بخشی از مقاله
خلاصه
در این پژوهش، روشی برای تحلیل دینامیکی سیستم سازهای یک درجه آزادی با معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری تحت تحریکات هارمونیک با استفاده از مفاهیم موجکها ارئه میشود. در این مقاله ابتدا مفاهیم موجک هار و معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری به منظور دستیابی به روشی برای تحلیل دینامیکی سیستمهای با معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری معرفی شده است. در×ادامه معادلات حاکم بر سیستمهای یک درجه آزاد با عملگرهای موجکی نشان داده شده و تحت تحریکات هارمونیک توسعه داده شده است. به منظور صحت سنجی از مقایسه نتایج روش پیشنهادی با حل دقیق موجود در حوزه معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری در یک مثال پایه استفاده شده است. همچنین نتایج برای معادلات دیفرانسیل مرتبه کامل با روشهای پیشین رایج مقایسه شده است. نتایج شبیهسازی عددی حاکی از کارایی روش در حل معادلات ارتعاش سیستم یک درجه آزادی مرتبه کسری می باشد.
.1 مقدمه
معادلات دیفران سیل مرتبه دوم حرکت حاکم بر سازه ها با روشهای عددی مختلفی برای رفتار خطی و رفتار غیرخطی حل شدهاند. از نگاه ریا ضی این روشهای عددی به دو دسته اصلی تقسیم میشوند. اولین دسته آن روشهایی هستند که از شیوههای صریح برای تحلیل استفاده میکنند و نیازی به راه حل های گامبهگام ندارند. دومین دسته تکنیکهای ضمنی هستند که نیاز به یک دسته معادلات خطی هم زمان برای یافتن پاسخ تحلیل ارتعاشات دارندبٍب×،بٌب . در سال های اخیر محاسبات کسری به موضوع مورد علاقه محققین در زمینههای مختلف تبدیل شده است. دلیل این گرایش مدل سازی واقعگرایانه یک پدیده فیزیکی است.[3] علاوه بر مدل سازی روشهای حل، قابلیت اعتماد به آنها نیز از اهمیت بالایی برخوردار است. بنابراین روشهایی با دقت بالا همیشه نیاز هستند. برای این منظور چندین شیوه برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری پیشنهاد شده است. پرکاربردترین آنها، تجزیه آدومین–[4]1 [6]، روش های تکرار متغیر[7] ,[6] 2،×تبدیل دیفرانسیل کسری3بٌٍب–بَب×و سری توانی[13]4 هستند. در کنار این روشها، روشهای کلاسیک مانند روش تبدیل لاپلاس وجود دارد. مقالات کمی کاربرد ماتریس عملیاتی موجک هار را در حل معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری استفاده کردهاند,[14] .[15]
تحلیل موجکی در سال های اخیر مورد توجه محققین و مهندسین قرار گرفته است. تحقیات در مورد قسمت ریاضیات موضوع نه تنها در حالت معادلات دیفران سیل معمولی بلکه در حالت معادلات دیفران سیلی مرتبه ک سری کار شده ا ست. مهدوی و همکاران در بٌّب تحلیل دینامیکی سازه های عمرانی را برای حالت معادلات دیفرانسیل معمولی کار کرده اند.که نتایج قابل قبولی در مقایسه با روشهای کلاسیک به دست آمده است. در این مقاله ابتدا مفاهیم موجک هار و ماتریس عملیاتی موجک هار آورده شده اند. در ادامه کاربرد ماتریس عملیاتی موجک هار در حل معادلات دینامیکی دیفرانسیل مرتبه کسری نشان داده شده و معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری حاکم بر سازه در قالب یک مثال عددی حل شده است.
2. مفاهیم موجک هار ×
نظریه موجک یکی از شاخه های ریاضیات است که اولین بار در سال 1807 توسط ژوزف فوریه، ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی مطرح شد. فوریه نشان داد که یک تابع - I - [ را میتوان به وسیله حاصل جمع بی نهایت تابع سینوسی و کسینوسی نشان داد. در سال 1909 هار موفق شد تابع I - [ - را در بازه های بسته و مشخصی بررسی نماید. ساده ترین نوع توابع موجکی، تابع موجک هار است. پایه متعامد{KQ - W - } موجک هار در فضای هیلبرت Ln[0,1] شامل:[3]
3. ماتریس عملیاتی مرتبه کسری
+P - W - تعریف شده در معادله - 7 - میتواند به صورت تقریبی با سری هار به وسیله ماتریس ضرایب P تخمین زده شود. ××در معادله - 11 - ماتریس مربعی P ماتریس عملیاتی موجک هار نامیده میشود. هدف بدست آوردن ماتریس عملیاتی موجک هار برای مرتبه های کسری می باشد. برای رسیدن به این منظور از تعریف انتگرال مرتبه کسری ارائه شده توسط ریمون- لیوویل1 استفاده شده است:
مرتبه انتگرال می باشد. ∟ - - تابع گاما را نشان می دهد. اگر f - t - بسط یافته تابع هار باشد همان طور که در معادله - 13 - نشان داده شده است انتگرال کسری ریمون-لیوویل به صورت زیر تبدیل میشود. بنابراین میتوانیم tα-1*f - t - را یکپارچه کرده و سپس به تابع هار ب سط داد. انتگرال مرتبه ک سری ریمان- لیویل با تابع هار حل می شود.برای این منظور ×m تا تابع پالس بلوک به صورت معادله - 15 - تعریف میکنیم :
