بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله ما با استفاده از تکنیک RKPM به مطالعه ي عددي اثر بی نظمی در یک تک لایه ي گرافینی می پردازیم. این روش عددي دقیق به ما امکان می دهد تا شبکه هاي بسیار بزرگی با میلیون ها جایگاه اتمی را بررسی کنیم و بنابراین اثر محدودیت اندازه ندارد. ما به کمک این روش هر دو رژیم بی نظمی ضعیف و بی نظمی قوي را بررسی می کنیم. براي این منظور ما از هامیلتونی مدل تنگابست با بی نظمی قطري بر روي یک شبکه ي لانه زنبوري استفاده می کنیم. نتایج ما نشان می دهد که در رژیم بی نظمی ضعیف، تابع موج فرمیونهاي دیراك هنوز گسترده است ولی سرعت آنها با افزایش پهناي بی نظمی کاهش پیدا می کند. به هر حال چنانچه بی نظمی به اندازه ي کافی قوي باشد یک لبه ي تحرك پذیري به وجود می آید که حالت هاي جایگزیده ي اطراف سطح فرمی را از سایر حالت هاي گسترده جدا می کند. این نتیجه با پیش بینی نظریه ي مقیاس گذاري جایگزیدگی مبتنی بر عدم وجود حالت گسترده در دو بعد در تقابل است.
مقدمه
گرافین آلوتروپی دو بعدي - 2D - از کربن است که در آن اتم هاي کربن با هیبریداسیون sp2 روي یک شبکه ي لانه زنبوري چیده شده انداخیراً،. ایزوله کردن ورقه هاي تک لایه اي گرافین امکان پذیر شده است .[3,2,1] ویژگی هایی نظیر تغییر نوع حامل هاي بار از حفره به الکترون در یک نمونه با استفاده از یک سد ولتاژ و نیز تحرك پذیري بالاي حامل هاي بار، حتی در دماي اتاق،
به دلیل عدم وجود پراکندگی به عقب، گرافین را از نقطه نظر توپولوژیکی در ساخت وسایل الکترونی کربنی خوش آتیه نموده است .[4]ویژگی هاي الکترونی گرافین خالص را می توانیم با مدلی که مبتنی بر تصویر تنگابست ساده ي والاس [5] است توصیفاین کنیم.
در تصویر ساختار نواري گرافین به عنوان یک سیستم نیمه پر که چگالی حالت هاي آن در نقطه ي خنثی صفر است و در نزدیکی هاي آن به صورت خطی تغییر می کند، توصیفاینمی شود. در توصیف پاشندگی انرژي در اطراف نقاط فرمی به شکل خطی تغییرمی کند که این باعث می شود رفتار الکترون ها مانند فرمیون هاي بدون جرم دیراك باشد.[6] علی رغم بالا بودن کیفیت کریستالی در گرافین وجود بی نظمی در نمونه هاي فعلی اجتناب ناپذیر است. انواع مختلفی از بی نظمی هاي ذاتی مانند دررفتگی هاي توپولوژیکی و همچنین بی نظمی هایی که منشا خارجی دارند مانند ناخالصی بار و تهیجاها ویژگی هاي الکترونی گرافین را متاثر می کنند.
بر خلاف پیش بینی هاي نظریه ي مقیاس بندي جایگزیدگی در[7] 2D، اندازه گیري یک رسانندگی کمینه در گرافین [2] از وجودحالت هاي گسترده در این ماده خبر می دهد. رهیافت هاي تحلیلی و عددي بسیاري براي مطالعه ي اثر بی نظمی در گرافین مورد استفاده قرار گرفته اند. براي نمونه می توانید مرجع [4] و مراجع آن را نگاه کنید. بر اساس نظریه ي مقیاس بندي تک پارامتري [8] در مرجع [9] مشاهده ي یک گذار فلز به عایق براي بی نظمی هاي بلندبرد در گرافین گزارش شده است. فرضیه ي نظریه ي تک پارامتري مقیاس بندي بعدا به وسیله ي محاسبات عددي [11,10] مورد تایید قرار گرفت.
اگرچه این کارهاي عددي فرضیه ي نظریه ي مقیاس بندي را تایید می کنند ولی آنها پیش بینی می کنند که فرمیون هاي دیراك به ازاي هر مقدار دلخواهی از بی نظمی جایگزیده نخواهند شد. اثر زبري هم در [12] بررسی شده است که نشان می دهد تمامی حالت ها در حضور یک میدان پیمانه اي موثر و کاتوره اي جایگزده هستند. در کنار مطالعات بالا با استفاده از فرمولبندي کوبو در [13] هم ثابت پخش مستقل از زمان D - E,t - براي مدل اندرسون روي یک شبکه ي لانه زنبوري محاسبه شده است. در این محاسبه براي بی نظمی هاي با پهناي کم W، D - E,t - در زمان هاي طولانی به یک مقدار ثابت میل می کند که نشان از وجود حالت هاي گسترده می دهد.
براي مقادیر بزرگتر W ، D - E,t - روبه کاهش می رود که حکایت از آغاز جایگزیدگی می کند. بسیاري از روش هاي عددي اي که تاکنون براي مطالعه ي اثر بی نظمی در گرافین به کار گرفته شده اند فقط قادرند رژیم هاي محدودي را براي انواع بخصوصی از بی نظمی تشریح کنند. نتایج این روش ها تنها براي مقیاس انرژي هاي کوچک اطراف نقاط دیراك یعنی در ناحیه اي که می توانیم پراکندگی درون دره اي ناشی از پتانسیل ناخالصی را نادیده بگیریم، معتبرند. هنگامی که پهناي بی نظمی با پهناي نوار انرژي قابل مقایسه باشد، مطالعه ي تمام طیف انرژي به خاطر بررسی نقش متقابل مقیاس هاي مختلف انرژي نکته اي مهم محسوب می شود.
اکنون این سوال مطرح می شود که آیا در رژیم بی نظمی هاي قوي می توانیم لبه ي تحرك پذیري را در گرافین مشاهده کنیم یا نه؟ در این مقاله ما از تکنیک [14] KPM که مبتنی بر بسط توابع طیفی بر حسب مجموعه ي کاملی از چندجمله اي ها به منظور محاسبه ي دقیق ویژگی هاي طیفی اي مانند چگالی حالت ها DOS است استفاده می کنیم. به منظور اجتناب از نوسانات غیر فیزیکی ذاتی - پدیده ي گیبس - موجود در روش KPM می توانیم از شکل تعدیل شده ي آن یعنی روش [15] RKPM استفاده کنیم تا بتوانیم براي هر نوعی از بی نظمی و با هر پهناي دلخواهی سیستم را بررسی کنیم.با استفاده از این روش می توانیم جنبه هاي انرژي هاي کم و انرژي هاي خیلی زیاد را همزمان بررسی کنیم. بنابراین می توانیمتقابل بین انرژي هاي مختلف در طیف گرافین را به حساب آوریم.
روش و الگو :
از نقطه نظر تک ذره اي بی نظمی می تواند اکترون هاي بدون برهمکنش در گرافین را تحت تاثیر قرار دهد. این تاثیر بیشتر به خاطر اختلاف در انرژي روي جایگاهی - بی نظمی قطري - و یا اختلاف در دامنه ي پرش به جایگاههاي مختلف - بی نظمی غیر قطري - است. ما براي توصیف الکترونهاي بدون برهمکنشی که روي شبکه ي لانه زنبوري و در حضور بی نظمی قطري موضعی حرکت می کنند از مدل اندرسون که به شکل زیر نوشته می شود استفاده می کنیم. جمله ي اول در هامیلتونی بالا پرش بین همسایگان نزدیک و εi در جمله ي دوم پتانسیل روي سایتی تصادفی است که به طور یکنواخت در بازه ي [-W/2,W/2] انتخاب می شود.
انرژي t که مربوط به انتگرال پرش به همسایگان نزدیک است براي اتم هاي کربن در گرافین حدود 2.7ev است. این مدل اخیرا به روش ماتریس انتقال در گرافین مورد بررسی قرار گرفته است [16] که نتایج به دست آمده از آن با پیش بینی هاي نظریه ي مقیاس بندي جایگزیدگی در توافق است. با این وجود نتایجی که ما در اینجا به دست آورده ایم با آن در تضاد است. براي تشخیص ویژگی هاي جایگزیدگی ما از کمیتی به نام چگالی حالت هاي موضعی که ابزاري براي تمییز دادن حالت هاي گسترده از حالت هاي جایگزیده است [14] کمک می گیریم. احتمال بازگشت براي یک حالت گسترده در انرژي داده شده ي E برابر صفر است.[17]
بنابراین خود انرژي چنین حالتی یک بخشموهومی ناصفر دارد که کاهش احتمال بازگشت را مشخص می کند در حالی که خودانرژي براي حالات جایگزیده فقط بخشحقیقی دارد. این ویژگی در چگالی حالت هاي موضعی - LDOS - بازتاب می یابد :که در آن| s> یک پایه ي جایگزیده در محل جایگاه s را نشان می دهد و |Ek> یک ویژه حالت انرژي متناظر با انرژي Ek است. با اندازه گیري LDOS در Ks جایگاه شبکه می توانیم معیاري براي تشخیص حالت هاي گسترده از حالت هاي جایگزیده به دست اوریم. به این منظور چگالی حالت هاي نوعی را به شکل یک میانگین هندسی از چگالی حالت هاي موضعی به شکل زیر تعریف می کنیم:
که در آن Kr تعداد نمونه هایی است که در محاسبات عددي استفاده می شود. علاوه بر این ما به وزن طیفی کل که به شکل میانگین حسابی چگالی حالت هاي موضعی نوشته می شود، نیاز داریم که در آن D بعد فضاي هیلبرتی است که در آن هامیلتونی را بنا کرده ایم. کمیت اصلی در روابط - 3 - و LDOS - 4 - است. براي محاسبه ي کمیاتی از این دست در روش KPM از یک پایه ي کامل از چندجمله اي ها استفاده می کنیم. ایده ي اصلی در روش KPM بسط تابع طیفی ρs - E - برحسب چندجمله اي هاي راست هنجار φm - E - است. به طور کلی هر نوعی از چندجمله اي هاي راست هنجار را در این بسط می توانیم استفاده کنیم. مثلا براي چند جمله اي هاي چبیشف داریم:
که در آنبراي استفاده از این روابط باید هامیلتونی H را به نحوي تغییر مقیاس دهیم که ویژه مقادیر آن در بازه ي [-1,1] قرار بگیرد زیرا چندجمله اي هاي چبیشف فقط در این بازه تعریف شده اند. براي این کار کافیست مقادیر اکسترمم ویژه مقدارهاي هامیلتونی را داشته باشیم و پارامتر a و b را به شکل زیر در نظر بگیریم : اکنون هامیلتونی تغییر مقیاس داده شده را که با H نشان می دهیم به کمک رابطه ي زیر محاسبه می کنیم.همین کار را می توانیم با رابطه ي - 4 - انجام دهیم:روابط 6 - و - - 7 - را با استفاده از روابط بازگشتی اي که بین چندجمله اي ها وجود دارد می توان محاسبه کرد.
از آنجایی که در عمل مقدار M در رابطه ي - 5 - محدود است بنابراین هنگام محاسبه ي توابع طیفی با مشکل سنتی نوسانات گیبس مواجه می شویم. یکی از روش هاي مقابله با این مشکل استفاده از فاکتورهاي g است [14] ولی هیچ کدام از این فاکتورها براي مسئله ي گرافین مناسب نیستند. روش دیگري که براي فائق آمدن بر این مشکل وجود دارد و براي طیف بخصوص گرافین هم مناسب است، استفاده از چندجمله اي هاي تعدیل شده - منظم شده - ،در محاسبه ضرایب بسط است .[15] ما در اینجا از چندجمله ايهاي لژاندر در معادله ي 8 - و - σ = 4/N استفاده کرده ایم.
بحث و نتیجه گیري:
براي بررسی گذار اندرسون در گرافین ما از معادله ي - 1 - براي مقادیر مختلف W استفاده می کنیم. سپس LDOS را براي شبکه اي با 1000000 اتم به روش RKPM و با
