بخشی از مقاله
خلاصه
با توجه به اهمیت توزیع سرعت در کانالها و ارتباط آن با پارامترهای مهم هیدرولیکی مثل دبی و تنش برشی و انتقال رسوب، ارائه مدل ریاضی مناسب و قابل قبول با واقعیت برای برآورد پروفیل سرعت ضروری می باشد. همچنین با توجه به اینکه در صده اخیر بسیاری از محققین بر روی پدیده ای که در کانالهای با نسبت عرض به عمق کمتر از مقداری مشخص رخ می دهد، تمرکز کرده اند، لازم است که در مدلهای ارائه شده حتماً این پدیده دیده شود.
در این مقاله به بررسی یک مدل توزیع سرعت که در آن از اصول احتمالی و آنتروپی استفاده شده است، پرداخته و آن را با یک سری نتایج آزمایشگاهی تحلیل و معتبر سازی می کنیم. قابل توجه است که این مدل به خوبی پدیده دیپ را در کانالهای تنگ نمایش می دهد. اگر چه گرادیان سرعت در قسمتهای کناری و در میانه ی کانال با میزان واقعی آن تفاوتهای دارد که می تواند در آینده مورد بررسی بیشتر قرار گیرد.
1. مقدمه
با توسعه تئوریهای آنتروپی و اصل بیشینه سازی آنتروپی توسط شنون در دهه 1940 میلادی و جاینس در دهه 1950 میلادی، این تئوریها در طیف وسیعی از علوم از جمله هیدرولوژی، هیدرولیک و محیط زیست بکار برده شده اند. اصل آنتروپی به صورت وسیعی در مباحث آماری و تئوری اطلاعات از سال 1948 مورد استفاده بوده است. همچنین تعدادی از محققین نشان دادند که تئوری آنتروپی بر پایه احتمال ابزار جدیدی را برای تحقیق بر روی پدیده های طبیعی تصادفی هیدرولیکی در رودخانه ها فراهم می آورد. تابع توزیع احتمالی یک متغیر هیدرولیکی از طریق بیشینه سازی آنتروپی متغیر، به روشی خاص تعیین می شود. توزیع های سه بعدی و احتمالی به همراه متغیر آنتروپی بیشینه شده توسط حساب تغییرات به پارامترهای معمول هیدرولیکی پیوند می خورند.
اگر چه توزیع سرعت در دهه اخیر به شدت مورد مطالعه بوده است اما هنوز نقاط مبهم زیادی وجود دارد. دو توزیع سرعت معروف یکی توان و دیگری پرانتل ون کارمن است که این دو، توزیع سرعت را به صورت خطی در عمق نشان می دهند. در بعضی موارد سرعت ماکزیمم زیر سطح آب رخ می دهد و این دو مدل از توصیف آن نا توان هستند و همچنین توزیع سرعت را در دو بعد نمی توانند بیان کنند و تنها برای کانالهای عریض نتایج حاصل از آنها قابل قبول است.
این دو رابطه در نزدیکی کف غیرمعتبر و در نزدیکی سطح آب هم کم دقت می باشند. هنگامی که سرعت ماکزیمم زیر سطح آب باشد. با بکار بردن مفاهیم احتمالاتی و اصل حداکثر آنتروپی می توان معادله توزیع سرعتی را ارائه کرد که این معادله قابلیت تعیین توزیع سرعت در هر دو جهت قائم و عرضی را دارا باشد. همچنین این معادله در نزدیکی سطح هم به خوبی عمل کرده و موقعیت سرعت حداکثر را پیش بینی کند. در این مقاله با استفاده از داده های آزمایشگاهی مدل توزیع سرعت مورد ارزیابی و تحلیل قرار گرفته است. نتایج نشان می دهد که این مدل با دقت قابل قبولی توانایی پیش بینی پروفیل سرعت طولی در آبراهه های روباز را دارا می باشد.
2. برآورد پروفیل سرعت طولی
امروزه در مهندسی هیدرولیک استفاده ی وسیعی از قانون توان و قانون لگاریتمی پرانتل ون کارمن می شود. در این معادلات و پارامترهای مدل هستند. قانون توان یک رابطه تجربی و قانون لگاریتمی نیز از رابطه تنش برشی پرانتل که در آن فرض شد است تنش برشی مستقل از y است و مقداری ثابت دارد بدست آمده است
- نه قانون توان و نه قانون لگاریتمی می توانند توزیع سرعتی را که سرعت ماکزیمم در آن زیر سطح آزاد آب رخ می دهد را توصیف کنند. علاوه بر این در ارائه توزیع سرعت در نزدیک سطح آب و محل وقوع سرعت ماکزیمم نیز ضعف دارند. قانون لگاریتمی برای شرایط مرزی در و گرادیان سرعت که باید در به دلیل اینکه تنش برشی به مقداری ثابت میل می کند، به مقداری ثابت برسد، خوب جواب نمی دهد، این ضعف ها با جاگذاری در معادلات به جای y توسط چیو و شیین در سال 1986 برطر ف شد.
یک مدل اصلاحی برای توزیع سرعت در کانالهای روباز بر اساس اصل آنتروپی و احتمال بدست آمد. این مدل در کانالهای تنگ روباز نه تنها به دلیل گفته شده در بالا، بلکه از لحاظ محاسباتی، مدل سازی و همچنین برای طراحی و تخمین پارامترهای مهم هیدرولیکی مناسب تر از قانون لگاریتمی معروف ون کارمن است. مزیت این مدل به خصوص در جریانهایی که میزان غلظت رسوب بالاتر است و تخمین پارامترها مشکلتر است، بیشتر دیده می شود.
باید توجه داشت که تعریف کاملاً وابسته به شکل هندسی کانال است. این مسئله باعث افزایش دقت این مدل در ارائه پروفیل سرعت و نمایش اثرات ناشی از لایه های مرزی بر روی جریان شده است. برای یک کانال غیر دوار می توان را به صورت زیر تعریف کرد
شکل 1 توزیع سرعت و سیستم مختصات مستقل تعریف شده برای کانال تنگ
در این قسمت می خواهیم توزیع سرعت را برای کانالهای تنگ روباز بدست آوریم. در این مورد توزیع سرعت دو بعدی است. ما می دانیم که خطوط هم سرعت به صورت مجموعه ای از خطوط منحنی شکل در کانال می باشند که هر منحنی نشان دهنده یک سرعت مشخص است یعنی هر دارای u مشخص و واحدی است. در لایه مرزی جایی که است، می باشد. همچنین سرعت ماکزیمم نیز در محلی رخ می دهد که می باشد و زیر سطح آزاد آب نیز واقع شده است.
حال برای یک نمونه تصادفی در مقطع عرضی کانال سرعت کوچکتر یا برابر با u است، بر این اساس اصل احتمال بیان می دارد که در آن f - u - تابع چگالی احتمال است. از طرفی با استفاده از اصل شبیه سازی مونت کارلو - - Monte Carlo، احتمال اینکه سرعت کمتر یا برابر مقدار u باشد برابر است با که N تعداد نقاط نمونه برداری و n تعداد دفعاتی است که نمونه انتخابی در ناحیه بین مرز کانال و خط هم سرعتی واقع می شود که سرعت روی آن u است - - Chiu, et al. 1993 .بنابراین با استفاده از این نسبت داریم:
عدم قطعیت با استفاده از آنتروپی می تواند کمی شود . بنابراین، آنتروپی مقیاسی است برای اندازه گیری کمی عدم قطعیت که با توزیع احتمال بیان می شود و مقیاسی است برای آشفتگی و نبودن اطلاعات درباره یک سیستم، اگر اطلاعات کاملی در دسترس باشد، در نتیجه آنتروپی برابر صفر خواهد بود .در غیر این صورت بزرگتر از صفر خواهد بود . در واقع آنتروپی شنون حالت وزن دار آنتروپی بولتزمن می باشد . این مفهوم برای یک متغیر پیوسته به صورت زیر بیان می شود.
برای تعیین u فرض می شود که نمونه ای تصادفی در بازه است. احتمال وقوع سرعتی بین و برابر است. معادله - 8 - شرطی برای تابع چگالی احتمال است و معادله - 9 - مقداری مشخص را برای تابع چگالی نشان می دهد متوسط مقدار این متغیر تصادفی باید برابر مقداری مشخص در مقطع عرضی کانال باشد، که همان سرعت متوسط، یعنی است. تابع که در معادله - 7 - تعریف شده به آنتروپی شنون معروف است. اصل ماکزیمم سازی آنتروپی اصلی است که یک سیستم را به ماکزیمم آنتروپی خود سوق می دهد. روابط احتمالاتی مسئله توزیع سرعت با اصل تغییرات ترکیب شده و این روابط در معادلات - 5 - تا - 17 - قابل مشاهده هستند
