تحقیق در مورد دینامیک حرکت

بخشی از مقاله

دینامیک حرکت
(MOtion Dynamics)
دینامیک از واژه لاتین به معنی حرکت شناسی گرفته شده است. و در مکانیک کلاسیک بررسی دلایل حرکت و به بیانی دقیق بررسی حرکت به کمک نیروها و قوانین مربویه می‌باشد

دید کلی
در حالت کلی حرکت یک ذره از دو دیدگاه مختلف می‌تواند مورد بررسی قرار گیرد به بیان دیگر می‌توان گفت، بطور کلی مکانیک کلاسیک که در آن حرکت اجسام مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌گیرد، شامل دو قسمت سینماتیک و دینامیک است . در بخش سینماتیک از علت حرکت بخشی به میان نمی‌آید و حرکت بدون توجه به عامل ایجاد کننده آن بررسی می‌شود. بنابراین در سینماتیک حرکت بحث بیشتر جنبه هندسی دارد.

اما در دینامیک علتهای حرکت مورد توجه قرار می‌گیرند. یعنی هر ذره یا جسم همواره در ارتباط با محیط اطراف خود و متاثر از آنها فرض می‌شود محیط اطراف حرکت را تحت تأثیر قرار می‌دهد. به عنوان مثال فرض کنید، جسمی با جرم معین بر روی یک سطح افقی در حال لغزش است. در این مثال سطح افقی به عنوان یکی از محیطهای اطراف جسم با اعمال نیروی اصطکاک در مقابل حرکت جسم مقاومت می‌کند.
عوامل مؤثر بر حرکت

حرکت یک ذره معین را ماهیت و آرایش اجسام دیگری که محیط ذره را تشکیل می‌دهند، مشخص می‌کند. تأثیر محیط اطراف بر حرکت ذره با اعمال نیرو صورت می‌گیرد. بنابراین مهمترین عاملی که در حرکت ذره باید مورد توجه قرار گیرد، نیروهای وارد بر ذره و قوانین حاکم بر این نیروها می‌باشد.
قوانین حرکت

در قلمرو مکانیک کلاسیک ، یعنی در سرعتهای کوچکتر از سرعت نور حرکت اجسام مختلف بر اساس قوانین حرکت نیوتن بطور کامل قابل تشریح است . این قوانین عبارتند از :
قانون اول
این قانون که در واقع بیانی در مورد چارچوبهای مرجع می‌باشد، به این صورت بیان می‌شود هر جسم که در حال سکون ، یا در حالت حرکت یکنواخت در امتداد خط مستقیم باشد، به همان حال باقی می‌ماند مگر آنکه در اثر نیروهای خارجی مجبور به تغییر آن حالت شود
قانون دوم

این قانون به صورتهای مختلف بیان می‌شود که یکی از آنها بر اساس تعریف اندازه حرکت خطی و دیگری برای تعریف شتاب حرکت می‌باشد. در حالت اول چنین گفته می‌شود که میزان تغییر اندازه حرکت خطی یک جسم ، با نیروی وارد بر آن متناسب و هم جهت می‌باشد. اما بر اساس تعریف شتاب گفته می‌شود که هر گاه بر جسمی نیرویی وارد شود جسم در راستای آن نیرو ، شتاب می‌گیرد که اندازه آن نیرو متناسب است.
قانون سوم

این قانون که تحت عنوان قانون عمل و عکس‌العمل معروف است، حتی در بعضی از رفتارهای اجتماعی نیز مصداق دارد. بیان قانون سوم به این صورت است که هر عملی را عکس‌العملی است که همواره با آن برابر بوده و در خلاف جهت آت قرار دارد. به عنوان مثال هنگام راه رفتن در روی زمین ، نیرویی از جانب و به طرف جلو بر ما وارد می‌شود که سبب حرکت ما به سمت جلو می‌شود، برعکس ما نیز بر زمین نیرو وارد کرده و آن را به سمت عقب می‌رانیم. ولی چون جرم زمین در مقایسه با جرم ما خیلی زیاد است، حرکت زمین به سمت عقب نامحسوس است.

قضیه کار و انرژی
در مکانیک برخلاف آنچه در بین عامه رایج است، واژۀ کار زمانی به کار می‌رود که بر روی جسمی نیرویی اعمال شده و آن را جابجا کند ، و یا موجب تغییر در حرکت آن شود. بنابراین در دینامیک حرکت کار مفهوم با ارزشی است. اما کار به دو صورت می‌تواند بر روی جسم انجام شود. فرض کنید‌، جسمی با سرعت معین در حال حرکت است‌، اگر بر روی جسم کار انجام شود، این کار یا می‌تواند سرعت حرکت جسم را افزایش دهد و یا اینکه مانع حرکت شده و سرعت جسم را کاهش دهد.

در حالت اول که سرعت جسم افزایش پیدا می‌کند، اصطلاحا گفته می‌شود که کار انجام شده ، سبب ذخیره انرژی در جسم می‌شود. اما در حالت دوم ما با صرف انرژی و انجام کار ، سرعت جسم را کاهش می‌دهیم. از اینرو انرژیی که وابسته به سرعت جسم بوده و انرژی جنبشی نام دارد، تعریف می‌شود و قضیه کار و انرژی جنبشی بیان می‌کند که کار انجام شده بر روی جسم متناسب با تغییر انرژی جنبشی آن است.

مکانیک لاگرانژی و حرکت جسم صلب
حرکت ذره یک حالت تقریباً ایده آل و آرمانی از حرکت واقعی اجسام در فضای سه بعدی است. یعنی در بعضی موارد ، تقریب حرکت جسم به عنوان یک ذره نمی تواند مفید واقع باشد. بنابراین در حالت کلی جسم به صورت یک جسم صلب در فضا در نظر گرفته می‌شود و با تعریف مختصات تعمیم یافته (که متناسب با نوع حرکت بعد آن معین می شود ) و نیروهای تعمیم یافته و با استفاده از معادلات لاگرانژ حرکت جسم مورد بررسی قرار می‌گیرد. معادلات لاگرانژ و یا به بیان بهتر فرمولبندی مکانیک لاگرانژ نسبت به مکانیک نیوتنی (بر اساس قوانین نیوتن) حالت کلی‌تر و کاملتری می‌باشد.

در مکانیک لاگرانژی ابتدا کمیتی به عنوان لاگرانژی (و یا هامیلتونین که برابر با تفاضل انرژی پتانسیل از انرژی جنبشی است) که به صورت مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل جسم تعریف می‌شود، محاسبه می‌گردد. و با قرار دادن آن در معادلات لاگرانژ ، معادله حرکت جسم حاصل می‌شود
حرکت پرتابی

حرکت پرتابی یکی از انواع حرکت با شتاب ثابت است که در یک مسیر خمیده انجام می‌شود. در این حرکت جسم پرتاب شده پس از طی مسیری روی منحنی فرضی در فاصله‌ای دورتر از محل پرتاب به زمین می‌رسد

دید کلی
در حالت کلی هر حرکتی با شتاب و نوع مسیر حرکت مشخص می‌شود. به عنوان مثال ، در یک حرکت یکنواخت در امتداد خط راست که اصطلاحا حرکت مستقیم‌الخط یکنواخت گفته می‌شود، شتاب صفر بوده و مسیر حرکت یک خط راست می‌باشد. در تشریح انواع حرکت‌های شتابدار ، به دلیل سادگی ، حرکت با شتاب ثابت بیشتر مورد توجه است. حرکت پرتابی یکی از انواع حرکت با شتاب ثابت است که در یک مسیر خمیده انجام می‌شود. حرکت ایده‌آل توپ چوگان یا توپ گلف نمونه‌ای از حرکت پرتابی است.

حرکت پرتابی در غیاب مقاومت هوا
اگر از مقاومت هوا صرف‌نظر کنیم، تنها نیرویی که بر جسم وارد می‌شود، نیروی گرانش است. این نیرو به خاطر میدان گرانش زمین ، شتاب ثابت و رو به پایین g (شتاب گرانشی) را بر جسم وارد می‌کند. بنابراین شتاب تنها یک مولفه قائم خواهد داشت و مولفه افق شتاب صفر خواهد بود. البته لازم به ذکر است که جهت سادگی شتاب گرانشی را ثابت اختیار می‌کنیم. چون نیروی گرانشی یک نیروی پایستار خواهد بود، بنابراین می‌توانیم یک نیروی پایستار تعریف کرده و هر جا که لازم شد، از قانون بقای انرژی استفاده کنیم.

اگر در فضای سه بعدی جهت g را در امتداد محور z ها اختیار کنیم، چون در امتداد محورهای x و y شتابی وجود ندارد، لذا حرکت در این دو امتداد یکنواخت خواهد بود و تنها در جهت محور z حرکت شتابدار خواهیم داشت. به این ترتیب می‌توانیم معادلات حرکت را تشکیل داده و در مورد مسیر حرکت و سایر پارامترهای دیگر که در امر حرکت دخالت دارند، پیشگویی کنیم. اگر معادلات حرکت را با استفاده از روشهای حل معادلات دیفرانسیل حل کنیم، معادله مسیر مشخص می‌شود. بنابراین ملاحظه می‌کنیم که مسیر حرکت یک سهمی خواهد بود.

حرکت پرتابی در حضور مقاوت هوا
در این حالت که تقریبا حالت واقعی‌تر حرکت یک پرتابه است، فرض می‌کنیم که مقاومت هوا به‌صورت یک نیروی تلف کننده بر پرتابه عمل کند. در این صورت حرکت پایا نبوده و در اثر آن اصطکاکی ناشی از مقاومت هوا ، انرژی کل بطور مداوم در حال کاهش می‌باشد. اگر برای سادگی فرض کنیم که نیروی مقاومت هوا به‌صورت خطی با سرعت تغییر کند، در این صورت دو نیرو بر پرتابه اثر می‌کند که یکی نیروی مقاومت هوا و دیگری نیروی گرانشی زمین است. بنابراین اگر معادلات حرکت را بنویسیم، در اینصورت در راستای سه محور مختصات شتاب خواهیم داشت.

حال اگر با استفاده روشهای حل معادلات دیفرانسیل ، معادلات حرکتی را حل کنیم، در این صورت به جوابهایی خواهیم رسید که توابعی نمایی از زمان هستند. در این حالت مسیر حرکت به‌صورت یک سهمی نیست، بلکه این مسیر به صورت منحنی است که زیر مسیر سهمی متناظر (حالت بدون مقاومت هوا) قرار دارد. البته لازم به ذکر است که در حرکت واقعی یک پرتابه در جو زمین ، قانون مقاومت هوا به صورت خطی نیست، بلکه به صورت تابع پیچیده‌ای از تندی است. با استفاده از روشهای انتگرال گیری عددی به کمک کامپیوترهای با سرعت بالا ، می‌توان محاسبات دقیق مسیر حرکت را انجام داد.

برد حرکت پرتابی
اصطلاحا واژه برد به مسافت افقیی اطلاق می‌شود که پرتابه طی می‌کند تا به زمین برسد. بعد از حل معادلات حرکت و مشخص نمودن مولفه‌های حرکت در راستاهای مختلف ، در مولفه z حرکت z =0 قرار داده و مقدار t را محاسبه می‌کنیم. حال این مقدار t را در مولفه‌های x و y جایگذاری می‌کنیم. طبیعی است که جذر مربع مجموع مولفه‌های x و y حرکت ، برابر برد پرتابه خواهد بود.

کاربرد حرکت پرتابی
کاربرد حرکت پرتابی معمولا در موارد نظامی بیشتر از موارد دیگر است. به عنوان مثال ، دیدبان با استفاده از قوانین حرکت پرتابه مختصات محلی را که می‌خواهند بوسیله توپخانه هدف قرار دهند، تهیه می‌کند و آن را در اختیار افرادی که در کنار توپ قرار دارند، می‌دهد. سپس افراد دیگری این مختصات با تنظیم لوله توپ پیاده می‌کنند، حال اگر توپ شلیک شود، به هدف مورد نظر اصابت خواهد نمود. بنابراین حرکت پرتابی در امور نظامی و جنگی کاربرد فوق‌العاده مهمی دارد.
سرعت متوسط
مقدمه
در بررسی حرکت هر ذره چارچوب مختصاتی در نظر گرفته می‌شود که حرکت نسبت به آن سنجیده می‌شود. در این چارچوب موقعیت هر ذره را با بردار مکان مشخص می‌کنند. بردار مکان ، برداری است که ابتدای آن در مبدا چارچوب و انتهای آن خود ذره است. حال اگر ذره در لحظه t1 در نقطه A1 باشد که بردار مکان آن با r1 مشخص می‌شود، و در لحظه t2 در نقطه A2 با بردار مکان r2 باشد، در این صورت بردار جابجایی ذره (برداری که ابتدای آن نقطه A1 و انتهای آن A2 است) با r∆ مشخص می‌شود.

این بردار تغییر موضع ذره را نشان می‌دهد. اگر بردار جابجایی را بر فاصله زمانی t = t2 _ t1∆ ، که این جابجایی در آن صورت گرفته است تقسیم کنیم، کمیتی حاصل می‌شود که سرعت متوسط نام دارد.

مشخصات سرعت متوسط
از آنجا که کمیت بردار جابجایی r∆ یک کمیت برداری است، لذا سرعت متوسط نیز کمیتی برداری خواهد بود. یعنی سرعت متوسط علاوه بر بزرگی و مقدار دارای جهت نیز می‌باشد. جهت سرعت متوسط همان جهت بردار جابجایی ( r∆) است. یکای سرعت متوسط به صورت نسبت یکای مسافت بر یکای زمان ، مانند متر بر ثانیه یا کیلومتر بر ساعت بیان می‌شود. از نظر تحلیل ابعادی ، دیمانسیون سرعت متوسط بصورت ML خواهد بود. رابطه r/∆t∆ ، که بصورت اندازه جابجایی کل و زمان سپری شده بوده و هیچگونه اطلاعی درباره چگونگی حرکت بین دو نقطه در اختیار ما قرار نمی‌دهد، سرعت متوسط نامیده می‌شود.

مسیر طی شده بین این دو نقطه می‌تواند منحنی یا خط راست باشد و حرکت می‌تواند یکنواخت ، نامنظم یا هر نوع دیگری باشد. اما با دانستن سرعت متوسط در این مورد هیچ اطلاعی نمی‌توانیم بدست آوریم. دو نقطه اختیاری از مسیر حرکت یک ذره را انتخاب کرده و سرعت متوسط ذره را در این دو نقطه تعیین می‌کنیم. اگر بردار سرعت متوسط از لحاظ بزرگی و جهت در این دو نقطه از مسیر یکسان باشند، می‌توان گفت که ذره با سرعت ثابت یعنی در امتداد یک خط راست (راستای ثابت) و با آهنگ ثابت (بزرگی ثابت) حرکت می‌کنند. به بیان دیگر حرکت مستقیم الخط یکنواخت است.

سرعت متوسط در حرکت یک بعدی با شتاب ثابت
ذره‌ای را در نظر بگیرید که با شتاب ثابت α در امتداد محور x حرکت می‌کند. از آنجا که شتاب بصورت آهنگ زمانی تغییر سرعت تعریف می‌شود، لذا اگر شتاب ثابت باشد، مفهوم آن این است که سرعت با آهنگ ثابت و یکنواخت تغییر می‌کند. در این حالت سرعت متوسط در هر بازه زمانی برابر با نصف مجموع مقادیر سرعت در ابتدا و انتهای بازه زمانی می‌باشد. یعنی اگر سرعت در لحظه t = 0 را با Vx0 و سرعت در لحظه t را با Vx نشان دهیم، در این صورت سرعت متوسط بصورت زیر خواهد بود.
اهمیت سرعت متوسط

اگر بخواهیم در مورد چگونگی ‍حرکت اطلاعات داشته باشیم، در این مورد سرعت متوسط به ما کمکی نمی‌کند. اما در عوض در مورد یک حرکت ، اگر سرعت متوسط و بردار جابجایی را داشته باشیم، به راحتی می‌توانیم زمان حرکت را تعیین کنیم. از نظر هندسی اگر نمودار مکان - زمان یک حرکت داده شده باشد، از روی شکل می‌توان سرعت متوسط را تعیین نمود. اگر بخواهیم در مورد چگونگی حرکت و کیفیت آن آگاهی پیدا کنیم، باید از سرعت لحظه‌ای (سرعتی که ذره در هر لحظه دارد) استفاده کنیم. سرعت لحظه‌ای بصورت حد سرعت متوسط ، زمانی که t∆ به سمت صفر میل می‌کند، تعریف می‌شود. در صورتی که حرکت با سرعت ثابت صورت گیرد (حرکت یکنواخت)، در این صورت سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای هر دو یکسان خواهند بود.
حرکت دورانی

یکی از حرکتهای مهم ، حرکت دورانی است. نمونه‌های بسیاری از این نوع حرکت را هر روز مشاهده می‌‌کنیم. چرخش زمین به دور محور خود نمونه‌ای از حرکت دورانی است. باید توجه داشته باشیم که حرکت بر روی مسیر دایره‌ای ، با دوران یک جسم به دور یک محور تفاوت دارد. هر حرکت دورانی با محور دوران و زاویه دوران مشخص می‌‌شود. زاویه دوران در سرعت زاویه‌ای جسم لحاظ می‌‌شود
سینماتیک دوران

جسم صلبی را در نظر بگیرید که حول محوری که بر سطح این جسم عمود است، دوران می‌‌کند. برای سادگی فرض می‌‌کنیم که محور دوران ثابت می‌‌باشد. اگر محل ذره‌ای بر روی جسم در چارچوب مرجع ما معلوم باشد، می‌‌توانیم وضعیت تمامی ‌جسم در حال دوران را در این چارچوب مرجع مشخص کنیم. لذا برای سینماتیک این مسئله ، کافی است که فقط حرکت یک ذره بر روی یک دایره را در نظر بگیریم. اندازه دوران در هر لحظه به وسیله زاویه θ ، زاویه‌ای که موضع زاویه‌ای ذره نسبت به موضع اولیه می‌‌سازد، تعیین می‌‌شود. لذا اگر جهت دوران پاد ساعتگرد را مثبت اختیار کنیم، در نتیجه θ هنگام دوران پاد ساعتگرد افزایش و هنگام دوران ساعتگرد کاهش پیدا می‌‌کند.

سرعت زاویه‌ای ω
آهنگ تغییرات جابه‌جایی زاویه‌ای ذره (θ) نسبت به زمان به عنوان سرعت زاویه‌ای متوسط تعریف می‌‌شود. در واقع اگر تغییرات زاویه‌ای را با ∆θ و مدت زمان این تغییر را با ∆t نشان دهیم، در این صورت سرعت زاویه‌ای با نسبت برابر است. حال اگر چنانکه از این عبارت هنگامی ‌که ∆t به سمت صفر میل می‌‌کند، حد بگیریم کمیت حاصل سرعت زاویه‌ای لحظه‌ای خواهد بود. با توجه به تعریف مشتق در واقع می‌‌توان گفت که سرعت زاویه‌ای با مشتق زمانی جابه‌جایی زاویه‌ای θ برابر است. یکای سرعت زاویه‌ای عکس یکای زمان است و معمولا یکاهای آن را رادیان بر ثانیه یا دور بر ثانیه انتخاب می‌‌کنند.

شتاب زاویه‌ای α
اگر سرعت زاویه‌ای تغییر بکند، این تغییر سبب ایجاد شتاب می‌‌گردد. این شتاب ، شتاب زاویه‌ای نام دارد. اگر ω_1 و ω_2 به ترتیب سرعتهای زاویه‌ای لحظه‌ای در زمانهای t_1 و t_2 باشند، در این صورت شتاب زاویه‌ای متوسط که با \bar α نشان می‌‌دهیم، به صورت زیر خواهد بود:

حال اگر از این عبارت هنگامی که ∆t به سمت صفر میل می‌‌کند، حد بگیریم، در این صورت کمیت حاصل را شتاب زاویه‌ای لحظه‌ای می‌گویند. چون سرعت زاویه‌ای (ω) برای تمام ذرات جسم صلب یکسان است، لذا شتاب زاویه‌ای (α) نیز برای تمام ذرات یکسان خواهد بود. یکای شتاب زاویه‌ای عکس مجذور زمان است و یکاهای آن را معمولا رادیان بر مجذور ثانیه یا دور بر مجذور ثانیه تعریف می‌‌کنند.
مقایسه حرکت دورانی حول محور ثابت و حرکت انتقالی

دوران ذره (یا جسم صلب) حول یک محور ثابت با حرکت انتقالی ذره (یا جسم صلب) در یک امتداد ثابت هم‌خوانی صوری دارد. متغیرهای سینماتیک در حالت اول θ (جابه‌جایی زاویه‌ای) ، ω (سرعت زاویه‌ای) و α (شتاب زاویه‌ای) هستند، اما در حالت دوم x (جابه‌جایی خطی) ، v (سرعت خطی) و a (شتاب خطی) هستند. این کمیتها دو به دو متناظرند. البته اینها از لحاظ یکا با هم اختلاف دارند. هرگاه در حرکت انتقالی محدودیت مربوط به حرکت در امتداد خط راست را حذف کنیم و حالت کلی حرکت سه بعدی را بر روی مسیر منحنی در نظر بگیریم، متغیرهای خطی a ، v ، x به صورت مولفه‌های اسکالر بردارهای سینماتیکی vec a ، \vec v ، \vec r\ ظاهر می‌‌شوند، اما در صورت حذف محدودیت دوران حول محور ثابت ، متغیرهای سینماتیک دوران به این سادگی به بردار تبدیل نمی‌‌شوند.

با استفاده از تناظری که اشاره شد، به راحتی می‌‌توان معادلات حرکت را در حرکت دورانی حول یک محور ثابت بدست آورد. فقط کافی است متغیرهای سینماتیکی حرکت انتقالی در امتداد ثابت را با متغییرهای سینماتیکی حرکت دورانی جایگزین کنیم.
نمایش برداری کمیتهای دورانی

جابه‌جایی ، سرعت و شتاب خطی کمیتهای برداری هستند. کمیتهای زاویه‌ای متناظر آنها نیز می‌‌توانند بردار باشند، چون علاوه بر بزرگی باید جهتی نیز برای آنها در نظر گرفت. به عنوان مثال ، اگر محور دوران ثابت نباشد، در این صورت نمی‌‌توان گفت که کمیتهای α ، ω ، θ باز هم حالت اسکالر دارند، اما نمی‌‌توانیم این کمیتها را بردار تصور کنیم.

به عنوان مثال ، جابه‌جایی زاویه‌ای θ نمی‌‌تواند بردار باشد، چون به صورت برداری با هم جمع نمی‌‌شوند. از ریاضیات می‌‌دانیم که حاصل جمع دو بردار خاصیت جابه‌جایی دارد، یعنی وقتی که دو بردار A و B را با هم جمع می‌‌کنیم، فرقی ندارد که A+B بنویسیم یا B+A. در صورتی که در مورد θ که زاویه دوران است، چنین نیست، اما اگر جابه‌جایی زاویه‌ای بینهایت کوچک باشد، می‌‌توان آن را برداری در نظر گرفت.
رابطه سینماتیک خطی و زاویه‌ای

هرگاه جسم صلبی حول یک محور ثابت بچرخد، هر ذره از آن بر روی یک مسیر دایره‌ای حرکت می‌‌کند. لذا می‌‌توانیم حرکت این ذره را با متغیرهای خطی یا متغیرهای زاویه‌ای توصیف کنیم. با استفاده از رابطه میان متغیرهای خطی و زاویه‌ای می‌‌توانیم از توصیف یکی توصیف دیگری را نتیجه بگیریم و اگر سرعت خطی را با v و سرعت زاویه‌ای را با ω و فاصله نقطه مورد نظر از جسم صلب از محور دوران را با r نشان دهیم. در این صورت v = ω r خواهد بود. در حرکت دایره‌ای دو نوع شتاب می‌‌تواند وجود داشته باشد. یکی شتاب مماسی است که از تغییر سرعت خطی v حاصل می‌‌شود و دیگری شتاب زاویه‌ای است که از تغییرات سرعت زاویه‌ای ω بوجود می‌‌آید.

گشتاور نیرو
در حرکت انتقالی نیرو را به شتاب خطی جسم وابسته می‌‌کنیم. در حرکت دورانی کمیتی که به شتاب زاویه‌ای جسم وابسته است، گشتاور نیرو می‌‌باشد. ابتدا گشتاور نیرو را برای حالت خاص یک ذره منفرد که از یک چارچوب مرجع لخت مشاهده می‌‌شود، تعریف می‌‌کنیم. سپس آن را به دستگاههای ذرات تعمیم می‌‌دهیم. در مورد یک ذره منفرد که به فاصله r از مبدا مختصات قرار دارد و تحت تاثیر نیروی F حول محوری که از مبدا مختصات گذشته و بر صفحه شامل ذره و نیرو عمود است، دوران می‌کند، گشتاور نیرو با حاصل‌ضرب برداری \vec r در \vec F برابر است.

در حرکت دورانی گشتاور نیرو با شتاب زاویه‌ای ارتباط نزدیکی دارد، یعنی همان گونه که در حرکت انتقالی نیرو با حاصل‌ضرب جرم و شتاب خطی برابر است، گشتاور نیرو نیز با حاصل‌ضرب شتاب زاویه‌ای در ممان اینرسی (یعنی گشتاور لختی یا لختی دورانی) برابر است، یعنی اگر گشتاور نیرو را با \tau و ممان اینرسی را با I نشان دهیم، خواهیم داشت:

حرکت دورانی حول محوری که حرکت انتقالی دارد.
دوران حول یک محور ثابت حالت خاصی از حرکت دورانی است، اما اگر محور دوران ثابت نباشد، در این صورت شرایط فرق می‌‌کند. به عنوان مثال ، استوانه‌ای که بر روی یک سطح افقی می‌‌غلتد، نمونه‌ای از این نوع حرکت است. حرکت غلتان این جسم را می‌‌توان ترکیبی از حرکتهای انتقالی و دورانی در نظر گرفت. در مورد استوانه در هر لحظه نقطه تماس استوانه و سطح در حال حرکت است، چون جسم نمی‌‌لغزد. بنابراین در این حالت می‌‌توان حرکت را ترکیب حرکت انتقالی مرکز جرم و حرکت دورانی حول محوری که از مرکز جرم می‌‌گذرد، دانست که هم ارز است با یک حرکت دورانی محض با همان سرعت زاویه‌ای حول محوری که از نقطه تماس جسم غلتان می‌‌گذرد.

دوران جسم صلب حول محور دلخواه
در کلی‌ترین حالت دوران جسم صلب حول محوری که ثابت نبوده و حرکت دورانی دارد، مورد بحث قرار می‌‌گیرد. در این حالت برای بررسی حرکت جسم صلب به صورت زیر عمل می‌‌کنیم:
دو سیستم مختصات که یکی در خارج از جسم ثابت بوده و دیگری در روی جسم صلب قرار داشته و به همراه آن می‌‌چرخد، در نظر می‌‌گیریم. سیستم مختصات متصل به جسم را با پریم مشخص می‌‌کنیم. در این صورت سه محور چارچوب ثابت و چارچوب متصل به جسم با هم زاویه می‌‌سازد که این زوایا را زوایای اویلر می‌‌گویند. به بیان دیگر ، می‌‌توان گفت که با سه دوران پی‌درپی به اندازه این زاویه‌ها دو چارچوب پریم‌دار و بدون پریم بر هم منطبق می‌‌شوند.
بنابراین چارچوب برای نشان دادن جهت گیری جسم صلب در فضا نسبت به چارچوب ساکن در نظر گرفته می‌‌شود، اما در مورد جسم صلب می‌‌توان سه محور عمود بر هم چنان انتخاب کرد که حاصل‌ضرب ممانهای اینرسی صفر شوند. لازم به توضیح است ممان اینرسی جسم صلب ، در حالت کلی ، به صورت یک ماتریس خواهد بود که اعضای قطر اصلی ، ممان اینرسی اصلی و سایر عناصر را حاصل‌ضرب ممانهای اینرسی می‌‌گویند. بنابراین چارچوب سومی ‌در نظر گرفته می‌‌شود که سه محور آن محورهای اصلی جسم صلب هستند.
به این ترتیب معادلات حرکت جسم صلب تنظیم می‌‌گردد و در مورد نحوه حرکت و تعادل جسم صلب بحث می‌‌شود. بدیهی است که در این حالت کمیتها به صورت تانسوری در نظر گرفته می‌‌شوند. به عنوان مثال ، اندازه حرکت خطی به صورت L = Iω بیان می‌‌شود که دراین جا I تانسور اینرسی است که نمایش آن به صورت یک ماتریس مربعی است و ω به صورت یک ماتریس ستونی می‌‌باشد. به خاطر پیچیدگیهای ریاضی از ارائه معادلات حرکت خودداری می‌‌شود.

حرکت انتقالی
دید کلی
حرکت اجسام یکی از آشناترین پدیده‌ها برای بشر در طول تاریخ بوده است، زیرا در زندگی روزمره خود همواره با آن سر و کار داشته است. از اینرو بشر از دیر باز کوشیده است تا حرکتهای مختلف اجسام را تجزیه کند و در هر مورد علت آنرا بیابد. اجسام بسیاری در اطراف ما در حال حرکت هستند، اجسامی به بزرگی کهکشانها و یا اجسام بسیار کوچکی چون ذره‌های گرد و غبار ، حتی در اجسامی که به نظر ساکن می‌آیند و مثلا روی میز قرار دارند اتمهای آن جسم پیوسته در حال ارتعاش‌اند.

هوای اطراف ما مرکب از مولکولهایی است که بطور نامنظم به این سو و آن سو حرکت می‌کنند، حرکت اجسامی چون وسایل نقلیه ، پرندگان در حال پرواز ، جاری شدن آب در جویها از آشناترین حرکتهای اطراف ماست. حرکتهایی که در شرایط عادی با آن مواجه می‌شویم بسیار پیچیده می‌نمایند، به نظر هم نمی‌رسد از مشاهده‌های جداگانه بتوانیم به یک نتیجه گیری کلی برسیم که درباره همه حرکتها صادق باشد، لذا ساده‌ترین حرکت همان حرکت در مسیر مستقیم است.
حرکت مستقیم الخط یکنواخت
حرکت روی خط راست یکی از ساده‌ترین انواع حرکت است. اگر جسم روی یک خط راست حرکت کند بطور معمول مبدأ مختصات را بر خطی که جسم روی آن حرکت می‌کند در نظر می‌گیریم، در این صورت بردار مکان و جابجایی بر آن خط منطبق می‌شوند. سرعت متوسط در این حرکت در هر فاصله زمانی دلخواه یکسان و برابر سرعت متحرک است. معادله مکان این متحرک نسبت به زمان تابع درجه اولی از زمان است: که مکان ا

ولیه یعنی فاصله متحرک از مبدأ محور مکان در لحظه شروع حرکت یعنی است.

سرعت در صورتی که در جهت مثبت محور باشد ، مثبت است و در غیر اینصورت منفی است. نمودار مکان - زمان در این حرکت یک خط راست است که شیب خط برابر و عرض از مبدا آن است. نمودار سرعت - زمان در این حرکت خطی است موازی محور زمان و در صورتی که مثبت باشد، بالای محور و در صورتی که سرعت منفی باشد پایین محور زمان است.
حرکت شتابدار
حرکت شتابدار حرکتی است که در آن سرعت متحرک تغییر می‌کند. هنگامی که اتومبیل از حال سکون به راه می‌افتد با مشاهده سرعت سنج اتومبیل ملاحظه می‌شود که سرعت به تدریج افزایش می‌یابد و در هنگام ترمز کردن سرعت آن به تدریج کاهش می‌یابد. در این موارد که سرعت متحرک تغییر می‌کند حرکت شتابدار یا غیر یکنواخت است. شتاب متوسط برابر تغییر سرعت در واحد زمان است. و شتاب لحظه‌ای شتابی است که متحرک در هر لحظه داراست.

حرکت مستقیم الخط با شتاب ثابت
حرکتی است بر روی خط راست و با شتاب ثابت صورت می‌گیرد و جزء حرکتهای انتقالی است. به عبارت دیگر تغییرات سرعت در واحد زمان مقداریست ثابت ، یعنی در هر لحظه مقدار ثابتی به سرعت افزوده یا از آن کاسته می‌شود که این مقدار ثابت شتاب حرکت است.
معادله سرعت - زمان
در هر حرکت شتابدار ، شتاب متوسط از رابطه بدست می‌آید که وقتی شتاب ثابت است شتاب لحظه‌ای با شتاب متوسط برابر است. در لحظه :

که سرعت اولیه ، سرعت در لحظه و a شتاب حرکت است.
معادله مکان - زمان
معادله حرکت بصورت است. لذا نمودار مکان - زمان در این نوع حرکت به شکل سهمی است که شیب خط مماس بر نمودار در هر لحظه برابر سرعت در آن لحظه است.
حرکت پرتابی
فرض کنید سنگی را پرتاب می‌کنیم، ولی سرعت اولیه در راستای قائم نیست. در این حالت مسیر حرکت سنگ در راستای قائم نخواهد بود، بلکه حرکت در یک صفحه انجام می‌شود. این حرکت را حرکت پرتابی و جسمی را که پرتاب شده پرتابه می‌نامند. آزمایش نشان می‌دهد که اگر مقاومت هوا در برابر حرکت سنگ ناچیز باشد شتاب سنگ پرتابی مانند پرتاب در راستای قائم است. یعنی شتاب در حرکت پرتابی به طرف پایین و در راستای قائم و مقدار آن ثابت و برابر است. بجای بررسی حرکت پرتابی ، تصویر حرکت آنرا روی دو محور مختصات و بررسی می‌کنیم. پس از مشخص شدن کلیه کمیتهای حرکت روی این دو محور می‌توان با ترکیب کمیت‌ها مقدار آنها را در حرکت جسم روی مسیر خمیده بدست آورد.

برد پرتابه
فاصله محل برخورد پرتابه با سطح افقی که از نقطه پرتاب می‌گذرد، تا نقطه پرتاب را برد پرتابه می‌نامند. برد پرتابه به سرعت اولیه و زاویه پرتاب سطح افق وابسته است:
سرعت پرتابه
سرعت پرتابه در هر نقطه از ترکیب سرعت در دو راستای و بدست می‌آید:
نقطه اوج
بالاترین مکانی را که پرتابه پس از پرتاب به آنجا می‌رسد نقطه اوج پرتابه می‌نامند. اوج پرتابه به سرعت اولیه و زاویه پرتاب وابسته است:
سقوط آزاد اجسام
یکی از موارد حرکت بر خط راست با شتاب ثابت حرکت اجسام در راستای قائم و در نزدیکی سطح زمین است که آنرا سقوط آزاد می‌نامند. آزمایش نشان می‌دهد که اگر بتوان از اثر هوا بر حرکت اجسام چشم پوشید شتاب همه اجسام ثابت و در راستای قائم و به طرف پایین است. اندازه این شتاب و مقدار آن 9.8 m/s² است. معادله‌های حرکت و سرعت در سقوط آزاد همان معادله‌های حرکت با شتاب ثابت است. در سقوط آزاد جابجایی در راستای قائم است، مکان متحرک بطور معمول با نشان داده می‌شود و مبدأ نقطه‌ای است که سقوط از آنجا شروع می‌شود. اگر جهت مثبت رو به پایین اختیار شود معادله حرکت سقوط آزاد به صورت زیر است:

تمامی اجسامی که از یک نقطه رها می‌شوند در شرایط خلاء با هم به زمین می‌رسند. به عبارت دیگر در شرایط خلاء زمان سقوط بستگی به جرم ، جنس و شکل جسم ندارد