مقاله کاربرد تکنیک خطی سازی در بررسی ساختار نواری بلورهای فوتونی بر پایه نیمرساناهای قطبی

بخشی از مقاله

چکیده

در این مقاله ساختار نواري بلورهاي فوتونی دوبعدي ساخته شده از مواد نیمرساناي قطبی با ثابت ديالکتریک وابسته به فرکانس، بطور نظري با استفاده از روش بسط موج تخت و بکارگیري تکنیک خطیسازي محاسبه میشود و تاثیر گاف پلاریتون مواد نیمرساناي قطبی بر نوارهاي ممنوعه فوتونی مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج محاسبات عددي نشان می دهد که موقعیت و پهناي نوارهاي ممنوعه فوتونی بطور قابل توجهی نزدیک گاف پلاریتون - که تغییر ناگهانی تابع ديالکتریک ظاهر میشود - تغییر میکند.

مقدمه
بلورهاي فوتونی، ساختارهاي متناوبی از مواد با ثابتهاي دي الکتریک متفاوتی میباشند که داراي نواحی فرکانسی خاصی موسوم به " نوار ممنوعه فوتونی" هستند، بطوریکه امواج الکترومغناطیسی در آن نواحی فرکانسی منتشر نمیشونداخیراً.مطالعه بلورهاي فوتونی مورد توجه زیادي واقع شدهاند .[1]امروزه مطالعه ساختار نواري بلورهاي فوتونی به یافتن نوارهاي ممنوعه فوتونی در سیستمهاي متشکل از مواد ديالکتریک مثبت و مستقل از فرکانس متمرکز شده است. زیرا سیستمهایی با ثابت دياکتریک مثبت میتوانند تلفات انرژي کمتري داشته باشند، بنابراین میتوانند بعنوان فیلتري با کیفیت بالا عمل کنند .[2]

اما ازآنجائیکه بعضی مواد از قبیل فلزات و نیمرساناها ثابت ديالکتریک وابسته به فرکانس - که در بازههاي فرکانسی مختلف میتواند مثبت و منفی باشد - و جذب بالایی دارند، بنابراین ساختار باند این نوع بلورها ویژگیهاي خاصی را دارا میباشند .[3] براي محاسبه ساختار باند و نواحی ممنوعه فوتونی روشهاي متعددي وجود دارد کهمیتوان به روشهاي بسط موج تخت، ماتریس انتقال و FDTD
اشاره کرد 4]و.[2  دو روش آخر در بلورهاي دو و سه بعدي پیچیدهتر میشوند و به همین دلیل استفاده از روش بسط موج تخت به خاطر راحتی آن رایجتر است. اساس این روش استفاده از قضیه بلوخ براي میدانهاي الکتریکی و مغناطیسیتابع و نیز بسط ديالکتریک بلور بر حسب امواج تخت میباشد.

اعمال روش بسط موج تخت در مورد بلورهاي متشکله از ثابت ديالکتریک وابسته به فرکانس، منجر به یک مسئله ویژهمقداري غیرخطی تعمیم یافته میگردد که با استفاده از تکنیک خطیسازي
میتوان ساختار نواري را بدست آورد .[3] در این کار تحقیقاتی تاثیر استفاده از مواد نیمرساناي قطبی با تابع ديالکتریک وابسته به فرکانس بر روي ساختاربطورنواري نظري با استفاده از روش بسط موج تخت و بکارگیري تکنیک خطیسازي مورد بررسی قرار گرفته است. ساختار مورد مطالعه عبارت است از بلور فوتونی دو بعدي با تقارن شبکهدرمربعی که آن میله هاي نیمرساناي قطبی - GaAs - با سطح مقطع دایروي در زمینه هوا قرار گرفتهاند. نتایج بدست آمده توافق خوبی با نتایج گزارش شده توسط B.-Y.Gu و همکارانش دارد که در آن از روش پایههاي بسط یافته استفاده شده است .[5]

مدل و روش محاسباتی:

به منظور تعیین ساختار نواري یک بلور فوتونی متشکل از میلههاي از جنس GaAs در یک شبکه مربعی، از روش بسط موج تخت و تکنیک خطیسازي استفاده میشود. نقطه شروع محاسبات براي تعیین ساختار نواري، معادلات ماکسول است 6]و.[3 برايقطبش E - میدان الکتریکی موازي با امتداد میلهها - این معادلات بهرابطه زیر منجر میشوند:که در آن c2ω فرکانس، c سرعت نور و ε - r | ω - تابع  دي الکتریک وابسته به مکان و فرکانس بوده که داراي تناوب شبکه ε - r  T | ω -  ε - r | ω - میباشد - T  n1a1  n2a2 بردار انتقال شبکه مستقیم، n1 و n2 اعداد صحیح هستند - بنابراین می-توان تابع دي الکتریک را برحسب امواج تخت بسط داد. با در نظر گرفتن مبداء مختصات در مرکز میله، تابع ديالکتریک را در داخل سلول واحد میتوان بصورت زیر نوشت:

در رابطه فوق εs و    εb به ترتیب ثابتهاي ديالکتریک میلههاي نیمرساناي GaAs و ماده زمینه میباشند و R شعنشاعن میلهها رامیدهد. در رابطه - 2 -     Θ - α - تابع پله اي است - Θ  1 به ازايα ≥ 0 و Θ  0 به ازاي . - α  0 تابع ديالکتریک براي یک نیمرساناي قطبی با ساختار مکعبی از نوع دو اتمی نظیر GaAs، بخاطر جفتشدگی بین فوتون و فونون اپتیکی عرضی بصورت زیر میباشدکه در آن ε0 ثابت ديالکتریک ایستا و ε∞ حد بسامد بالاي تابع ديالکتریک است و ωT بسامد فونون اپتیکی عرضی و γ جمله اتلاف را نشان میدهد. با فرض اینکه سهم اتلاف قابل اغماض باشد میتوان به صورت زیر بازنویسی کرد:

که در آن ωL بصورت    ωL2  ωT2ε0  ε∞ تعریف شده و به رابطه LST معروف است. از رابطه - 4 - واضح است که مقدار ε - ω - در محدوده ωT  ω  ωL که متناسب با گاف پلاریتون است، بخاطر جفتشدگی بین میدان الکترومغناطیسی و فونون اپتیکی عرضی منفی میشود. بنابراین امواج الکترومغناطیسی در این بازه در محیط منتشر نمیشوند بلکه در مرز بازتابیده میشوند 7]و.[5با بسط میدان الکتریکی و تابع ديالکتریک بر حسب امواج تخت و استفاده از قضیه بلوخ، رابطه - 1 - به صورت زیر در می آید:به آسانی میتوان نشان داد که ضرائب فوریه تابع ديالکتریک بصورت زیر است:

که در آن تابع بسل مرتبه اول و f  πR2  a2 کسر پرشدگی میلهها و a ثابت شبکه است. با جاگذاري رابطه - 6 - در - 5 - و تعریف متغییر خواهیم داشت. رابطه - 7 - یک مسئله ویژهمقداري غیرخطی تعمیمیافته میباشد.حال براي بکارگیري تکنیک خطیسازي طرفین رابطه - 7 - را به ضریب μ4 تقسیم میکنیم و حاصل را به شکل چندجملهاي زیربازنویسی میکنیم که در آن U , S, I ماتریسهاي N - NG × NG مرتبه چندجملهاي مسئله ویژه مقداري،G تعداد امواج تخت بکاربرده شده در بسط -  هستند.حال میتوان با ایجاد ماتریس معادل 4NG  بعدي، V ،مسئله ویژه مقداري غیرخطی - 8 - منجر به مسئله ویژه مقداري استاندارد می شود 9]و:[8با قطريسازي ماتریس فوق می توان ساختار نواري، - ω - k ، بلورفوتونی را بدست آورد.

نتایج و بحث

با استفاده ازنرم افزار MATLAB ، ویژهمقادیر ماتریسبرVحسب k  بدست میآید. تعداد امواج تخت مورد استفاده برابر361 است که این تعداد براي بدست آوردن خطایی کمتر از 1%براي 10 نوار اول بقدر کافی بزرگ است. و همگرائی مطلوب براي فرکانسهاي ویژة سیستم، حاصل میشود. بلور فوتونی دوبعديبا تقارن شبکه مربعی را در نظر میگیریم که در آن میلههاي نیمرساناي قطبی GaAs به شعاع R  0.378a با ثابتهاي دي-الکتریک 0 12.66وε∞ 10.9   ε در زمینهاي از هوا قرار دارند.ساختار نواري بلور فوتونی با فرض تابع ديالکتریک مستقل از فرکانس - - εs  ε0 12.66 در شکل 1 رسم شده است.مشاهده میشود که نوار ممنوعه اول در بازه فرکانسی -0,2477 - - 0,2236 و نوار ممنوعه دوم در بازه فرکانسی - 0,3717-0,4205 - برحسب a 2πc ظاهر میشوند.

شکل-1 ساختار نواري بلور فوتونی براي قطبش E بدون در نظر گرفتن وابستگی تابع ديالکتریک به فرکانس، ضمیمه شکل نقاط با تقارن بالاي منطقه اول بریلوئن و C , B , A بترتیب نوارهاي اول و دوم و سوم را نشان میدهند.پیش از بررسی نقش مواد نیمرساناي قطبی در ساختار نواري بلور فوتونی ابتدا منحنی تغییرات تابع ديالکتریک GaAs را بر حسب فرکانس نرمالیزه در گستره - 0-0,5 - بررسی میکنیم که در شکل 2ارایه شده است. با فرض ثابت شبکه a  8.5μm  بسامد فونون اپتیکی عرضی ω2Tπca  0.23 میشود که در داخل نوار ممنوعه اول شکل 1 قرار میگیرد.

همانطوري که از شکل 2 ملاحظه میشود باافزایش ω  ازصفر تا ωL  تابع ديالکتریک در گستره وسیعی تقریبا ثابت بوده ودر همسایگی ωT  به شدت افزایش مییابد، درحالیکه در محدوده گاف پلاریتون تابع ديالکتریک منفی میشود و میدانهاي الکترومغناطیسی نظیر این فرکانسها به صورت میراخواهد بود. در ضمن ملاحظه میشود به ازاي فرکانسهاي بزرگتراز ωL ابتدا تابع ديالکتریک بصورت سریع از مقدار صفر افزایش یافته و سپس تدریجا به مقدار ε - ∞ - میل میکند.ساختار نواري بلور فوتونی متشکله از مواد قطبی با تابع دي-الکتریک وابسته به فرکانس در شکل 3 رسم شده است. مقایسهشکل 2و3 نشان میدهد که عمدهترین اثرات εمنفی بترتیب زیرهستند: - 1 - اطراف محدوده گاف پلاریتون نوارهاي مجاز فرکانسی با پاشندگی مشابه نوارهاي قبلی ایجاد میشود که درشکل با نقطه چین رسم شده است - 2 - تشکیل نوارهاي تخت