بخشی از مقاله
مقدمه
برای بررسی سیستم های غیر خطی تابع لیاپانوف یک ابزار مناسب به شمار می رود اما پیدا کردن چنین تابعی مخصوصاً در سیستم های غیر خطی مشکل است و نیاز به تجربه ی طراح دارد .برای پیدا کردن تابع لیاپانوف روش کلی موجود نمی باشد. امّا روش هایی برای بدست آوردن تابع وجود داردکه هر کدام دارای محدودیت هایی می باشند .مهمترین روش مورد استفاده روش خطی حول نقطه کار می باشد که باعث حذف دینامیک های غیر خطی سیستم می شود.
همچنین در این روش پایداری به صورت محلی اثبات می شود. روش دیگر روش کراسفسکی می باشد که در صورت بالابودن تعداد حالات ، حل معادلات و تعیین شرایط دشوار می شود .برای بهبود روش کراسفسکی ،روش کراسفسکی تعمیم یافته مطرح شد که در این حالت تعیین شرایط نسبت به کراسفسکی آسان تر است اما حجم محاسبات بیشترمی شود. گرادیان متغیر روش دیگری است که به وسیله آنحل معادلات به دست آمده همواره ساده نبوده و گاهاً بسیار مشکل است. در ضمن جواب به دست آمده از این روش اختلاف زیادی با نتیجه روش خطی سازی ندارد .
برای برطرف کردن مشکلات روش های بالا روش پسگام مطرح شد. پسگام روش برگشتی است و از مزایای آن جلوگیری از حذف هارمونیک های غیر خطی می باشد . پسگام در واقع گسترش فیزیک حالت از سیستم های خطی به غیر خطی می باشد .
مبدا پیدایش تئوری پسگامدقیقاً مشخص نبوده و تجربه های همزمانی در این راستا انجام گرفته است .می توان آغاز دستیابی به آن را در چندین مقاله همزمان در دهه 1980 م .دانست .اگرچه منصفانه تر اینست که بگوییم تحقیقات پروفسور کوکوتوویچ و همکارانش باعث ایجاد این مقوله شد
در1991 کوکوتوویچ مقاله ای در این زمینه منتشر نمود
در سال 1992 کانلاکوپولوس با استفاده از تئوری پسگام یک روش ریاضی برای طراحی کنترل کننده غیر خطی ارایه داد . [3] به دنبال آن سال ههای بعد افرادی همچون کریستیک [4] ، فرامین [5] و سپس سپولچر [6] مقالاتی در این راستا منتشر نمودند . همچنین کوکوتوویچ در سال 1999 پیشرفت های پسگام و سایر ابزارهای کنترل غیر خطی در دهه 1990 را در کنگره جهانی IFAC مطرح کرد
-2 روش پسگام
این روش برای مدل خاصی از سیستم های غیر خطی که سیستم های فیدبک صریح نامیده می شوند ، به کار می رود .این سیستم ها با رابطه زیر نمایش داده می شوند .
-3 روش پسگام تعمیم یافته
کلاس خاصی از سیستم های غیرخطی خودگردان را به صورت زیر در نظر می گیریم .
در [8] با استفاده از مدل رابطه - 1 - برای تعیین تابع لیاپانوف و سیگنال کنترلی u یک الگوریتم برگشتی ارایه شده است . در این اللگوریتم در مرحله اول با فرض معلوم بودن تابع لیاپانوف و سیگنال کنترلی z2 برای جمله اول ، تابع لیاپانوف و مقدار سیگنال کنترلی برای دو حالت z2و z1 به دست می آیند . در مرحله بعدی z3 بعنوان سیگنال کنترلی در نظر گرفته می شود و مقدار آن بر حسب حالات قبل به دست آمده و تابع لیاپانوف محاسبه می گردد. این سلسله عملیات ادامه می یابند تا سرانجام در مرحله آخر تابع لیاپانوف کل سیستم وهمچنین سیگنال کنترلی u تعیین شوند .ضمنا این مقاله ادامه ای بر [9] می باشد.
روش پسگام دارای معایب زیرمی باشد :
.1این رابطه کاربرد محدودی دارد وفقط برای دسته خاصی ازسیستم های غیرخطی که بتوان آنها را با رابطه - - 1نمایش داد،قابل استفاده است.
.2این روش برای یک سیستنم باn حالات،دارای n-1مرحله برگشتی است که حجم محاسباتی بسیار زیادی را به دنبال دارد. درادامه روشی را مطرح می نماییم که نسبت به روش پسگام کلی تربوده وضمناَدریک مرحله هم تابع لیاپانوف وهم سیگنال کنترلی رانتیجه می دهد.
قضیه : فرض کنید رابطه - 2 - مدل سیستم کنترل غیر خطی مفروضی باشد . حال تابع اسکالر V - X - را به صورت زیر در نظر بگیرید .
تابع اسکالر ; L 1'2'…'Q-1
رابطه - 3 - مثبت معین V - x - را طوری تعریف می کنیم که تابع بوده و مشتق آن منفی معین باشد . در این صورت سیگنال کنترلی پایدار ساز و تابع لیاپانوف کل سیستم با استفاده از روابط ×زیر به دست می آیند :
درضمن پایداری سیستم کنترل شده از نوع مجانبی به مفهوم وسیع می باشد .
-4 شبیه سازی یک مثال :
دراین بخش سیستمی مطابق رابطه ی زیر را در نظر می گیریم
معادلات - 6 - مثالی از سیستم به صورت - 2 - است و همانطور که شکل های - 1 - و - 2 - و - 3 - نشان می دهند ، حالات سیستم ناپایداربوده وبعداز گذشت زمان کوتاهی به بی نهایت می روند.با مقایسه رابطه - 6 - وسیستم - - 2 به دست می آوریم:
ازرابطه زیر - 7 - نتیجه می گیریم که سیستم با معادلات - - 6 بافرم - 1 - تفاوت دارد. بنابراین مسایل پایدار سازی وردیابی این سیستم توسط روش پیشنهادی مقاله به خوبی امکان پذیرمی باشد.
