بخشی از مقاله
چکیده
یک خانواده از نوسانگرهاي غیرخطی که همتاهاي ابرتقارنی نوسانگر هماهنگ کوانتومی میباشند را در نظر میگیریم. با معرفی یک تبدیل یکانی نشان میدهیم که چگونه میتوان براي این نوسانگرهاي غیرخطی عملگرهاي نردبانی خطی تعریف کرد. همچنین از طریق حل یک خانواده جدید از انتگرالها که شامل حاصلضرب دو تابع هرمیت در یک تابع وزن و یک تابع کسري هستند، عناصر ماتریسی عملگر یکانی ذکرشده را بدست میآوریم.
مقدمه
در مکانیک کوانتمیو ِ ابرمتقارن هنگامی که ابرپتانسیل با استفاده از توابعِموجِ برانگیخته تعریف شود، ابرپتانسلهاي بدست آمده در مکانِ گرههاي این توابع داري تکینگی خواهنداین بود .[1]تکینگیها باعث میشوند هگنیِتب بینطیفانرژيِ هامیلتونیهاي همتا، که درابرتقارنِ غیرشکسته استاندارد وجود دارد، شکسته شود شکست - صریحِ ابرتقارن - .[2] همچنین ابرپتانسیلهاي تکین باعث پیدایش انرژيهاي منفی در طیف انرژي هامیلتونیهاي ابرتقارنی میشوند .[2] خوشبختانه در حالت خاص نوسانگر هماهنگ کوانتومی میتوانمشکلِداشتنِ ابرپتانسیلهاي تکین را با تبدیل x→іx که معادل یک چرخش در صفحه مختلط است، حل نمود و به جايتوابعِ موج x عψ از توابع xط عψ براي ساختن ابرپتانسیل استفاده کرد .[3]
این چرخش همه تکینگیها را از محور حقیقی حذف و به محور موهومی منتقل میکند؛ تنها تکنیگیایی که در تچx وجود دارد حذف نمیشود چرا کهچرخش حول مبداء است. بنابراین با قراردادنِ іx بجاي x درتوابع موجِ بهنجارِنا نوسانگر هماهنگ،توابع بدست میآیند که با استفاده از آنها میتوان ابرپتانسیلهاي زیر را تعریف نمود جذچعچ ض :که در آن جxضع چندجملهایهاي شبه هرمیت هستند و به صورت زیر تعریف میشوند:
x عد نیز توابع هرمیت هستند. ابرپتانسیلهاي بدست آمده پتانسیلهاي همتاي زیر را به ما میدهند:که متناظر با هامیلتونیهاي جعضد هستند. به ازاي mهاي زوج، هامیلتونیهاي سد غیرتکین میباشند و یک خانوادة نامتناهی ازهامیلتونیهاينوسانگرِ غیرخطی را تشکیل میدهند. طیف انرژي و توابع ویژه این هامیلتونیها به صورت زیر به طیف انرژي و ویژه توابعِ هامیلتونیهاي نوسانگرهماهنگ جعضید مربوط میشوند [3]، که در روابط بالا عملگرهاي عA† و عA به صورت زیر تعریف میشوند: طیف انرژي xو ویژهتوابعِdxWmبهنجارِAm√2هامیلتونیهاي جعضید به شکل√ زیر هستند:
