بخشی از مقاله
این مقاله دارای تعدادی فرمول میباشد که در سایت قابل نمایش نیست
چکیده
در این مقاله روشی جدید با الهام از روش پسگام برای طراحی کلاس خاصی از سیستم های کنترل غیرخطی ارایه گردیده که آن را روش پسگام تعمیمیافته نامیدهایم. این روش را میتوان برای مسایل پایدارسازی و ردیابی کلاس خاصی از سیستم های کنترل غیرخطی اتونوموس استفاده نمود. مدلی که برای نمایش این کلاس در نظر گرفته میشود، بسیاری از سیستم های غیر خطی را پوشش میدهد. شبیهسازی ها درستی نتایج را اثبات میکند.
کلمات کلیدی: پسگام، پسگام تعمیمیافته، فیدبک صریح، کنترل غیرخطی.
1 مقدمه
برای مدت طولانی، تئوری لیاپانوف ابزار مناسبی جهت بررسی سیستم های خطی و غیرخطی بود. مشکل اصلی این تئوری مخصوصاً در سیستم های غیرخطی، یافتن تابـعی با خصوصیات ویژه تابع لیاپانوف میباشد. اگر بتوان چنین تابعی را یافت، پایداری سیستم تضمین میگردد که یافتن آن به تجربه طراح نیاز دارد. هرچند در این راستا روش هایی پیشنهاد شده است، ولی هر کدام محدودیت های خاص خود را دارد. روش های متداول در تعیین تابع لیاپانوف عبارتند از:
1. روش خطیسازی حول نقطه کار: ایراد عمده این روش حذف دینامیک های غیرخطی سیستم و همچنین محلی بودن پایداری است.
2. روش کراسفسکی: در صورت بالا بودن تعداد حالات سیستم، حل معادلات و تعیین شرایط در این روش دشوار میباشد
3. روش کراسفسکی تعمیمیافته: در این روش نسبت به روش کراسفسکی، تعیین شرایط سهلتر است، اما حجم محاسبات بسیار زیادتری دارد.
4. روش گرادیان متغیر: در این روش حل معادلات به دستآمده، همواره ساده نبوده و گاه به دستگاه معادلاتی منجر میشود که حل آن بسیار دشوار و پیچیده است. در ضمن جواب به دستآمده از این روش اختلاف زیادی با نتیجه روش خطیسازی ندارد.
با توجه به مشکلات روش های فوق، تلاش در جهت یافتن راهی سادهتر، منجر به پیدایش روش پسگام شد.
پسگام روشی برگشتی است که میتواند ما را در دستیابی به این تابع کمک کند. یکی از مزایای عمده این روش جلوگیری از حذف دینامیک های غیرخطی سیستم میباشد. در واقع پسگام گسترش روش فیدبک حالت از سیستم های خطی به غیرخطی است که در این راستا از تئوریهای لیاپانوف استفاده میشود.
مبدا پیدایش تئوری پسگام دقیقاً مشخص نبوده و تجربههای همزمانی در این راستا انجام گرفته است. میتوان آغاز دستیابی به آن را در چندین مقاله همزمان در دهه 1980 دانست. اگرچه منصفانهتر اینست که بگوییم تحقیقات پروفسـور کوکوتوویـچ و همکارانـش سبب ایجاد این مقوله شد .[1]
در 1991 کوکوتوویچ مقالهای در این زمـینــه منـتشـر نمود .[2] در 1992 کانلاکوپولوس با استفاده از تئوری پسگام یک روش ریاضی برای طراحی کنترلکننده غیرخطی ارایه داد .[3] به دنبال آن در سال های بعد افرادی همچون کریستیک [4]، فریمن [5] و سپس سپولچر [6] مقالاتی در این راستا منتشر نمودند. همچنین کوکوتوویچ در 1999 پیشرفت های پسگام و سایر ابزارهای کنترل غیرخطی در دهه 1990 را در کنگره جهانی
IFAC مطرح کرد .[7]
2 روش پسگام
این روش برای مدل خاصی از سیستم های غیرخطی که سیستم های فیدبک صریح نامیده میشوند، به کار میرود. این سیستم ها با رابطه زیر نمایش داده میشوند.
در [8] با استفاده از مدل رابطه (1) برای تعیین تابع لیاپانوف و سیگنال کنترلی u یک الگوریتم برگشتی ارایه شده است. در این الگوریتم در مرحله اول با فرض معلوم بودن تابع لیاپانوف و سیگنال کنترلی z2 برای
جمـله اول، تابـع لیاپانوف و مقـدار سیگنال کنتـرلی برای دوحالـت z1 و z2 به دست میآیند. در مرحله بعدی z3 بعنوان سیگنال کنترلی در نظر گرفته میشود و مقدار آن برحسب حالات قبل به دست آمده و تابع لیاپانوف محاسبه میگردد. این سلسله عملیات ادامــه مییابند تا سرانجـام در مرحله آخر تابع لیاپانوف کل سیستم و همچنین سیگنال کنترلی u تعیین شوند.
روش پسگام دارای معایب زیر میباشد:
1. این روش کاربـرد محدودی دارد و فقط برای دسته خاصی از سیستم های غیرخطی که بتوان آنها را با رابطه (1) نمایش داد، قابل استفاده است.
2. این روش برای یک سیستم با n حالت، دارایn −1 مرحله برگشتی است که حجم محاسباتی بسیار زیادی را به دنبال دارد.
در ادامه روشی را مطرح مینماییم که نسبت به روش پسگام کلیتر بوده و ضمناً در یک مرحله هم تابع لیاپانوف و هم سیگنال کنترلی را نتیجه میدهد.
