دانلود مقاله تحلیل اعداد

word قابل ویرایش
14 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

تحلیل اعداد

نظریه اعداد شاخه ای است از ریاضیات که از خواص اعداد درست ، یعنی ۱،۲،۳،۴،۵ و …
که اعداد شمار یا اعداد صحیح مثبت نیز نام دارند ، سخن می گوید .

شک نیست که اعداد صحیح مثبت نخستین اختراع ریاضی بشر است . به سختی می توان انسانی را مجسم کرد که ، لااقل در سطحی محدود ، قدرت شمارش نداشته باشد . یادداشتهای تاریخی نشان می دهند که سومریان باستان حدود ۵۷۰۰ ق . م تقویم داشته اند و از اینرو باید نوعی حساب می داشته اند.

حدود ۲۵۰۰ ق . م سومریها ، با استفاده از عدد ۶۰ به عنوان پایه ، دستگاه اعدادی ابداع کردند . این دستگاه نصیب بابلیها شد که به مهارتهای والایی در حساب رسیدند . لوحهایی گلی بدست آمده از بابلیها شامل جداول ریاضی کاملی هستند و قدمتشان به ۲۰۰۰ ق . م می رسد .

وقتی تمدنهای باستان به سطحی رسیدند که اوقات فراغت برای تدقیق در اشیاء بدست آمد ، برخی به تفکر در سرشت و خواص اعداد پرداختند . این کنجکاوی به نوعی تصوف یا علم معانی رمزی اعداد منجر شد و حتی امروزه نیز اعدادی نظیر ۳،۷،۱۱،۱۳ نشانه خوش شانسی یا بدشانسی هستند.

بیش از ۵۰۰۰ سال قبل از آنکه کسی به فکر بررسی خود اعداد به طور اصولی باشد ، اعداد برای حفظ محاسبات و معاملات تجاری بکار رفته اند. اولین روش علمی برای بررسی اعداد صحیح ، یعنی مبدا، اصلی نظریه اعداد ، را عموماً به یونانیان نسبت می دهند.

حدود ۶۰۰ ق . م ، فیثاغورس و پیروانش بررسی نسبتاً جامعی از اعداد صحیح کردند . آنان اولین کسانی بودند که اعداد صحیح را به طرق مختلف رده بندی کردند :
اعداد زوج : ۲،۴،۶،۸،۱۰،۱۲و…
اعداد فرد : ۱،۳،۵،۷،۹،۱۱ و …

اعداد اول : ۲،۳،۵،۷،۱۱،۱۳،۱۷،۱۹،۲۳،۲۹،۳۱،۳۷،۴۱،۴۳،۴۷،۵۳،۵۹،۶۱،۶۷،۷۱،۷۳،۷۹، و …
اعداد مرکب : ۴،۶،۸،۹،۱۰،۱۲،۱۴،۱۵،۱۶،۱۸،۲۰ و …
یک عدد اول عددی است بزرگتر از ۱ که تنها مقسوم علیه های آن ۱ و خود عدد باشند . اعدادی که اول نباشند مرکب نام دارند . جز عدد ۱ که نه اول گرفته می شود نه مرکب .

فیثاغوریان ، اعداد را به هندسه نیز مربوط ساختند . آنان مفهوم اعداد چند ضلعی را معرفی کردند : اعداد مثلثی ، اعداد مربعی ، اعداد مخمسی و … دلیلی این نامگذاری هندسی با نمایش اعداد به وسیله نقاط به شکل مثلث ، مربع ، مخمس و … بوده است .

رابطه دیگر اعداد با هندسه ناشی از قضیه معروف فیثاغورس است ، که می گوید : در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر مساوی مجموع مربعات دو ضلع دیگر است . فیثاغوریان به مثلثهای قائمی نظر داشتند که همانند شکل اضلاعشان اعدادی صحیح باشند .

این نوع مثلثها را امروزه مثلثهای فیثاغوری می نامند . سه تایی (x,y,z ) نظیر که نمایشگر طول اضلاع است یک سه تایی فیثاغوری نام دارد .
یک لوح بابلی ، متعلق به حدود ۱۷۰۰ ق. م پیدا شده که شامل صورت مبسوطی از سه تایی های فیثاغوری است و بعضی از اعداد آن نسبتاً بزرگ می باشند . فیثاغوریان نخستین کسانی بودند که روشی برای تعیین بی نهایت سه تایی عرضه کردند .

این روش را می توان با نمادهای جدید چنین بیان کرد : فرض کنیم n یک عدد فرد بزرگتر از ۱ باشد و

سه تایی (x,y,z) حاصل همیشه یک سه تایی فیثاغوری است که در آن z=y+1 . چند نمونه از آن عبارتند از :
۱۹ ۱۷ ۱۵ ۱۳ ۱۱ ۹ ۷ ۵ ۳ X
180 144 112 84 60 40 24 12 4 Y
181 145 113 85 1 41 25 13 5 Z
علاوه بر اینها ، سه تاییهای فیثاغوری دیگری نیز وجود دارند ؛ به عنوان مثال :

۲۰ ۱۶ ۱۲ ۸ X
99 63 35 15 Y
101 65 37 17 Z
در این مثالها داریم z=y+2 . افلاطون (۳۴۹-۴۳۰ ق. م) روشی برای تعیین همه این سه تایی ها بدست آورد ؛ این سه تایی ها در نمادگذاری جدید با فرمولهای زیر بیان می شوند :

حدود ۳۰۰ ق م واقعه مهمی در تاریخ ریاضیات رخ داد. ظهور اصول اقلیدس ، مجموعه ای مرکب از ۱۳ کتاب ، ریاضیات را از علم معانی رمزی اعداد به یک علم استنتاجی بدل ساخت . اقلیدس اولین کسی بود که حقایق ریاضی را همراه با برهانهای دقیق آنها عرضه کرد. سه کتاب از سیزده کتاب (کتابهای X , IX , VII ) به نظریه اعداد اختصاص دارند. در کتاب IX اقلیدس وجود بینهایت عدد اول را ثابت می کند. اثباتش هنوز در کلاسهای درسی تدریس می شود.

او در کتاب X روشی برای بدست آوردن همه سه تاییهای فیثاغوری ارائه می دهد، اما دلیلی بر اینکه روشش جمیع آنها را بدست می دهد نمی آورد. این روش را می توان در فرمولهای زیر خلاصه کرد :

x = t(a2-b2), y = 2tab, z = t (a2+b2),
که در آنها b , a , t اعداد صحیح مثبت دلخواهی هستند بطوری که a>b ، a , b عامل اول مشترک ندارند و یکی از a , b فرد و دیگری زوج است .

همچنین ، اقلیدس در مسئله دیگری که فیثاغوریان طرح کرده بودند و آن یافتن همه اعداد تام بود تحقیقات مهمی انجام داد . عدد ۶ را یک عدد تام می گفتند زیرا ۶ = ۳ + ۲ + ۱ ، یعنی مساوی مجموع تمام مقسوم علیه های واقعی خود ( یعنی ، مجموع تمام مقسوم علیه های کوچکتر از ۶ ) بود . مثالی دیگر از اعداد تام ۲۸ است .

زیرا ۲۸ = ۱+۲+۴+۷+۱۴ و ۱،۲،۴،۷و۱۴ مقسوم علیه های ۲۸ هستند که از ۲۸ کوچکترند . یونانیان مقسوم علیه های واقعی یک عدد را “فرازهای” آن عدد می خواندند . آنان ۶ و ۲۸ را اعداد تام می گفتند ، از آن جهت که هر یک مساوی مجموع فرازهای خود می باشد .

در کتاب ix ، اقلیدس همه اعداد تام زوج را به دست می دهد . وی ثابت کرده است که یک عدد زوج تام است اگر به شکل ۲p-1(2p-1) بوده و در آن ۲p-1,p هر دو اول باشند .
دو هزار سال بعد ، اویلز عکس قضیه اقلیدس را ثابت کرد . یعنی ، ثابت کرد که هر عدد تام زوج باید از نوع اقلیدس باشد . مثلاً برای ۶ و ۲۸ داریم :

۲۸ = ۲۳-۱(۲۳-۱) = ۴٫۷ , ۶ = ۲۲-۱(۲۲-۱) = ۲٫۳
اولین پنج عدد تام زوج عبارتند از :
۶ ، ۲۸ ، ۴۹۶ ، ۸۱۲۸ و ۳۳۶ ، ۵۵۰ ، ۳۳
در واقع ، اعداد تام بسیار نادرند . فقط ۲۴ عدد تام شناخته شده است . اینها در فرمول اقلیدس نظیر به مقادیر زیر از p اند :

۲,۳,۵,۷,۱۳,۱۷,۱۹,۳۱,۶۱,۸۹,۱۰۷,۱۲۷,۵۲۱,۶۰۷,۱۲۷۹,۲۲۰۳,۲۲۸۱,۳۲۱۷,۴۲۵۳,۴۴۲۳,۹۶۸۹,۹۹۴۱,۱۱,۲۱۳,۱۹,۹۳۷٫
اعداد به شکل ۲p-1 که در آن p عدد اول است ، به افتخار مرسن که آنها را در ۱۶۴۴ مطالعه کرد اعداد مرسن نام یافته اند و با Mp نموده می شوند . ثابت شده است که Mp به ازای ۲۴ عدد اول مذکور در بالا اول ، و به ازای مقادیر دیگر از p<257 ،

جز احتمالاً
p = 157,167,193,199,227,229
مرکب است . در مورد این اعداد هنوز معلوم نشده که Mp اول است یا مرکب . تاکنون هیچ عدد تام فرد بدست نیامده است ؛حتی از وجود آنها نیز اطلاعی در دست نیست . اما ، اگر وجود داشته باشند ، باید خیلی بزرگ باشند : در واقع ، بزرگتر از ۱۰۵۰ .

حال به شرح مختصر تاریخ نظریه اعداد از زمان اقلیدس تا امروز می پردازیم . بعد از اقلیدس در ۳۰۰ ق. م پیشرفت چشمگیری در نظریه اعداد صورت نگرفت تا حدود ۲۵۰ ب. م که ریاضیدان دیگر یونانی ، دیوفانتوس اهل اسکندریه ۱۳ کتاب منتشر کرد که فقط شش تای آنها بجای مانده است . این اولین اثر یونانی است که در آن از علایم جبری به نحو اصولی استفاده شده است .

با اینکه نمادهای جبریش در مقایسه با نمادهای فعلی خامند ، دیوفانتوس توانسته بعضی از معادلات جبری دو یا سه متغیره را حل نماید . بسیاری از مسائل آن از نظریه اعداد مایه گرفته اند و در نتیجه جستجوی جوابهای صحیح معادلات برایش امری طبیعی بوده است . امروزه معادلاتی که حلشان مستلزم یافتن جوابهای صحیح است ،

معادلات دیوفانتینی نام داشته ، و بررسی این معادلات به آنالیز دیوفانتینی شهرت دارد . معادله x2+y2 = z2 در مورد سه تایی های فیثاغوری نمونه ای از یک معادله دیوفانتینی است .

بعد از دیوفانتوس تا قرن هفده پیشرفت چندانی در نظریه اعداد حاصل نشد . اگر چه شواهدی وجود دارند که نشان می دهند این مبحث در شرق دور ، به ویژه در هندوستان در فاصله زمانی ۵۰۰ ب.م و ۱۲۰۰ ب.م شروع به شکوفایی کرده است .

این مبحث در قرن هفده در اروپای غربی جان گرفت و آن بیشتر بخاطر مساعی ریاضیدان برجسته فرانسوی پیر دوفرما ( ۱۶۶۵-۱۶۰۱) بود که عموم وی را پدر نظریه جدید اعداد می دانند . فرما بسیاری از الهامات خود را از آثار دیوفانتوس گرفت . وی نخستین کسی بود که خواص عمیق اعداد صحیح را کشف کرد . مثلاً فرما قضایای حیرت انگیز زیر را اثبات کرد :

هر عدد صحیح یک عدد مثلثی یا مجموع ۲ یا ۳ عدد مثلثی ، هر عدد صحیح یک عدد مربعی است یا مجموع ۲،۳ یا ۴ عدد مربعی . هر عدد صحیح یک عدد مخمسی است یا مجموع ۲،۳،۴ یا ۵ عدد مخمسی و غیره .

همچنین فرما کشف کرد که هر عدد اول به شکل ۴n+1 نظیر ۵ ، ۱۳ ، ۱۷ ، ۲۹ ، ۳۷ ، ۴۱ و غیره مجموع دو عدد مربعی است .

مثلاً
۵ = ۱۲+۲۲ , ۱۳ = ۲۲+۳۲, ۱۷= ۱۲+۴۲, ۲۹=۲۲+۵۲ , ۳۷ = ۱۲+۶۲, ۴۱=۴۲+۵۲
اندکی پس از فرا ، نامهایی چون اویلر (۱۷۸۳-۱۷۰۷) لاگرانژ(۱۸۱۳-۱۷۳۶) ، لژاندر(۱۸۳۳-۱۷۲۵) ، گاوس(۱۸۵۵-۱۷۷۷) و دیریکله(۱۸۵۹-۱۸۰۵) بخاطر بسط بیشتر این نظریه به شهرت رسیدند . اولین کتاب درسی در نظریه اعداد به وسیله لژاندر در ۱۷۹۸ منتشر شد . سه سال بعد ، گاوس Disquisitiones Arithemeticae را انتشار داد .

کتابی که نظریه اعداد را به یک علم اصولی و زیبا بدل کرد . گاوس با آنکه در رشته های دیگر ریاضیات و نیز در سایر علوم ، کارهای با ارزشی کرده بود ، کتاب نظریه اعداد خود را بزرگترین اثر خویش می دانست .

در صد سال اخیر ، یا بیشتر از زمان گاوس ، این مبحث پیشرفتهای زیادی در جهات مختلف داشته است . شرح انواع مسائلی که در نظریه اعداد بررسی شده اند در چند صفحه ممکن نیست . این مبحث بسیار وسیع است و در بعضی قسمتها نیاز به معرفت عمیقی از ریاضیات عالی دارد . با اینحال ، مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارند که به آسانی قابل بیانند . برخی از آنها به اعداد اول مربوط می شوند و ما بقیه این مقدمه را به این مسائل اختصاص می دهیم .

جدول همه اعداد اول کوچکتر از ۱۰ میلیون در ۱۹۱۴ توسط ریاضیدان امریکایی ، دی ، ان ، لمر منتشر شد . درست ۶۶۴۵۷۹ یا حدوداً عدد اول کوچکتر از ۱۰ میلیون وجود دارد .

اخیراً دی ، اچ ، لمر ( پسر دی ، ان ، لمر ) تعداد اعداد اول کوچکتر از ۱۰ بیلیون را حساب کرده است ؛۴۵۵۰۵۲۵۱۲ یا حدوداً از این اعداد وجود دارد ، اگر چه تک تک آنها شناخته شده نیستند . بررسی دقیق جدول اعداد اول نشان می دهد که توزیع آنها بسیار نامنظم است .

این جداول شکافهای عریض را بین آنها نشان می دهند . مثلاً بعد از عدد اول ۱۱۱۳۷۰۲۶۱ عدد مرکب می آیند هیچ عدد اولی بین ۲۰۸۳۱۳۲۳ و ۲۰۸۳۱۵۳۳ وجود ندارد . به آسانی ثابت می شود که شکافهای عریض دلخواه بین اعداد اول مآلاً رخ خواهند داد .

از آن سو ، این جدولها نشان می دهند که اعداد اول متوالی نظیر ۳و۵ یا ۱۰۱ و ۱۰۳ همین طور تکرار می شوند . جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان ۲ باشد دوقلوهای اول نام دارد . بیش از ۱۰۰۰ تا از این جفتها زیر ۱۰۰۰۰۰ و بیش از ۸۰۰۰ جفت زیر ۱۰۰۰۰۰۰ وجود دارد . بزرگترین جفتی که تا بحال شناخته شده ۷۶٫۳۱۳۹+۱ و ۷۶٫۳۱۳۹-۱ است . به نظر بسیاری از ریاضیدانان ، تعداد این جفتها بی نهایت است اما کسی تاکنون قادر به اثباتش نبوده است .

ولید همه این اعداد است . بعضی فرمولها اعداد اول بسیاری را به ما می دهند . مثلاً عبارت x2-x+41 به ازای x=0,1,2,3…۴۰ اول است و نیز x2-79x+1601 به ازای x=0,1,2,…,۷۹ اول می باشد . لیکن هیچ فرمول ساده أی از این نوع حتی اگر مکعب و توانهای بالاتر بکار روند ، نی تواند به ازای هر x اول باشد در واقع در سال ۱۷۲۵ ، گلدباخ ثابت کرد که هیچ چند جمله أی از x با ضرایب صحیح نمی تواند به ازای هر x یا حتی x های به قدر کافی بزرگ ، اول باشد .

بعضی از چند جمله ایها بی نهایت عدد اول را نمایش می دهند . مثلاً وقتی x اعداد صحیح ۰,۱,۲,۳,… را بگیرد ، چند جمله ای خطی ۲x+1
همه اعداد فرد و در نتیجه بی نهایت عدد اول بدست می دهد . همچنین هر یک از چند جمله ایهای ۴x+3 , 4x+1 نمایش بی نهایت عدد اول است . دیریکله در یک مقاله مشهور که به سال ۱۸۳۷ منتشر شد ، ثابت کرد که اگر a,b اعداد صحیح مثبتی بدون عامل مشترک باشند ، چند جمله ای ax + b

وقتی x همه اعداد صحیح مثبت را بگیرد ، بی نهایت عدد اول بدست می دهد . این نتیجه امروزه به قضیه دیریکله در باب وجود اعداد اول در یک تصاعد عددی معروف است .
برای اثبات این قضیه ، دیریکله از حیطه اعداد صحیح بیرون رفت و ابزارهایی از آنالیز نظیر حدود و پیوستگی را معرفی کرد . با این کار ، پایه های شاخه جدیدی از ریاضیات به نام نظریه تحلیلی اعداد ریخته شد ، که در آن مفاهیم و روشهای آنالیز حقیقی و مختلط برای حل مسائل مربوط به اعداد صحیح بکار برده می شوند .

معلوم نیست آیا چند جمله أی درجه دومی مانند ax2 + bx + c با a = 0 وجود دارد که بی نهایت عدد اول را نمایش دهد . دیریکله با استفاده از روشهای قوی تحلیلی خود ثابت کرد که اگر a , 2b , c عامل اول مشترک نداشته باشند ، چند جمله ای درجه دوم دو متغیره

ax2 + 2bxy + cy2
وقتی x,y اعداد صحیح مثبت را بگیرند ، بی نهایت عدد اول را نمایش می دهد .
فرما می پنداشت که فرمول همیشه ، به ازای n=0,1,2,… اول است . این اعداد را اعداد فرما می نامند و با Fn نشان می دهند . اولین پنج عدد فرما عبارتند از :
F0=3 , F1=5 , F2=17, F3= 257, F4=65,537

و همه آنها اولند . لیکن اویلر ، در ۱۷۳۲ دریافت که F5 مرکب است ، در واقع
F5 = 232 + 1 = ( 641 ) ( 6,700,417 ).
این اعداد در هندسه مسطحه نیز مورد توجه اند . گاوس ثابت کرد که اگر Fn اول باشد مثلاً Fn=p به کمک خط کش و پرگار می توان P ضلعی منتظم را ساخت .

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 14 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
  1. zeynab گفت:

    سلام خسته نباشید
    می تونم بپرسم منابع این مقاله چیه؟
    من در همین موضوع یه پروژه دارم ممنون میشم اگر کمکم کنید.

    • pcbrain گفت:

      با سلام و عرض ادب
      دوست عزیز این مقاله منابع ندارد . اگر مقاله مناسب در این موضوع نیاز داشتید که همراه با منابع باشد به سایت دانش رسان مراجعه نمایید

دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد