بخشی از مقاله
چکیده
مطالعه پخش بیماری یکی از قدیمی ترین مسائل جامعه انسانی است که بارها مورد بررسی قرار گرفته است. تنوع بیماری های واگیر دار و بررسی عوامل موثر در اپیدمی بیماری و پارامترهای کنترل برای اینگونه بیماری ها عوامل مهمی هستند که باعث کنترل بیماری در کل جامعه می شوند. در بعضی از بیماری های واگیر دار انتقال بیماری از طریق تماس فرد ناقل با فرد سالم امکان پدیر است. در این مقاله با مرور مختصر مدل استاندارد پخش بیماری ، مدل تعمیم یافته پخش بیماری واگیردار تماسی در شبکههای همگن معرفی شده است. با روش سیستمهای دینامیکی - پایداری نقاط تعادل سیستم - آستانه پخش همگانی یا اپیدمی برای مدل تعمیم یافته تماسی محاسبه شده است.
مقدمه
در سالهای اخیر، مدل سازی با استفاده از شبکهها بدون شک یکی از راههای مطلوب محققان برای نمایش سیستمهای اجتماعی، بیولوژیکی و فیزیکی بوده است 1] و .[2 در حالت کلی شبکهها گرافهای متصلی هستند که در آنها رأسها حداکثر با یک یال به هم متصل میشوند. در این حالت رأسها نشان دهنده افراد و یالها نشانه دهنده برهمکنش بین افراد میباشند 3] و .[4 سازوکار بیماریهای واگیر، ابزاری است که برای مطالعه مکانیزم پخش بیماری استفاده شده است تا بتوان پیش بینیهای لازم را برای آینده و همچنین برای کنترل اپیدمی انجام داد. از میان مدلهای ممکن، مدلهایی که بیشتر مورد مطالعه قرار گرفتهاند عبارتاند از [7-5] 1 SIS و [13-8] 2 SIR میباشند. در مدل SIR افراد نسبت به بیماری به سه دسته تقسیم میشوند: 3S، کسی که به بیماری مبتلا نیستند و می توانند به آن مبتلا شوند. 4I، کسی که بیمار بوده یا ناقل بیماری است.
5R، افرادی که پس از یک دوره بیماری نسبت به آن ایمن شده اند و تا مدتی نسبت به بیماری مصونیت دارند. این گروه بهبود یافته و یا اینکه در اثر بیماری از بین رفته اند. اگر ناقل با فرد سالم تماس برقرار کند، بیماری در بین جمعیت پخش میشود. هر فرد بیمار پس از برقراری تماس با بقیه افراد جامعه، باعث انتقال بیماری می شود. اگر آن فرد سالم باشد، او به یک بیمار تبدیل میشود و اگر آن فرد یک بیمار یا یک بهبودیافته باشد که نسبت به بیماری مصونیت یافته است دیگر امکان انتقال بیماری از بین میرود. . در ابتدا مدل را برای بیماری واگیر داری که بر اثر تماس افراد منتقل شده و باعث مرگ آنها می شود تعریف می کنیم. با استفاده از مفاهیم سیستمهای دینامیکی اپیدمی را برای شبکههای همگن پیدا میکنیم.
مدل تعمیم یافته پخش بیماری
بر اساس مرجع [14] که ما آن را مدل استاندارد مینامیم، فرآیندهایی که بین یک ناقل و بقیه افراد جامعه اتفاق میافتد به صورت زیر تعریف میشود: فرآیند پخش: II SI وقتی که یک ناقل بیماری با یک فرد سالم تماس حاصل میکند، با نرخ بیماری پخشمیشود. فرآیند تماسی: RI II وقتی یک ناقل با یک بیمار دیگر تماس حاصل می کند، بر حسب قدرت تحمل بیماری، ناقل اولیه با نرخ از بین خواهد رفت. فرآیند مرگ: R I هر بیمار با نرخ ممکن است به طور خودبهخودی از بین برود.. اگر Sk - t - ، - I k - t و - Rk - t به ترتیب معرف چگالیهای سالم، ناقل یا بیمار و از بین رفته با درجه k - تعداد اتصالات - در زمان t باشند آنگاه این کمیتها شرط بهنجارش 1 Rk - t - I k - t - Sk - t - را ارضاء میکنند. برای شبکههای همگن با استفاده از روش تقریب میدان میانگین آستانه بحرانی پخش به صورت k c میباشد .[14] k نشان دهنده توزیع درجه ثابت برای تمام رأسها و آستانه پخش به نرخ فرآیند مرگ خودبخودی بستگی دارد و مستقل از نرخ مرگ تماسی میباشد. این آستانه با مقدار به دست آمده برای مدل SIR در شبکههای همگن یکسان است .[10-8]
در اینجا ما فرآیندهای معرفی شده در مدل استاندارد را اصلاح کرده و تعمیم خواهیم داد. در مدل استاندارد فرض شده است که هرگاه یک ناقل با یک فرد سالم ملاقات میکند، فرد سالم با نرخ به یک ناقل تبدیل میشود - . - SI II اما بر اساس سن و وضعیت فرد سالم ممکن است زودتر از فرد ناقل از بین برود و یا اینکه برای مدتی تبدیل به یک ناقل شود. این فرآیند به این صورت قابل تعمیم و اصلاح میباشد که هنگام ملاقات یک ناقل با یک فرد سالم، این احتمال هم وجود دارد که فرد سالم زودتر از بین برود. بنابراین هنگام تماس یک پخش کننده با یک سالم، با احتمال p فرد سالم به ناقل تبدیل میشود و با احتمال - 1 p - زودتز از بین می رود. به طور خلاصه داریم: به منظور نشان دادن برخی ویژهگیهای مدل تعمیم یافته نسبت به مدل استاندارد، پخش مدل تعمیم یافته را در شبکههای همگن - که در آنها تغییرات درجه بسیار کوچک میباشد و درجه رأسها ناهمبسته میباشند - بررسی میکنیم. در این مدل p - k - k را به عنوان تابع توزیع درجه ثابت در نظر میگیریم - یا درجه متوسط یک شبکه که در آن شبکه احتمال پیدا کردن رأسی با درجه اتصالات متفاوت به صورت نمایی سریعاً به سمت صفر میرود - . معادلات میدان میانگین برای تحول مدل تعمیم یافته پخش بیماری به صورت
زیر میباشد:
