بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله طراحی کنترل کننده مرتبه کسری مد لغزشی برای دسته خاصی از سیستمهای غیر خطی مرتبه کسری مورد بررسی قرار گرفته است. پایداری سیستم حلقه بسته با استفاده از تئوری لیاپانوف برای سیستمهای مرتبه کسری بررسی شده است. هدف این مقاله پایدارسازی دستهای از سیستمهای آشوبناک مرتبه کسری با اعمال ورودی غیرخطی میباشد. از برتریهای روش ارائه شده می-توان به موارد: -1 مقابله با اغتشاشات و عدمقطعیتهای سیستم -2 همگرایی خطای ردیابی به سمت صفر -3 اثبات پایداری سیستم حلقه بسته، اشاره نمود. در پایان شبیهسازی یک مثال عددی برای صحت کارایی و مقاومت کنترل پیشنهادی پیاده سازی شده است.
-1 مقدمه
در سالهای اخیر، سیستمهای مرتبهکسری توجهات زیادی را نسبت به خود جلب کرده است. سیستمهای مرتبهکسری توصیف بهتری از سیستمهای موجود در دنیای واقعی را نسبت به سیستمهای مرتبه صحیح ارائه میدهند. برای مثال از سیستمهای مرتبهکسری میتوان سیستمهای هدایت گرما، سیستمهای ویسکوالاستیک، موجهای الکترومغناطیسی و غیره نام برد .[1] مشتقات مرتبهکسری ابزار بسیار مناسبی برای توصیف خواصی همچون حافظهداری و ارثپذیری بسیاری از مواد و فرآیندها هستند. همین مساله سبب شده است که در سالهای گذشته تحقیقات گستردهای در زمینه مدلسازی سیستمهای واقعی با استفاده از معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری انجام شود.
اخیراً نشان داده شده است که خطوط انتقال قدرت با استفاده از مدلهای مرتبهکسری به طور دقیقتری مدل میشوند .[2] پدیده آشوب از حساسترین ویژگیهای سیستمهاست. وقوع آشوب در سیستمهای مرتبه کسری بهطور گستردهای مورد مطالعه قرار گرفته و نیز نشان داده شده است که یک سیستم مرتبه کسری خطی مستقل از زمان نمیتواند پاسخ نوسانی داشته باشد. از دیگر کاربردهای سیستمهای با بعد کسری میتوان به مدلسازی رفتار نوسانی مواد ویسکوالاستیک، قطبش دیالکتریک، قطبش الکترود-الکترولیت، امواج الکترومغناطیسی، تأم ین منابعمالی و تکامل کوانتومی سیستمهای پیچیده نیز اشاره کرد .[3,4,5]
در چند سال گذشته تحقیقات قابل ملاحظهای در مورد پایداری سیستمهای مرتبه کسری انجام شده است. در سال 2009 مفهوم پایداری میتاگ- لفلر برای سیستمهای مرتبه کسری تعریف شد و با اثبات اینکه پایداری میتاگ- لفلر به نوعی بیانکننده پایداری مجانبی میباشد، قضیه پایداری لیاپانوف برای سیستمهای مرتبه کسری به اثبات رسید.[6,7,13] هدف مقاله، پایدارسازی دسته خاصی از سیستمهای آشوبناک مرتبه کسری غیرخطی میباشد. بدین منظور، با استفاده از روش کنترل مد لغزشی مسیرهای حالت این سیستم را کنترل کرده و با اعمال ورودی کنترل غیرخطی به صفر هدایت میکنیم. سپس پایداری سیستم اثبات شده، خطای ردیابی به صفر همگرا میشود و رفتار نوسانی سیستم کنترل میشود.
این مقاله به صورت زیر سازماندهی شده است: پس از بیان مقدمه در بخش اول، تعاریف مشتق و انتگرال کسری در بخش دوم آورده شده است. یک مساله با معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری در بخش سوم مطرح شده و روش کنترل مد لغزشی برای آن پیاده سازی شده است. همچنین پایداری روش پیشنهادی با استفاده از پایداری لیاپانوف اثبات شده است. مثال عددی در بخش چهارم مطرح و شبیه سازی آن با استفاده از نرم افزار متلب انجام گرفته است.
-2 محاسبات مرتبه کسری
تاریخچه تئوری مشتقات از درجه غیر صحیح به نامهی لایبنیتز1 برای برای هوپیتال2 در 30 سپتامبر 1695 برمیگردد. در این نامه، معنای مشتق از مرتبه 0/5 مورد بحث قرار گرفت که منجر به ظهور نظریهی مشتقات و انتگرالهای از مرتبهی دلخواه شد. طی چند قرن گذشته، دانشمندان متعددی از قبیل اویلر، لاگرانژ، لاپلاس، آبل، ریمان، لیوویل، گرانوالد، لتنیکوف و ... این تئوری را توسعه دادند به طوریکه در سالهای اخیر با ظهور ابزارها و روشهای قدرتمند، شاهد پیدایش کاربردهای متعدد حسابان مرتبه کسری در زمینههای مختلف علوم و مهندسی از جمله مهندسی کنترل هستیم.[8]
مشتقات مرتبهکسری ابزار بسیار مناسبی برای توصیف خواصی همچون حافظهداری و ارثپذیری بسیاری از مواد و فرآیندها هستند. همین مسئله سبب شده است که در سالهای گذشته تحقیقات گستردهای در زمینه مدلسازی سیستمهای واقعی با استفاده از معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری انجام شود. به عنوان مثال، مدل-سازی سیستمهای اقتصادی با استفاده از مدلهای مرتبه کسری مطالعه شده است. در این قسمت تعاریف اولیه از حسابان مرتبه کسری ارائه می-شود. سه تعریف رایج مشتق مرتبه کسری مطرح و سپس به معرفی انتگرال مرتبه کسری پرداخته خواهد شد.
- 4 - تعاریف بالا برگرفته از [9] میباشند و خواص و روابط آنها به طور کامل در آن بررسی شدهاند. تعاریف ریمان-لیوویل و گرانوالد-لتنیکوف با هم برابرند، ولی تعریف کاپوتو اندکی متفاوت است. علت این تفاوت، ناشی از مشکل مقدار اولیه است که دو تعریف ابتدایی با آن مواجه هستند. به طور واضحتر، در آن دسته از معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری که با تعاریف GL و RL بیان میشوند نمیتوان شرایط اولیه را به روشنی تفسیر نمود. برای رفع این مشکل، کاپوتو تعریف جدیدی را از مشتق مرتبه کسری ارائه نمود که هم اینک بیشتر از دو تعریف دیگر مورد توجه علوم مهندسی قرار گرفته است. [10] باید توجه کرد که در مقابل، شرایط اولیه معادلات C دقیقاً مشابه معادلات مرتبه صحیح است که تفسیر آن بسیار سادهتر است.
