بخشی از مقاله
چکیده
یکی از ویژگیهاي مهم ذرات در مکانیک کوانتومی طبیعت دو گانهي موج- ذرهاي آنهاست. در سیستمهاي کوانتومی ریزمقیاس ماهیت موجی بر ماهیت ذرهاي غالب است، بنابراین انتظار می رود که مشابه با موجبرهاي الکترومغناطیسی، موجبرهاي اتمی را نیز بتوان مورد تجزیه و تحلیل قرار داد. ویژگیهاي این نوع موجبرها از جمله ضرایب بازتاب و عبور آنها، به نوع ذرات، پتانسیل محدودساز موجبر، انرژي ذرات ورودي و نوع برهمکنش میان ذرات بستگی دارد. در این پژوهش با به کاربردن نظریهي پراکندگی کوانتومی و اعمال شرایط هندسی موجبر، رابطهي میان پتانسیل پراکندگی، ماتریس گذار T و انتشارگر یا تابع گرین سیستم را به دست میآوریم، سپس با استفاده از دو پارامتر طول پراکندگی و بسامد گیراندازي، رابطهاي براي دامنهي پراکندگی محاسبه میکنیم. با داشتن دامنه ي پراکندگی، ضرایب عبور و بازتاب را براي موجبر اتمی با برخوردهاي دوبوزونی و پتانسیل محدودساز هماهنگ عرضی، به دست خواهیم آورد.
مقدمه
یکی از موضوعاتی که در چند سال اخیر مورد توجه فیزیکدانان اتمی و مولکولی قرار گرفته است تداخل سنجی اتمی است. این موضوع در اپتیک کوانتومی، بیناب سنجی اتمی و مولکولی، محاسبات کوانتومی مربوط به انتقال و پراکنش باریکههاي یونی واتمی و بسیاري از شاخههاي دیگر فیزیک کاربردهاي بسیار یافته است. در چنین مباحثی انتقال همدوس و همگراي باریکههاي یونی و اتمی حائز اهمیت بسیار است. یکی از اجزاء اصلی و پایهاي تداخلسنجی و اپتیک اتمی که انتقال همدوس و همگراي باریکههاي یونی و اتمی را میسر ساخته است، موجبرهاي اتمی هستند.
به منظور تامین درست همدوسی براي انتشار باریکههاي اتمزی میان موجبرها، دانستن جزئیات مربوط به اثرهاي گیراندازي یک و دو بعدي روي برخوردهاي اتم- اتم لازم است..[1,2,3] دانستن این جزئیات به نظریهي پراکندگی و برخوردهاي اتمی باز میگردد که با استفاده از آن میتوان به عنوان مثال پراکندگی الکترون- ناخالصی در سیم هاي کوانتومی نوعی موجبر اتمی و نیز برخوردهاي سرد و فوق سرد اتم- اتم در موجبرهاي اتمی را مورد مطالعه قرار داد]۴.[در این مطالعه، با در نظر گرفتن پتانسیل محدود ساز موجبر وویژگیهاي هندسی آن، نظریهي پراکندگی را براي مطالعهي انتقال ذرات برهمکنشکننده از میان موجبرهاي اتمی به کاربرده و ماتریس گذار پراکندگی را براي یک سیستم دو بوزنی برهمکنشی محاسبه کردهایم.
با استفاده از ماتریس گذار به دست آمده، دامنهي پراکندگی و نیز حدهاي مجانبی تابع موج توصیف کنندهي سیستم برهمکنشی را به دست آوردهایم. با داشتن حدهاي مجانبی تابع موج سیستم، می توان ضرایب بازتابش و عبور را براي موجبر مورد نظر محاسبه کرد. در انجام محاسبات فرض کردهایم که در راستاي موجبر که آن را محور z در نظر گرفتهایم، هیچ پتانسیل محدود سازي وجود ندارد و مرکز جرم ذراتآزادانهبرهمکنشی میتواند در این راستا حرکت کند ولی در راستاي عرضی موجبر، یک پتانسیل محدود ساز هماهنگ وجود دارد که ذرات را به طرف محور اصلی موجبر جذب میکند.
محاسبات نظري
دو ذره با جرمهاي m1 و m2 را در نظر میگیریم که هردو وارد موجبري شدهاند که یک پتانسیل محدودساز هماهنگ عرضی بر آنها اعمال میکند. همچنین فرض میکنیم که این دو ذره با پتانسیلی که به بزرگی فاصله ي میان دو ذره بستگی دارد و ازجهتگیري بردار واصل بین دو ذره مستقل است، باکنشهم برهم میکنند. هامیلتونی چنین سی ستمی را میتوان به صورت زیر نوشت:که در آن ω⊥ بسامد گیراندازي - ناشی از پتانسیل محدودساز - و∇i2 , ri⊥ به ترتیب مختصه شعاعی و لاپلاسین نسبت به مختصات ذرهي iام هستند. به راحتی میبخشتوان این هامیلتونی را به دوبرحسب مختصات نسبی دو ذره و مختصات مرکز جرم آنهاتفکیک کرد.
با تفکیک این قسمتها در خواهیم یافت که مرکزجرم ذرات در عرض مانند یک نوسانگر هماهنگ ساده ودر طولهمانند یک ذرهي آزاد حرکت خواهد کرد، حال آنکه پتانسیل برهمکنشی فقط در حرکت نسبی دو ذره مؤثر است .[5] هامیلتونی مربوط به حرکت نسبی، ذرهاي با جرم کاهش یافتهي μ راتوصیف میکند که در یک پتانسیل هماهنگ عرضی قرار گرفته وتوسط پتانسیل خارجی V - r - پراکنده می شود. معادلهي شرودینگربراي چنین حرکتی با عبارت:داده میشود. تابع گرین G متناظر با هامیلتونی H و انرژي E نیز به صورت زیر است:از سوي دیگر ماتریس گذار متناظر با پتانسیل پراکندگی V مطابق تعریف عبارتست از:
از این رو معادلهي شرودینگر را براي کل سبهیستم میتوان صورت زیر بیان کرد:که درآن - ψ E را به صورت مجموعی از تابع موج فرودي ψ0 E و تابع موج پراکنده شده - ψ s E نوشتهایم. این معادله، موج پراکنده شده را به صورت اثر متوالی ماتریس گذار T و تابع گرین غیراختلالی GH بر روي موج فرودي خواهد داد: به این ترتیب، بردار موج پراکنده شده را بر حسب بردار موج فرودي به دست میآوریم. هامیلتونی غیراختلالی H را براي تک ذرهي غیرنسبیتی μ در حضور پتانسیل گیراندازي U در نظر میگیریم:و فرض میکنیم که حرکت ذره توسط پراکندهسازي که حول r=0جایگزیده شده است مختل میشود.
نتایج نشان میدهد ماتریس T براي هر پتانسیل پراکندگی، مستقل و از انرژي است میتواند توسط رابطهي زیر بیان شود:حال تابع χ E را بهفصورتی زیر تعری م کنیم: به کمک معادلات - ١٠ - و - ۴١ - می توان ماتریس T را به دست آورد:به واسطهي رابطهي - ٩ - ماتربایس T متناظر سازپراکندهدست آورد ]٢:[میتوان عبارت سادهاي را برايVاختلالی به صورت زیر به که تابع همان تابع زتاست. از این عبارت تابع موج کل حرکت نسبی به صورت زیر نتیجه می شود:هامیلتونی براي حرکت نسبی ذرات در موجبر مورد نظر شامل دو قسمت یعنی هامیلتونی آزاد طولی و هامیلتونی آزاد عرضی که در آن دامنه پراکندگی عبارت است:
