرخطی مشاهده کرد. در مطالعه حاضر با بهرهگیری از مطالعات یزدانی و سلیمی [11] به ارزیابی پاسخ غیر خطی یک ستون طره با رفتار هیسترزیس دو خطی تحت تحریکات تصادفی زمین برای حوزه نزدیک و دور از گسل در حوزه فرکانسی پرداخته شده است و در نهایت نتایج در حوزه فرکانس و حوزه زمان با هم مقایسه می شوند.
همان طور که ذکر شد، در این تحقیق از رویکرد احتمالاتی جهت تخمین ریشه میانگین مربعات جابجایی و همچنین محاسبه طیف جابجایی سیستم هیسترزیس دو خطی نشان داده در شکل - 1 - ، استفاده شده است. نتایج پاسخ غیرخطی در حوزه فرکانس با حوزه زمان برای دو دسته از زمین لرزه های نزدیک و دور از حوزه گسل مورد ارزیابی قرار گرفته است. مشخصات ایستگاه های زمین لرزه ها در جداول - 1 - و - 2 - به ترتیب برای حوزه نزدیک و دور از گسل نشان داده شده است.
همانطور که مشاهده می شود برای زمین لرزه های حوزه نزدیک از 15 رکورد مختلف مربوط به زمین لرزه های مختلف و برای حوزه دور از 10 رکورد در ایستگاه های مختلف مربوط به زلزله chi chi 1991 استفاده شده است. نتایج مربوط به پاسخ غیرخطی ستون طره با رفتار هیسترتیکی تحت زمین لرزه های نزدیک گسل، برای دو حوزه زمانی و فرکانسی در شکل - 2 - و برای زمین لرزه های حوزه دور در شکل - 3 - نشان داده شده است. همانطور که در شکل های - 2 - و - 3 - مشاهده می شوند، طیف جابجایی غیرخطی مربوط به ستون طره در حوزه فرکانسی و زمانی برای هر دو دسته زمین لرزه های نزدیک و دور از حوزه گسل نتایج نزدیک به هم را حاصل می دهند. این نتایج بیانگر ارزیابی مناسب روش به کار گرفته شده در تئوری ارتعاشات تصادفی غیرخطی می باشد.
