بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
کاربرد الگوریتم ژنتیک در بهینه سازی مسائل آماری چند پاسخه
چکیده:
مقاله ارائه شده مشتمل بر یک روش جدید برای حل مسائل آماری چند پاسخه از طریق شبیهسازی می باشد. روش ارائه شده سه جنبه مختلف تابع مطلوبیت، الگوریتم ژنتیک و شبیه سازی را با یکدیگر تلفیقی میکند. هر یک از این سه جنبه، یک مسئولیت خاصی بر عهده دارند. مدل تابع مطلوبیت برای مدلسازی بخش چند پاسخه مسئله بکار میرود. الگوریتم ژنتیک بخش بهینه سازی را انجام می دهد و با استفاده از شبیه سازی اطلاعات مورد نیاز فراهم می شود.
واژههای کلیدی : شبیه سازی، بهینهسازی، الگوریتم ژنتیک، تابع مطلوبیت
۱- مقدمه
و بررسی ادبیات یک مسئله رایج در صنایع تولیدی عبارت است از انتخاب یک مجموعه از شرایط ورودی یا مجموعه ای از مقادیر X ها به طوری که کیفیت تولید مورد نظر( V ها) دارای شرایط مطلوب باشد. این مسئله منجر به بهینه سازی همزمان متغیرهای پاسخ ,V می شود که هر یک بستگی به یک مجموعه از متغیرهای ورودی و مX و... و X دارد. در این گونه از مسائل هدف عبارتست از اینکه مقادیر بر X ها در سطوحی انتخاب شوند که مجموعه "الها به حداکثر برسند. متاسفانه در اغلب موارد، مقادیری از مX ها که منجر به حداکثر شدن مثلاً y می شوند، ممکن است به حداکثر شدن مثلاً درنال کمک نکند.لازم به تذکر است که عمده فعالیتهای بهینه سازی در شبیه سازی شامل مسائل یک پاسخه بوده و تلاش بسیار ناچیزی در مورد حالت چند پاسخه انجام شده است. بطور کلی رویکردهای مورد نظر جهت حل مسائل بهینه سازی چند پاسخه در شبیه سازی را میتوان به سه قسمت تقسیم کرد. در روش اول که معمولترین روش جهت حل میباشد، مسئله مورد نظر ساده می شود. بدین صورت که مهمترین هدف شناسایی شده و از بقیه هدفها صرفنظر شده و یا بصورت محدودیت در نظر گرفته می شوند. هارتمن و بی مونت /۸ / و نیکولسون و پولن /۱۱/ از همین ایده و مبنای مدلهای برنامه ریزی خطی استفاده کردند. همینطور بیلز/۳ و ۲/ نیز از این رویکرد و روش گرادیان استفاده نمود. این رویکرد خصوصا در مواقعی که اهداف متضاد در مدلی وجود دارند به بن بست رسیده و منجر به راه حلهای غیر واقعی می شود. در رویکرد دوم از شکلهای مختلف برنامه ریزی آرمانی استفاده می شود. بیلز و سوین /۴/، کلینتون و همکاران /۵/، ریز و همکاران /۱۲/ و بیسلر و سپولودا / ۱ / از این رویکرد استفاده کردند. به عنوان نمونه بیسلر و سپولودا از ایده برنامه ریزی آرمانی و الگوریتم ژنتیک برای بهینه سازی و آزمونهای آماری جهت کنترل طبیعت تصادفی مسئله استفاده کردهاند. در رویکرد سوم از توابع چند مشخصه استفاده می شود. ملاقاسمی و اوانز /۹/ از یک تابع چند مشخصه که معرف سطح اهمیت تصمیم گیرنده برای هر یک از معیارها میباشد، استفاده کردند و در مرحله بعد با استفاده از تکنیک جستجوی گرادیان برای یافتن جواب بهینه استفاده کردند. همینطور آنها در مقاله بعدی خود /۱۰/ از تکنیک برنامهریزی چند معیاره که آن را /ن//لا نامیدند، استفاده نمودند. این تکنیک از تصمیم گیرنده در هر بار تکرار اطلاعات اخذ می کند و حداقل اهمیت هر معیار را مشخص می کند و سپس با استفاده از تکنیک جستجوی گرادیان جواب مسئله را بدست میآورد. تلب و آزادیور /۱۳/ الگوریتمی را بر مبنای روش جستجوی سیمپلکس محدویتدار ارائه کردند. این روش با محاسبه مقدار تابع هدف در رئوس آغاز می شود و در هر مرحله بدترین جواب حذف شده و یک جواب بهتر جایگزین آن می شود و این روند آنقدر ادامه می یابد تا همگرایی در معیار طراحی شده ایجاد
شود.
۲- تابع مطلوبیت " استفاده از تابع مطلوبیت یکی از روشهای بسیار رایج در صنعت می باشد و در مواردی که بهینه سازی فرآیندهای چند پاسخه مورد نظر میباشد، میتوان از آن استفاده نمود، در این روش به هر یک از پاسخها امتیاز داده می شود و سپس مجموعه عوامل ورودی طوری انتخاب می شوند که مجموع امتیازات حاصله از کل پاسخها را حداکثر نماید. ایده اصلی در این روش آن است که چنانچه صرفاً یکی از مولفه های کیفی محصول در خاج از محدوده خود قرار بگیرد، در اینصورت کیفیت کل محصول مردود خواهد بود. فرض کنید هر یک از k متغیر پاسخ با D متغیر مستقل به شکل زیر ارتباط داشته باشند:
در رابطه (۱)، ۲/. مشخص کننده ارتباط بین هر یک از متغیرهای پاسخ اول و مجموعه متغیرهای مستقل x p و ... و X می باشد. وی بخش خطای مدل میباشد و چنانچه فرض معمول 0=((ع) را انجام شود، در اینصورت می توان بین متوسط پاسخ آام با مجموعه متغیرهای k p و... و X ارتباطی به شکل زیر در نظر گرفت:
مطابق روش تابع مطلوبیت، برای هر پاسخ y یک تابع مطلوبیت به شکل ( ال) J) تعریف می شود که مقادیر بین ۰ تا ۱ به آن تخصیص داده می شود. همانطور که مطلوبیت متغیر پاسخ آام افزایش مییابد، مقدار (,d (J نیز افزایش مییابد. در مرحله بعد مطلوبیتهای جداگانه هر متغیر پاسخ بصورت یک میانگین هندسی با هم ترکیب شده و تابع مطلوبیت کلی (D بصورت زیر ارائه می شود :
در رابطه (۳)، k تعداد متغیرهای پاسخ است و مقدار (I نشان دهنده مطلوبیت کلی متغیرهای پاسخ می باشد. لازم به ذکر است چنانچه بخواهیم یک متغیر پاسخ ,(y را حداکثر، حداقل و یا یک مقدار ویژه به آن تخصیص دهیم، می توان از توابع مطلوبیت مختلف ( ’d (J استفاده کرد. برای بررسی یک طبقه بندی مفید از توابع مطلوبیت می توان به درینگر و سویچ /۶/ مراجعه کرد. به طور کلی در تبدیل , y به (,d (y دو حالت تبدیلات یک طرفه و تبدیلات دو طرفه وجود دارد. زمانی که بخواهیم یک متغیر پاسخ ,y را حداقل یا حداکثر کنیم از تبدیلات یکطرفه استفاده می کنیم. در این حالت فرض کنید , و اl به ترتیب حدود پایین و بالای متغیر پاسخ ال باشند و هدف حداکثر کردن پاسخ است. در اینصورت تابع مطلوبیت آن به شکل زیر تعریف می شود:
تابع مطلوبیت (۴) به ازاء مقادیر مختلف P (اعداد بالای منحنی ) در شکل (۱) رسم شده است.
در رابطه (۴) مقدار / حداقل مقدار قابل قبول از پاسخ و y میباشد. باید توجه داشت هر مقدار پایین تر از با منجر به شکل گیری یک محصول غیر قابل قبول در حالت کلی می شود. در مورد تعیین مقدار با تصمیم گیری با کاربر خواهد بود. مقدار اl نیز معرف بیشترین مقدار و V می باشد. از نقطه نظر عملی میتوان تصور کرد که با مشخص کننده مقداری از |V| است که مقادیر بیشتر از ان دارای منافعی تقریبا به اندازه : اl میباشد. در رابطه (۴) مقدار f نیز توسط کاربر مشخص می شود.
همانطور که از شکل ۱ مشخص است، چنانچه / دارای مقادیر بزرگتر از ۱ باشد در اینصورت تابع مطلوبیت شکل مقعر پیدا میکند و چنانچه r کوچکتر از ۱ باشد در اینصورت شکلی تابع محدب خواهد شد. در حالتی که هدف حداقل کردن متغیر پاسخ و y را داشته باشیم، می توان به شکل مشابه از توابع مطلوبیت استفاده کرد. همچنین در مواردی که در مورد یک پاسخ، مقدار هدف آن
ایدهآلی باشد، در اینصورت از توابع مطلوبیت دو طرفه استفاده می شود.
۳- مدلسازی مسئله
در این قسمت به معرفی یک طبقه خاصی از مسائلی چند پاسخه پرداخته می شود تا در نهایت بتوان آنها را با استفاده از شبیه سازی و متد ارائه شده بهینه نمود. در مدلسازی این دسته از مسائل توجه به نکات زیر اهمیت فراوانی دارد : با استفاده از شبیه سازی خروجیهای مربوطه به پاسخها و اهداف در نظر گرفته شده تولید می شوند. (۱) با استفاده از توابع مطلوبیت، خروجیهای مسئله طوری مدلسازی می شوند که بتوان همگی آنها را در فرآیند بهینه سازی وارد کرد. (۲) مسئله دارای ماهیت تصادفی است یعنی چنانچه مجموعه ورودی X p و... و آلمان ثابت بمانند، در هر بار اجرای شبیه سازی خروجیهای متفاوتی از V و... , V1 تولید می شوند. همینطور برای مدلسازی مسائل و تبدیل آنها به فرم استاندارد توجه به دو نکته زیر ضروری است: • عوامل مورد نظر و فاکتورهایی که ورودی مسئله را تشکیل می دهند، شناسایی کنید. این عوامل همان متغیرها هستند که مجموعه آنها بصورت کلی در x و ... , x1 می باشند. همچنین محدوده ای که هر متغیر ورودی در آن تغییر می کند را شناسایی کنید. بطور کلی ),L(x حد پایین متغیر , x و (, J (k) حد بالای آن می باشد. درضمن دامنه تغییرات متغیرها پیوسته می باشد. • خروجیها یا معیارها و یا اهداف مسئله را شناسایی کنید که در واقع همان متغیرهای پاسخ مسئله می باشند که مجموعه آنها بصورت کلی y و... و y می باشند. در ضمن برای هر متغیر پاسخ ,y تبدیلات مطلوبیت یکطرفه و یا دو طرفه تعریف کنید.
تحت شرایط مذکور مدل ریاضی مسئله به صورت زیر در می آید:
بنابراین هدف از ارائه روش پیشنهادی در این مقاله حل مدل (۵) میباشد.
متدولوژی'
در این قسمت به معرفی یک روشی برای حل مدل ریاضی پرداخته می شود. این روش براساسی روش ابتکاری الگوریتم ژنتیک عمل می کند. در واقع الگوریتم ژنتیک مسئولیت بهینه سازی را برعهده دارد و طبیعت تصادفی مسئله نیز با تکرار اجراها کنترل می شود.
۴-۱- شرایط اولیه
اطلاعات اولیه مورد نیاز برای اجرای روش بصورت زیر تعریف می شود:
• اندازه جمعیت آ: تعداد کروموزومها یا سناریوهایی که در هر نسل نگهداری می شوند، است. اندازه جمعیت با ۸۷ نمایش داده می شود.
• تعداد تکرار اجرای هر سناریو: با استفاده از شبیه سازی هر سناریو یا کروموزوم باید به تعداد مشخصی اجراء شود که تعداد این تکرارها با / نمایش داده می شود.
• نرخهای آمیزش و جهشی : همان احتمالات انجام عمل آمیزش و جهش در الگوریتم ژنتیک می باشد و به تر نیب با / و // نشان داده می شود.
۲- ۴- کروموزوم هر کروموزم بصورت مجموعه متغیرهای ورودی مسئله تعریف می شود. یعنی هر مجموعه ورودی Xn ,... و X که مقادیر ویژه ای را شامل شدهاند به عنوان یک کروموزوم شناسایی می شوند. به عبارت دیگر هر جواب از مسئله یک کروموزم می باشد.
۴-۳- جمعیت اولیه ^ اولین مرحله از فرآیند بهینه سازی تولید جمعیت اولیه از جوابهای مختلف یا سناریوهای مختلف می باشد. تعداد جوابهای اولیه به اندازه پارامتر N است که در شرایط اولیه الگوریتم ژنتیک به عنوان پارامتر ورودی تعریف شده است. انتخاب سناریوها بصورت تصادفی انجام می شود و دلیل این امر آن است که بخش وسیعی از پاسخها بوجود آید. البته می توان از اطلاعات
