دانلود مقاله خواص اعداد

word قابل ویرایش
26 صفحه
9700 تومان
97,000 ریال – خرید و دانلود

خواص اعداد
کوچکترین عدد اولی است که به شکلp^2+pq+p نوشته می‌شود.

اگراز کوچه پس کوچه‌های قدیمی شهرآنجایی که هنوز رگه‌هایی از خانه‌های قدیمی کاهگلی یافت می‌شود گذر کنیم هنوز هم پلاکهای خانه‌هایی را می توان دید کهروی آن ۱+۱۲ به جای سیزده نوشته شده است، علت آن را در اعتقادات مردم میتوان یافت تحت این عنوان:
نحس بودن ۱۳!

آنچه در ادامه خواهید خواند جادوی ۱۳ است که به نظر جالب می رسد!!

 

! ● ۱۳ عدد اول است.
● ۱-۱۳^۲ عدد اول مرسن است.
۱۳جسم ارشمیدسی موجود است. (اجسام ارشمیدسی اجسامی هستند که وجوه آنها چند ضلعیبوده، نه لزوما از یک نوع ، و کنجهای آنها مساوی هستند.)

عدد۱۳کوچکترینEmirp است. (Emirp عدد اولی است که اگر ارقام آن را معکوس کنیممجددا عددی اول خواهد بود مثلا اعداد ۱۳، ۱۷،۳۱، ۳۷،…..)

●۱۶۹=۲^۱۳ بامعکوس کردن ارقام آن داریم: ۹۶۱=”۲^۳۱ یعنی رقم های آن مجددا معکوس می شود.”

●۲^۱۳، ۱+!۱۲ را عاد می‌کند
.

● ۱۳عددHappy است.(برای دانستن این که عددیHappy است، مجموع مربعات رقمهایعدد را پیدا کرده و دوباره مجموع مربعات عدد بدست آمده را حساب می‌کنیم باادامه این روند اگر به عدد ۱ دست پیدا کردیم آنگاه به آن عددHappy گفتهمی‌شود. مثلا برای عدد سیزده ۱۰=”۲^۳+۲^۱ و ۱=۲^۰+۲^۱ بنابراین۱۳″ عددHappyاست.)

● ۱۳نیمی از ۳^۳+ ۳^۱- است. ●شاخه زیتونی که در پشت دلارهای آمریکا کشیده شده است ۱۳ برگ دارد.

 

 

●۲^۱۳عدد!(۱ -۱۳)+ ۱را عاد می‌کند بنابراین یک عدد اول ویلسون(Wilson Prime) است. ( هر عدد اولp که،p وp^2، مقدارp-1)!+1 ) را عاد کنند، عدد اول ویلسوننامیده می‌شود. مثلا عدد ۵ عدد ویلسون است. تنها اعداد شناخته شده ۵ و ۱۳و۵۶۳ است.)

●چرتکه چینی دارای سیزده ستون مهره‌ برای محاسبات است.

● ۱۳بزرگترین عدد اولی است که می تواند به دو عدد متوالی به صورتn^2+3 افراز می شود.(آیا می توانید اثبات کنید؟)

● ۱+۱۳- ۱۳^۱۳ عدد اول است.

● نخستین حفره‌ی اول با طول سیزده بین دو عدد ۱۱۳و ۱۲۷اتفاق می‌افتد. (منظوراز حفره‌ی اول تعداد اعداد مرکب بین دوعدد اول متوالی است.)

● ۱۳ کوچکترین عدد اول جایگشت‌پذیر(Permutable Number) است. ( این اعداد،اعداد اولی حداقل با دو رقم مجزا هستند که با تجدید آرایش در رقم هایشانهمچنان عددی اول باقی می مانند مثلا برای عدد ۳۳۷ ، ۷۳۳ و ۳۷۳ و ۳۳۷ عدداول است از دیگر اعداد از این قسم می‌توان به ۱۳,۱۷,۳۷,۷۹, ۱۱۳,۱۱۹وجایگشتهای آن اشاره کرد.)

● هشت عدد اول دیگر می‌تواند به وسیله تغییر یک رقم از ۱۳ تولید شود.{۱۱, ۱۷, ۱۹, ۲۳, ۴۳, ۵۳, ۷۳, ۸۳}

● نخستین بار پرچم امریکا ۱۳ ستاره و ۱۳ خط داشت که نشان

دهنده تعداد مستعمرات اصلی این کشور بود.

● عدد ۱۳ کوچکترین عددی است که ارقام آن در پایه چهار معکوس ۱۳ است. ( ۱۳ در پایه چهار ۳۱ است.)

● رویه‌ی بیضوی روی اعداد گویا که دارای نقطه‌ی گویا از مر

تبه‌ی ۱۳ باشد موجود نیست.

 

● ۲^۱۳= ۱۹+…+۸+۷

● عدد ۲^۱۳توسط مربعات مجزای اعداد ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و ۶ بیان می‌شود.

●طولانی ترین رکورد پرواز یک جوجه ۱۳ ثانیه است.

سیزدهمینروز از فروردین شاید تنها بهانه‌ایی باشد برای گذر از ازدحام شهر و رفتنبه طبیعت، اما خوب می‌دانیم اینبار نیز از نحوست ۱۳ فرار می کنیم.

اما ۱۳ برای شما تنها یاآور نحسی آن است؟

●۱۳۱۲۱۱۱۰۹۸۷۶۵۴۳۲۱۲۳ ۴۵۶۷۸۹۱۰۱۱۱۲۱۳عدد اول است.

● معکوس عدد ۲^۱۳ عددی اول است.

● ELEVEN + TWO = TWELVE + ONE(عبارت فوق تحریفی از حل معادله‌ی ۱۳ است.)

●۱۳کوچکترین عدد اولی است که از مجموع مربعات دو عدد اول مجزا یعنی ۲^۳+۲^۲ بدست می آید.

●اقلیدس و دیافانتی هر کدام ۱۳ کتاب نوشته‌اند.

●با به کار بردن نخستین سه عدد اول داریم : ۱۳=”۵+۳^۲

●فیلم” ۱۳ نوامبر” ، آلفرد هیچکاک هیچگاه به پایان نرسی.

 

●مجموع نخستین ۱۳عداد اول برابر ۱۳ امین عدد اول است.

●رساله ۱۳ جلدیAlmagestبزرگترین کار بطلمیوس بود. قضیه‌ی ریاضی را با توجه به حرکتهای ماه ،خورشید و سیاره ها را فراهم ساخت.

● مجموع باقی مانده های حاصل از تقسیم عدد ۱۳ برنخستین اعداد اول تا ۱۳ برابر ۱۳ است.

● ۱۳کوچکترین عدد اولی است که مجموع ارقام آن مربع است.

●۱۳کوچکترین عدد اولی است که به شکلp^2+4( کهp اول است) نوشته می شود.

● اویلر ۱۳ فرزند داشت که ۵ فرزند او به سن نوجوانی رسیده و تنها ۳ نفر باقی ماندند.

●مجموع توانهای چهارم نخستین ۱۳عدد اول به علاوه‌ی عدد یک ، عددی اول(۶۸۷۰۷۳۳) است.

● ۱۳ کوچکترین عدد اولSextanاست این عدد برابر است با:
(p = (x^6+y^6)/(x^ 2+ y^2

● اگر برای عدد اولpداشته باشیم-۱)!=”-۱ ” mod p^2 ) آن عدد، عدد ویلسون است. ( تنها اعداد شناخته شده ۵ ،۱۳ و ۵۶۳ است.)
● (۱۳+۱)۱۳-۱۳^ (۱۳+۱) عددی اول است.

● بد یمن بودن روز جممعه ایی که ۱۳امین روز ماه

باشد یکی از خرافات رایج در جوامع است.

●۱۳کوچکترین عدد اولی است که به صورت مجموع مجزا از اعداد اول به شکل ۴n+3نیست.

●به طور طعنه آمیز گفته می شود که : ۱۳ ، ۱۵

امین عدد خوشبختی است.

●۱۳بزرگترین عدد اول فیبوناچی است که(۱۳)Fاول است.

۱۳ از متصل شدن دو عدد نخست مثلثی ساخته می‌شود.( ۱, ۱+۲, ۱+۲+۳ … اعداد مثلثی هستند.)

● مجموع نخستین ۱۳ عدد اول ۲۳۸که مجموع ارقامش ۱۳ است

● .به طور طبیعی هر سال ۱۲ ماه دارد اما در حقیقت ۱۳ ماه داریم تعجب نکنید ماه آسمان را فراموش کردید با دوازده ماه سال ۱۳ می شود.

● ۱۳=”۲^۳+۱^۳+۰^۳

● کوچکترین عدد اولی است که به صورت مجموع دو عدد اول ( ۲+۱۱) نمایش دادهمی‌شود و همچنین کوچترین عدد اولی است که به صورت مجموع دو عدد مرکب (۴+۹) نوشته می‌شود.

● ۱۳بزرگترین عدد اول مینیمال در پای ۳ است.

● ۱۳/۱۳۳۳۳۳۳۳۳۳۳۳۳۳ عدد اول است. (توجه کنید که تعداد ارقام ۳ بعد ۱ ، ۱۳ عدد است.)

● ۱۳=”۳+۷+۳(توجه” کنید که۳^۱۳=”(۷+۳)+۷^۳)

●۰^۱۰+۲^۱۰+۳^ ۱۰+۵^۱۰+۷^ ۱۰+۱۱^۱۰+ ۱۳^۱۰عدد” اول است که بزرگترین عدد اول ناتیتانیک(Titanic Number) است. ( NumberTitanicاعداد اولی هستند که تعدادارقام آن بیشتر از ۱۰۰۰ است.)

● ۱۳-۱۳^۲عدد اول است.

 

●۱۳+۱۳+۱۳/۱۳+ ۱۳*۱۳+!۱۳+ ۱۳^۱۳ و۱۳+۱۳+۱۳/۱۳+ ۱۳*۱۳+۱۳^ ۱۳ دو عدد پانزده رقمی اول هستند.

● ۱۳جوابی برای معادله‌ی دیوفانتوسی(Diophantine Equation) z^2=”x^3

-y^3″ است. یعنی؛ ۳^۷-۳^۸=”۲^۱۳

●۱۳/(۱۳+۱۳+۱۳+ ۱۳+۱۳+۱۳+ ۱۳+۱۳۱۳۱۳+ ۱۳^۱۳) عددی اول است که شامل ۱۳بار ترکیباتی از عدد ۱۳ است مثلا ۱۳۱۳۱۳سه بار ۱۳ در آن آمده است.

●ماموریت قمر” آپولو ۱۳″ در مسیر ماه بی نتیجه ماند علت انفجار در قسمتی ازسفینه بود . نکته جالب این است که این قمر در ساعت ۱۳:۱۳ پرتاب شده بود واین اتفاق در ۱۳ اوریل شکل گرفت. ( احتمالا روز جمعه!!!!!!!!)

● ۱۳امین عدد اول مرسن عدد ۱-۵۲۱^۲ و ۱۳امین عدد لوکاس(Lucas Number) عدد۵۲۱است.)اعداد لوکاس اعدادی هستند که به نام ریاضیدان فرانسویEdouardLucasنامگذاری شده اند و در دنباله ۱ و۳و۴و۷ و۱۱و…. قرار دارنداین دنباله به صورت ذیل ساخته می شود که جمله اول ۱ و دومین جمله ۳ جملههای بعدی از مجموع دو جمله قبلی ساخته می شود مثلا جمله سوم مجموع جملهاول با دوم یعنی ۱+۳ است.

● (۱۳=”(!۳*!۱)+(!۳+ !۱)۱۳″ و ۳۱تنها اعداد مرسنEmirp شناخته شده هستد.

● ۱۳کوچکترین عدد اولی است که به شکلp^2+pq+p نوشته می‌شود.

●معکوس ((۱+۱۳^۱۳)^۱۳) یک عددBrilliantاست. ( به اعدادیBrilliantگویند که دو فاکتور اول با طول یکسان دارند

الف) مقدمه:
عدد هفت عددی است که شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه کند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود که خواص عدد هفت را

بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از کنار آن ها رد می شویم مثلا شاید جالب باشد که بدانیم، رنگین کمان دارای هفت رنگ است .عجایب جهان، هفت تا هستند.(که به عجایب هفت گانه معروفند ) یا در یونان باستان، اسطوره ای با نام هفت خدای، در ذهن مردم نقش بسته است، ویا شهر عشق، که دراشعار عطار آمده است، هفت شهر می باشد، سوره ی مبارکه حمد، که اوّلین سوره ی قرآن کریم است، هفت آیه دارد. آسمان دارای هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر کدام دارای هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسیقی ایران و یونان هفت دستگاه داد، هفت نوع ساز بادی وجود دارد و علاوه بر این هفت نت موسیقی وجود

دارد(دو، ر، می، فا، سل، لا، سی) و…
ب) تاریخچه:
در سال ۱۸۸۹ میلادی کتابی ار یک جهان گرد منتشر شد که، از جمله روش شمردن را در میان قبیله ای از تورس شرح داده است. اینها برای شمردن تنها از دو واژه استفاده می کردند: یک و دو. برای عدد سه می گفتند «دو و یک » برای چهار «دو و دو»، برای پنج «دو و دو یک » و برای شش «دو و دو و دو» ولی برای عددهای بزرگ تر از ۶، هر قدر بود، می گفتند «خیلی ».
گرچه این آگاهی مربوط به پایان سده ی نوزدهم است ولی می تواند گواهی بر شیوه ی شمردن در آغاز شکل گیری مفهوم عدد در میان انسان های نخستین باشد. بعد ها که برای عددهای بزرگتر هم نامی در نظر گرفتند به احتمالی برای عدد «هفت» از همان واژه ی قبلی «خیلی» یا «بسیار» استفاده کردند. عدد هفت که سده های متوالی برای آنها نا شناخته بود، اندک اندک به صورت عددی مقدس در آمد.
وقتی که مصری ها، بابلی ها و دیگر امت ها توانستند پنج سیاره ی نزدیک تر به خورشید را بشناسند، با اضافه کردن ماه و خورشید، به عدد هفت رسیدند و این بر تقدس عدد ۷ افزود وقتی در قصه های کهن تر، که تا زمان ما هم ادامه پیدا کرده است، صحبت از شهری می شود که هفت برج و هفت بارو داشت، به معنای آن است که این شهر برج و باروهای بسیار داشت. هفت آسمان و هفت دریا و هفت کشور، به معنای آسمان ها و کشور ها و دریاهای بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دریا (نه کم و نه زیاد ). هنوز در زبان فارسی اندرز می دهند « هفت بار گز کن یک بار پارچه کن ». این جمله به معنای آن نیست که برای دقت کار و کم کردن اشتباه در اندازه گیری یا هر کار دیگری باید درست ۷ بار آزمایش کرد، نه شش یا هشت بار. در اینجا هم هفت به معنی «بسیار» است. عدد۱۳ هم چنین سرنوشتی دارد….
پ) هفت و…
نزد بسیاری از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ویژه ای بود. در فلسفه و نجوم مصریان و بابلی ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگی، سه و چهار، جایگاه ویژه ای داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ یعنی سه انسان، پایه و اساس زندگی هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)

ایرانیان قدیم در آیین زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاکی میدانستند و برای او هفت صفت را بر می شمردند و در مقابل او اهریمن را پدید آورنده ی پلیدیها می دانستند و می گفتند در پیرامون اهورامزدا فرشتگانی هستند که مظاهر صفات حسنه هستند و برای احترام به آن ها که اول هرکدامشان سین بود هنگام سال تحویل سفره می گستراندند و هفت قسم خوراکی که نام هریک با سین شروع می شود: سیر، سرکه

، سیب، سماق، سمنو، سنجد، سکه، و سبزی را سر سفره می گذاردند که به سفره ی هفت سین معروف بود.
برای فیلسوف و ریاضیدان یونانی«فیثاغورث» نیز عدد هفت، مفهموم ویژه ی خود را داشت که از مجموع دو عدد سه و چهار تشکیل می شود: مثلث و مربع نزد ریاضیدانان عهد باستان اشکال هندسی کامل محسوب می شدند، از این رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار برای آن ها عدد مقدسی بود. علاوه بر این در یونان هر هفت سیاره را خدایی میدانستند : سلن، هیلیوس،آرس،هرمس، زئوس، آفرودیت و کرونوس.
یهودیان قدیم نیز برای عدد هفت معنای ویژه ای قایل بودند. در کتاب اول عهد عتیق (تورات) آمده است که خداوند جهان را در شش روز خلق کرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسی در ده فرمان خود از پیروانش می خواهد که این روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطیل یهودیان).
علاوه بر این در آن کتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و کامل نیز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد یهودیان و بعد ها نیز نزد مسیحیان که عهد عتیق را قبول کردند، به عنوان عددی مقدس محسوب می شد.
به این ترتیب بود که از دوران باستان هفتگانه های بیشماری تشکیل شدند: یونانیان باستان همه ساله هفت تن از بهترین هنرپیشگان نقش های سنگین و غمناک و نقش های طنز و کمدی را انتخاب میکردند. آن ها مانند رومی های باستان به هفت هنر احترام میگذاشتند. روم بر روی هفت تپه بنا شده بود. در تعلیمات کلیسای کاتولیک هفت گناه کبیره(غرور، آزمندی، بی عفتی، حسد، افراط، خشم و کاهلی) و هفت پیمان مقدس(غسل تعمید، تسلیم و تصدیق، تقدیس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانیون مسیحی) وجود دارد. برای پیروان محمد(ص) آخرین مکان

عروج، آسمان هفتم محسوب می شود.
در بیست و هفتم ژوئن هر سال، روز «هفت انسان خوابیده » مسیحیان یاد آن هفت برادری را که در سال ۲۵۱ بعد از میلاد، برای عقیده و ایمان

خود، زنده زنده لای دیوار نهاده شده و شهید شدند، گرامی می دارند؛ مردم عامه می گویند که اگر در این روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان باید هفت وسیله ی مورد نیازش را بسته بندی کند و با چکمه های هفت فرسخی خود به آن دورها سفر کند. صور فلکی خوشه ی پروین یا ثریا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالی که حتی با چشم های غیر مسلح میتوان در این صورت فلکی تا یازده ستاره را دید.
عرفای بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادی نشان داده اند و فاصله ی بین هستی و تباهی را پنچ مرحله دانسته اند.
در افسانه ها نیز با هفت سحر آمیز برخورد می کنیم: سوار ریش آبی هفت همسر داشت، سفید برفی با هفت کوتوله پشت هفت کوه زندگی می گرد و افسانه ی اژدهای هفت سر…
علاوه بر این می توان به هقت اقلیم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پیکر، هفت هیکل، هفت گناه کبیره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت رکن نماز،هفت تحلیل و هفت طواف (در اعمال حج)، هفت قبله(مکه، مدینه،نجف،کربلا،کاظمین،سامرا،مشهد) و… اشاره کرد و به این ترتیب بود که تعداد بیشماری هفتگانه در دنیا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصی بخشید.
همه رسولان و پیغمبران خداباچنانمعجزاتی همایت شده اندکه ثابت می کندازسوی خداآمده اند. وهیچ انسانی نمی تواندهمانندآن معجزات راآشکارسازد. موسی چوب دستی راانداخت وبه خواست خدابه مارتبدیل شد. آخرین رسول(پیامبر)خداباچنان معجزاتی همایت نشده بود معجزه او قرآن بود

چنانچه مردم ازاومی خواهندمعجزه ای نشان ده

د، خدابه محمدمی گوید(بهآنهابگوآینده ازآن خداست پس منتظرباشیدمن هم باشمامنتظرمی شوم) درسوره مدثروآیه ۳۰ازقرآن می خوانیم “برروی قرآن عدد۱۹راقراردهد” خدامی گویدهمه قرآن برعدد۱۹قابلتقسیم است و۱۹مخرج مشترک سراسرسیستم قرآن است. دلیل آن رادرآیه۳۱می خوانیم. ما،فرشتگان رانگهبانان جهنم قراردادیم وشماره شان را۱۹تعیین کردیم.

۱-تاکافرانرامضطرب سازیم. ۲-تامسیحیان ویهودیا

ن رامتقاعدسازیم. ۳-تاایمان مؤمنان را محکمترکنیم. اکنون برای اولین باردرتاریخ علم داریم بامعجزه هیبت انگیزریاضی که به صورترازازمحافظت الهی برخورداربوده است، واین معجزه عظیم راخدادرقرآن درسوره مدثر،آیه۳۵اعلام کرده است.

کدریاضی قرآن ازبسیارساده تابسیارمشکل تغییرمی کند.

۱-اولین آیه(آیه۱:سوره۱)”بسم الله الرحمن الرحیم” شامل ۱۹حرف است.

۲-هریک ازکلمات بسم الله درهمه قرآن به تعدادی تکرارشده است که همگیمضرب۱۹دارند.

اسم۱۹مرتبه تکرارشده، رحمن۵۷(۳*۱۹)مرتبه، رحیم۱۱۴مرتبه(۶*۱۹)

۳-قرآن دارای۱۱۴سوره ۶*۱۹

۴-مجموع ایات قرآن۶۳۴۶است که میشود۱۹*۳۳۴٫ ۳۳۴آیه شماره گذاری شده و۱۲آیه(بسم الله)شماره گذاری نشده است که میشود۱۱۲+۶۲۳۴توجه کنیدکه۴+۶+۳+۶می شود۱۹٫

۵-بسم الله۱۱۴مرتبه تکرارشده است. باوجودغیبت آن درسوره توبه در(سوره نمل دوبارتکرارشده پس دوبارمی شود۱۱۴=۱۹*۶

۶- ازغیب بسم الله درسوره توبه تابسم الله اضافی درسوره نمل دقیقاً۱۹سورهمی باشد.

۷- مجموع شماره سوره ها ازتوبه تانمل(۲۷+۲۶+…+۱۲+۱۱+۱۰+۹) ۳۴۲یا۱۸*۱۹

۸- این مجموع۳۴۲همچنین مساوی است بامجموع کلمات بین دوبسم اللهسوره نمل وسوره توبه۳۴۲=۱۹*۱۸

 

۹- اولین آیات معروفی که وحی شد”سوره علقآیه۱تا۵″شامل۱۹ کلمه است.

۱۰- این اولین وحی۱۹کلمه دارای۷۶حرف است۱۹*۴

۱۱- سوره علق ازنظرترتیب زمانی ازاخرقرآن نوزدهمین

است.

۱۲- مجموع۲۹سوره ای که(پارافهای قرآنی)(حروف مقطعه)درآنهاآمده است می شود:

۸۲۲=۶۸+۵۰+۷+۳و ۸۲۲+۱۴ (۱۴ مجموعه حروفهای مقطعه می شود۸۳۶=۱۹*۴۴)

قرآن پدیده خاص وبی نظیری داردکه هرگزدرکتاب دیگری یافت نمی شود

درواقع این معجزه عظیم همه دانشمندان وعلماوریاضیدانان رابه مبارزهمی طلبدتافقط یک سوره مانندقرآن نشان دهند.

اعداد حسابی
اعداد حسابی اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است. به عبارت دیگر به مجموعه‌ی اعداد زیر ،‌ اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش می‌دهند: { … , ۳ , ۲ , ۱ , ۰ , ۱- , ۲- , ۳- , …} = Z درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است. این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی‌های اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد. صحیح همانند اعداد طبیعی

نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم

دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.

اعداد طبیعی
اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {… ,? ,? ,?} است.
در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.

در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.

اعداد اول

اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ? بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ? است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ? اول نباشد مرکب است.

عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ?? فقط ممکن است اعداد ?، ?، ?، ? باشد.

اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.

سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ?، ?، ?، ?، ??، ??، ??، ?? …

قضیه ?: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات م

ی‌کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصل‌ضرب این اعداد به علاوه ? را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم‌علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.

قضیه ? (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ? را به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.

 

قضیه ? (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ? باشد، حتما” بین n و ?n عدد اولی وجود دارد. قضیه ? هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.

قضیه ? هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ?)

قضیه ۶-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.

خواص اعداد اول:

۱- هر عدد اول برابر است با ۶n+1 یا ۶n-1 که n یک عدد صحیح است.

۲-مجذور هر عدد اول برابر است با ۲۴n+1.

۳-تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از ۲۴ است.

۴-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز ۲و۳ مضربی از ۶ بعلاوه یا منهای یک است.

توان چهارم هر عدد اول بجز ۲و۳ مضربی از ۲۴۰ بعلاوه یک است.

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ? ???میلیون و ? ????هزار و ? ????منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است.

لازم به ذکر است که تعداد ۳۰۰۰ عدد اول در سایت مگاسند

ر [url]www.megasender.org[/url] وجود دارد و افرادی که مایل به دریافت بیشتر این اعداد هستند می توانند با سایت مذکور تماس گرفته و تعداد بیشتری از آنها را بر روی لوح فشرده دریافت نمایند و طراحان این سایت خودشان این اعداد را محاسبه نموده اند

اعداد جبری

 

اعداد جبری در ریاضیات اعدادی هستند که جواب معادله‌ای به شکل زیر باشند:

anxn + an?1xn?1 + ••• + a1x + a0 = 0

ضریب‌های a0 تا an در این معادله چند جمله‌ای اعداد گویا هستند.

تمام اعداد گویا اعداد جبری هم هستند. بعضی از اعداد حقیقی عدد جبری نیستند. عددی که جبری نباشد عدد متعالی (یا غیرجبری) نامیده می‌شود.

اعداد حقیقی

میدان تمام اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با R نمایش می‌دهند. اعداد حقیقی را می‌توان با اضافه کردن عدد موهومی( ) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط مینامند.

اعداد صحیح

 

اعداد صحیح به مجموعه? اعداد طبیعی مثبت، اعداد طبیعی منفی، و عدد صفر گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعه? اعداد طبیعی، مجموعه? اعداد صحیح نیز یک مجموعه? شمارای نامتناهی‌ست.

شاخه‌ای‌ از ریاضیّات که به مطالعه? اعداد صحیح می‌پردازد، نظریه? اعداد نام دارد.

خواص جبری

همانند اعداد طبیعی، Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعه? اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Z تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما Z تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند

جمع ضرب
بسته بودن: a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض پذیری: a + b = b + a a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد: a + 0 = a a × ۱ = a
وجود یک عنصر عکس: a + (?a) = 0
توزیع پذیری: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه‌های صفر: اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0

مطابق بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعه? Z به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبتZ به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعه? اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.

مجموعه? ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعه? اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است

. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد

طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)

اعداد گویا

اعداد گویا۱ حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را می‌توان به شکل a/b یا آ بیم نوشت (که a و b اعداد صحیح‌اند).

در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با Q نمایش می‌دهند. به عنوان مجموعه‌ای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعه? اعداد گویا، خود، زیرمجموعه‌ای‌ست چگال (dense) از مجموعه? بزرگ‌تر و عمومی‌تر اعداد حقیقی.

به عنوان یک اشتباه نسبتاً رائج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت رادیکال سه دوم کسر هست، ولی، گویا نیست.

اعداد مختلط

عدد مختلط عددی به فرم a + bi است که در آن a و b از اعداد حقیقی و i عدد موهومی برابر با ریشه? دوم عدد ?- است.

اعداد مختلط از کجا آمدند
همان طور که میدانید یک معادله درجه دو مثل

ax2 + bX + c = 0 در اعداد حقیقی وقتی که Delta = b2 ? 4avc مقداری منفی باشد گوئیم جواب ندارد.این یعنی اداد حقیقی شمول همه اعداد نیست پس اعداد مختط تعریف شدد. عدد مختلط a + bi را می‌توان به صورت (a,b) نوشت. برای اینکه مفهوم اعداد مختلط را نتوجه شوید ،ابتدا باید با اعداد مختلط آشنایی کامل داشت

ه باشید. عداد مختلط: می خواهیم معادله را حل کنیم.این معادله درمجموعه های دارای جواب نیست. برای اینکه هیچ عددی بتوان ۲ و به علاوه ۱ صفر نمیشود.همچنین اگرعددی به توان زوج برسد،غیرممکن است که علامت آن منفی شود.«با به پشت مساوی بردن معلوم معادله(۱+) می بینیم که مجهول عددیست که به توان رسیده ومنفی شده که محال است».اما باید گفت که اعداد را با علامت دیگری غیر از+و- شان میدهیم؛ آن علامت شامل اعداد مختلط و متناهی می شود. در اعداد متناهی این قانون هست که عددی با بتوان زوج رسیدن منفی هم بشود.این اعداد رابا علامت نشان می دهند. برای یک عدد حقیقی( )عدد متناهی را به صورت زیر نشان میدهند: اعدادی راکه دارای علامت i هستند را موهومی می گوئیم. پس باتوجه به مطالب فوق دریافته ایدکه:جواب معادله درمجموعه ی اعداد متناهی دارای دو جواب است: i,+i- اعداد متناهی: به نظر شما اگر دلتای معادله ی درجه دومی منفی بودچطور می توان ریشه معادله موردنظر را پیداکرد؟ می خواهیم معادله ی را حل کنیم.
حل:

ازطرفی: ملاحظه می کنیم دو جوابی که بدست آمده اند بطورخالص نه حقیقی و نه موهومی به شمار می روند. لذاچنین اعدادی را در گروه اعداد مختلط ج

ای دارند. یک عدد مختلط به صورت زوج مرتب :z=(x,y)معرفی می شوند.x: مولفه حقیقی و y: مولفه موهومی نام دارد. اعداد مختلط را می توان بصورت روبرو نشان داد: z=x+iy مزدوج آنر بصورت روبرو نشان می دهیم: ۸۵٫۱۳۳٫۱۷۳٫۲۲۸ ??:??, ?? ژوئیه ???? (UTC) هرگاه مولفه های دو عدد مختلط دو به دو برابر بود؛آنرا؛دو عدد مختلط برابرنامیده می شود.

نکته:این اعداد همچون سایر مجموعه اعداد دارای خواصص

توزیع پذیری،شرکت پذیری و جابجایی نیز هست.

میدان اعداد مختلط () میدان اعداد حقیقی () را به صورت زیر میدان، شامل می‌شود. درضمن z=(x,y) —>: x:مولفه حقیقی است و y:مولفه موهومی است.

اعداد مرکب

عدد مرکب عددی طبیعی بجز یک است که اول نباشد.
بینهایت مفهومی است که در رشته‌های مختلف ریاضیات (با تعبیرات مختلف) به‌کار می‌رود و معمولاً به معنای «فراتر از هر مقدار» است. معمولاً نشانه بینهایت در ریاضیات ∞ است.

نماد بینهایت در حالت های مختلف
بی نهایت از واژه لاتین finites به معنی محدود گرفته شده ( علامت ) چیزی است که “محدود” نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.
در آنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدی بیکران است. یعنی متغیر فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.
در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشته یعنی قدر متغیر مختلط (که آن را با نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.
در نظریه مجموعه‌ها مفهوم بینهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با نمایش می‌دهند و می‌خوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به‌نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می‌دهد، که «بینهایت» است. جالب است که بدانید که عدد اصلی مجموعه‌های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف می‌خوانند. خوب است بدانید که الف برابر دو به توان الف صفر می‌باشد. بینهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند.
مفهوم فیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می‌گوییم که اگر جسم در کانون عد

سی محدب قرار گیرد، تصویر در بینهایت تشکیل می‌شود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل می‌شود. اما قطعا تصویر این دو دقیقا در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بینهایت برای این دو عدسی متفاوت است.
به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه ح

رارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.
اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات می‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم و می‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ‌تر است.
این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.
یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت در آن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه هاست. به عنوان مثال می‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و … بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست.
اصل موضوع اقلیدس: هر کل از هر جزء خود اکیدا بزرگ‌تر است.
اگرچه در دنیای طبیعی این اصل درست است، اما پس از ظهور مفهوم مجموعه مثال‌های نقضی برای آن پیدا شد. مثلاً واضح است که تعداد اعداد طبیعی با تعداد اعداد زوج طبیعی برابر است (کافی است هر عدد طبیعی را با دو برابرش متناظر کنیم)، در حالی که اعداد زوج طبیعی، جزءی از همه اعداد طبیعی هستند.
البته این نکته را نباید فراموش کرد که : مجموعه اعداد طبیعی یک کل می‌باشد که با کل اعداد زوج طبیعی مطابق است اما مفهوم اعداد طبیعی یک کلی

است که همواره بیشتر از مفهوم کلی اعداد زوج طبیعی است و منظور از بیشتر به لفظ دقیق تر پیشتر میباشد که در تصور مفهوم دوم یعنی اعداد زوج به مفهوم اول نیاز است و عکس این قضیه صحیح نیست . در جمع بندی باید گفت : مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه هر عددی حتی یک برابر است زیرا با فرمولی که با هر متغیر ورودی تغییر می‌کند همواره به عدد ثابتی خواهیم رسید که مثلا میتوان گفت : مجموع اعدا طبیعی به ازائ هر ع

دد خود یک عدد یک دارد. والبته بودن یانبودن مصداق برای مفاهیم عام با فلسفه محض است و نه با ریاضیات چنانکه بودن یا نبودن عدد و مقدار با فلسفه است و نه با ریاضی .
اشتباه بودن اصل موضوع اقلیدس در زمینه ریاضیات مورد بحث بود، تا این که ریچارد ددکیند تعریفی از مفهوم بینهایت ارائه داد. ددکیند هر چیزی را که اصل موضوع اقلیدس برای آن صادق نباشد، بینهایت نامید. پس طبق تعریف ددکیند، بینهایت هر چیزی است که با جزئی از خود هم‌اندازه باشد.
این، شاید اولین تعریف از بینهایت در زمینه نظریه مجموعه باشد. ددکیند مجموعه‌ای را که بینهایت عضو داشته باشد، نامتناهی نامید. پس طبق این تعریف، یک مجموعه را نامتناهی گوییم هرگاه با یک زیرمجموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد. مجموعه متناهی، مجموعه‌ایست که نامتناهی نباشد.
در اواخر قرن نوزده، جرج کانتور به‌طور رسمی نظریه مجموعه را ارائه داد. براساس نظریه کانتور، مجموعه A را k عضوی گوییم ( ) هرگاه یک تناظر یک به یک بین A و مجموعه وجود داشته باشد. مجموعه متناهی مجموعه‌ایست که یا تهی باشد و یا (به ازای یک ،) k عضوی باشد. و بالاخره مجموعه نامتناهی مجموعه‌ایست که متناهی نباشد.
به عبارت دیگر، طبق تعریف کانتور، بینهایت هر چیزی است که نتوان آن را شمرد.
نکته قابل توجه این است که تعریف‌های ددکیند و کانتور از مفهوم بینهایت با هم معادل‌اند؛ به عبارت دیگر، می‌توان نشان داد که یک مجموعه نامتناهی است اگر و تنها اگر با یک زیرمجمموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد.

 

منابع :
۱ – daneshnamehroshd.ir
2 – vikipedia.ir

 

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 9700 تومان در 26 صفحه
97,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد