دانلود مقاله خواص اعداد

بخشی از مقاله

خواص اعداد
كوچكترين عدد اولی است كه به شكلp^2+pq+p نوشته می‌شود.

اگراز كوچه پس كوچه‌های قديمی شهرآنجايی كه هنوز رگه‌هايی از خانه‌های قديمی كاهگلی يافت می‌شود گذر كنيم هنوز هم پلاكهای خانه‌هايی را می توان ديد كهروی آن 1+12 به جای سيزده نوشته شده است، علت آن را در اعتقادات مردم میتوان يافت تحت اين عنوان:
نحس بودن 13!

آنچه در ادامه خواهيد خواند جادوی 13 است كه به نظر جالب می رسد!!

! ● 13 عدد اول است.
● 1-13^2 عدد اول مرسن است.
13جسم ارشميدسی موجود است. (اجسام ارشميدسی اجسامی هستند كه وجوه آنها چند ضلعیبوده، نه لزوما از يك نوع ، و كنجهای آنها مساوی هستند.)

عدد13كوچكترينEmirp است. (Emirp عدد اولی است كه اگر ارقام آن را معكوس كنيممجددا عددی اول خواهد بود مثلا اعداد 13، 17،31، 37،.....)

●169=2^13 بامعكوس كردن ارقام آن داريم: 961="2^31 يعنی رقم های آن مجددا معكوس می شود."

●2^13، 1+!12 را عاد مي‌كند
.

● 13عددHappy است.(برای دانستن اين كه عددیHappy است، مجموع مربعات رقمهايعدد را پيدا كرده و دوباره مجموع مربعات عدد بدست آمده را حساب می‌كنيم باادامه اين روند اگر به عدد 1 دست پيدا كرديم آنگاه به آن عددHappy گفتهمی‌شود. مثلا برای عدد سيزده 10="2^3+2^1 و 1=2^0+2^1 بنابراين13" عددHappyاست.)

● 13نيمی از 3^3+ 3^1- است. ●شاخه زيتونی كه در پشت دلارهای آمريكا كشيده شده است 13 برگ دارد.

●2^13عدد!(1 -13)+ 1را عاد می‌كند بنابراين يك عدد اول ويلسون(Wilson Prime) است. ( هر عدد اولp كه،p وp^2، مقدارp-1)!+1 ) را عاد كنند، عدد اول ويلسونناميده می‌شود. مثلا عدد 5 عدد ويلسون است. تنها اعداد شناخته شده 5 و 13و563 است.)

●چرتكه چينی دارای سيزده ستون مهره‌ برای محاسبات است.

● 13بزرگترين عدد اولی است كه می تواند به دو عدد متوالی به صورتn^2+3 افراز می شود.(آيا می توانيد اثبات کنيد؟)

● 1+13- 13^13 عدد اول است.

● نخستين حفره‌ی اول با طول سيزده بين دو عدد 113و 127اتفاق می‌افتد. (منظوراز حفره‌ی اول تعداد اعداد مركب بين دوعدد اول متوالی است.)

● 13 كوچكترين عدد اول جايگشت‌پذير(Permutable Number) است. ( اين اعداد،اعداد اولی حداقل با دو رقم مجزا هستند كه با تجديد آرايش در رقم هايشانهمچنان عددی اول باقی می مانند مثلا برای عدد 337 ، 733 و 373 و 337 عدداول است از ديگر اعداد از اين قسم می‌توان به 13,17,37,79, 113,119وجايگشتهای آن اشاره كرد.)

● هشت عدد اول ديگر می‌تواند به وسيله تغيير يك رقم از 13 توليد شود.{11, 17, 19, 23, 43, 53, 73, 83}

● نخستين بار پرچم امريكا 13 ستاره و 13 خط داشت كه نشان

دهنده تعداد مستعمرات اصلی اين كشور بود.

● عدد 13 كوچكترين عددی است كه ارقام آن در پايه چهار معكوس 13 است. ( 13 در پايه چهار 31 است.)

● رويه‌ی بيضوی روی اعداد گويا كه دارای نقطه‌ی گويا از مر

تبه‌ی 13 باشد موجود نيست.

● 2^13= 19+...+8+7

● عدد 2^13توسط مربعات مجزای اعداد 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 بيان می‌شود.

●طولانی ترين ركورد پرواز يك جوجه 13 ثانيه است.

سيزدهمينروز از فروردين شايد تنها بهانه‌ايی باشد برای گذر از ازدحام شهر و رفتنبه طبيعت، اما خوب می‌دانيم اينبار نيز از نحوست 13 فرار می كنيم.

اما 13 برای شما تنها ياآور نحسی آن است؟

●1312111098765432123 45678910111213عدد اول است.

● معكوس عدد 2^13 عددی اول است.

● ELEVEN + TWO = TWELVE + ONE(عبارت فوق تحريفی از حل معادله‌ی 13 است.)

●13كوچكترين عدد اولی است كه از مجموع مربعات دو عدد اول مجزا يعنی 2^3+2^2 بدست می آيد.

●اقليدس و ديافانتی هر كدام 13 كتاب نوشته‌اند.

●با به كار بردن نخستين سه عدد اول داريم : 13="5+3^2

●فيلم" 13 نوامبر" ، آلفرد هيچكاك هيچگاه به پايان نرسي.

●مجموع نخستين 13عداد اول برابر 13 امين عدد اول است.

●رساله 13 جلدیAlmagestبزرگترين كار بطلميوس بود. قضيه‌ی رياضی را با توجه به حركتهای ماه ،خورشيد و سياره ها را فراهم ساخت.

● مجموع باقی مانده های حاصل از تقسيم عدد 13 برنخستين اعداد اول تا 13 برابر 13 است.

● 13كوچكترين عدد اولی است كه مجموع ارقام آن مربع است.

●13كوچكترين عدد اولی است كه به شكلp^2+4( كهp اول است) نوشته می شود.

● اويلر 13 فرزند داشت كه 5 فرزند او به سن نوجوانی رسيده و تنها 3 نفر باقی ماندند.

●مجموع توانهای چهارم نخستين 13عدد اول به علاوه‌ی عدد يك ، عددی اول(6870733) است.

● 13 كوچكترين عدد اولSextanاست اين عدد برابر است با:
(p = (x^6+y^6)/(x^ 2+ y^2

● اگر برای عدد اولpداشته باشيم-1)!="-1 " mod p^2 ) آن عدد، عدد ويلسون است. ( تنها اعداد شناخته شده 5 ،13 و 563 است.)
● (13+1)13-13^ (13+1) عددی اول است.

● بد يمن بودن روز جممعه ايی كه 13امين روز ماه

باشد يكی از خرافات رايج در جوامع است.

●13كوچكترين عدد اولی است كه به صورت مجموع مجزا از اعداد اول به شكل 4n+3نيست.

●به طور طعنه آميز گفته می شود كه : 13 ، 15

امين عدد خوشبختی است.

●13بزرگترين عدد اول فیبوناچی است كه(13)Fاول است.

13 از متصل شدن دو عدد نخست مثلثی ساخته می‌شود.( 1, 1+2, 1+2+3 ... اعداد مثلثی هستند.)

● مجموع نخستين 13 عدد اول 238كه مجموع ارقامش 13 است

● .به طور طبيعی هر سال 12 ماه دارد اما در حقيقت 13 ماه داريم تعجب نكنيد ماه آسمان را فراموش كرديد با دوازده ماه سال 13 می شود.

● 13="2^3+1^3+0^3

● كوچكترين عدد اولی است كه به صورت مجموع دو عدد اول ( 2+11) نمايش دادهمی‌شود و همچنين كوچترين عدد اولی است كه به صورت مجموع دو عدد مركب (4+9) نوشته می‌شود.

● 13بزرگترين عدد اول مينيمال در پای 3 است.

● 13/13333333333333 عدد اول است. (توجه كنيد كه تعداد ارقام 3 بعد 1 ، 13 عدد است.)

● 13="3+7+3(توجه" كنيد كه3^13="(7+3)+7^3)

●0^10+2^10+3^ 10+5^10+7^ 10+11^10+ 13^10عدد" اول است كه بزرگترين عدد اول ناتيتانيك(Titanic Number) است. ( NumberTitanicاعداد اولی هستند كه تعدادارقام آن بيشتر از 1000 است.)

● 13-13^2عدد اول است.

●13+13+13/13+ 13*13+!13+ 13^13 و13+13+13/13+ 13*13+13^ 13 دو عدد پانزده رقمی اول هستند.

● 13جوابی برای معادله‌ی ديوفانتوسی(Diophantine Equation) z^2="x^3

-y^3" است. يعنی؛ 3^7-3^8="2^13

●13/(13+13+13+ 13+13+13+ 13+131313+ 13^13) عددی اول است كه شامل 13بار تركيباتی از عدد 13 است مثلا 131313سه بار 13 در آن آمده است.

●ماموريت قمر" آپولو 13" در مسير ماه بی نتيجه ماند علت انفجار در قسمتی ازسفينه بود . نكته جالب اين است كه اين قمر در ساعت 13:13 پرتاب شده بود واين اتفاق در 13 اوريل شكل گرفت. ( احتمالا روز جمعه!!!!!!!!)

● 13امين عدد اول مرسن عدد 1-521^2 و 13امين عدد لوكاس(Lucas Number) عدد521است.)اعداد لوكاس اعدادی هستند كه به نام رياضيدان فرانسویEdouardLucasنامگذاری شده اند و در دنباله 1 و3و4و7 و11و.... قرار دارنداين دنباله به صورت ذيل ساخته می شود كه جمله اول 1 و دومين جمله 3 جملههای بعدی از مجموع دو جمله قبلی ساخته می شود مثلا جمله سوم مجموع جملهاول با دوم يعني 1+3 است.

● (13="(!3*!1)+(!3+ !1)13" و 31تنها اعداد مرسنEmirp شناخته شده هستد.

● 13كوچكترين عدد اولی است كه به شكلp^2+pq+p نوشته می‌شود.

●معكوس ((1+13^13)^13) يك عددBrilliantاست. ( به اعدادیBrilliantگويند كه دو فاكتور اول با طول يكسان دارند

الف) مقدمه:
عدد هفت عددی است كه شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه كند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود كه خواص عدد هفت را

بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از كنار آن ها رد می شویم مثلا شاید جالب باشد كه بدانیم، رنگین كمان دارای هفت رنگ است .عجایب جهان، هفت تا هستند.(كه به عجایب هفت گانه معروفند ) یا در یونان باستان، اسطوره ای با نام هفت خدای، در ذهن مردم نقش بسته است، ویا شهر عشق، كه دراشعار عطار آمده است، هفت شهر می باشد، سوره ی مباركه حمد، كه اوّلین سوره ی قرآن كریم است، هفت آیه دارد. آسمان دارای هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر كدام دارای هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسیقی ایران و یونان هفت دستگاه داد، هفت نوع ساز بادی وجود دارد و علاوه بر این هفت نت موسیقی وجود

دارد(دو، ر، می، فا، سل، لا، سی) و…
ب) تاریخچه:
در سال ۱۸۸۹ میلادی كتابی ار یك جهان گرد منتشر شد كه، از جمله روش شمردن را در میان قبیله ای از تورس شرح داده است. اینها برای شمردن تنها از دو واژه استفاده می كردند: یك و دو. برای عدد سه می گفتند «دو و یك » برای چهار «دو و دو»، برای پنج «دو و دو یك » و برای شش «دو و دو و دو» ولی برای عددهای بزرگ تر از ۶، هر قدر بود، می گفتند «خیلی ».
گرچه این آگاهی مربوط به پایان سده ی نوزدهم است ولی می تواند گواهی بر شیوه ی شمردن در آغاز شكل گیری مفهوم عدد در میان انسان های نخستین باشد. بعد ها كه برای عددهای بزرگتر هم نامی در نظر گرفتند به احتمالی برای عدد «هفت» از همان واژه ی قبلی «خیلی» یا «بسیار» استفاده كردند. عدد هفت كه سده های متوالی برای آنها نا شناخته بود، اندك اندك به صورت عددی مقدس در آمد.
وقتی كه مصری ها، بابلی ها و دیگر امت ها توانستند پنج سیاره ی نزدیك تر به خورشید را بشناسند، با اضافه كردن ماه و خورشید، به عدد هفت رسیدند و این بر تقدس عدد ۷ افزود وقتی در قصه های كهن تر، كه تا زمان ما هم ادامه پیدا كرده است، صحبت از شهری می شود كه هفت برج و هفت بارو داشت، به معنای آن است كه این شهر برج و باروهای بسیار داشت. هفت آسمان و هفت دریا و هفت كشور، به معنای آسمان ها و كشور ها و دریاهای بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دریا (نه كم و نه زیاد ). هنوز در زبان فارسی اندرز می دهند « هفت بار گز كن یك بار پارچه كن ». این جمله به معنای آن نیست كه برای دقت كار و كم كردن اشتباه در اندازه گیری یا هر كار دیگری باید درست ۷ بار آزمایش كرد، نه شش یا هشت بار. در اینجا هم هفت به معنی «بسیار» است. عدد۱۳ هم چنین سرنوشتی دارد….
پ) هفت و…
نزد بسیاری از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ویژه ای بود. در فلسفه و نجوم مصریان و بابلی ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگی، سه و چهار، جایگاه ویژه ای داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ یعنی سه انسان، پایه و اساس زندگی هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)

ایرانیان قدیم در آیین زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاكی میدانستند و برای او هفت صفت را بر می شمردند و در مقابل او اهریمن را پدید آورنده ی پلیدیها می دانستند و می گفتند در پیرامون اهورامزدا فرشتگانی هستند كه مظاهر صفات حسنه هستند و برای احترام به آن ها كه اول هركدامشان سین بود هنگام سال تحویل سفره می گستراندند و هفت قسم خوراكی كه نام هریك با سین شروع می شود: سیر، سركه

، سیب، سماق، سمنو، سنجد، سكه، و سبزی را سر سفره می گذاردند كه به سفره ی هفت سین معروف بود.
برای فیلسوف و ریاضیدان یونانی«فیثاغورث» نیز عدد هفت، مفهموم ویژه ی خود را داشت كه از مجموع دو عدد سه و چهار تشكیل می شود: مثلث و مربع نزد ریاضیدانان عهد باستان اشكال هندسی كامل محسوب می شدند، از این رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار برای آن ها عدد مقدسی بود. علاوه بر این در یونان هر هفت سیاره را خدایی میدانستند : سلن، هیلیوس،آرس،هرمس، زئوس، آفرودیت و كرونوس.
یهودیان قدیم نیز برای عدد هفت معنای ویژه ای قایل بودند. در كتاب اول عهد عتیق (تورات) آمده است كه خداوند جهان را در شش روز خلق كرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسی در ده فرمان خود از پیروانش می خواهد كه این روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطیل یهودیان).
علاوه بر این در آن كتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و كامل نیز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد یهودیان و بعد ها نیز نزد مسیحیان كه عهد عتیق را قبول كردند، به عنوان عددی مقدس محسوب می شد.
به این ترتیب بود كه از دوران باستان هفتگانه های بیشماری تشكیل شدند: یونانیان باستان همه ساله هفت تن از بهترین هنرپیشگان نقش های سنگین و غمناك و نقش های طنز و كمدی را انتخاب میكردند. آن ها مانند رومی های باستان به هفت هنر احترام میگذاشتند. روم بر روی هفت تپه بنا شده بود. در تعلیمات كلیسای كاتولیك هفت گناه كبیره(غرور، آزمندی، بی عفتی، حسد، افراط، خشم و كاهلی) و هفت پیمان مقدس(غسل تعمید، تسلیم و تصدیق، تقدیس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانیون مسیحی) وجود دارد. برای پیروان محمد(ص) آخرین مكان

عروج، آسمان هفتم محسوب می شود.
در بیست و هفتم ژوئن هر سال، روز «هفت انسان خوابیده » مسیحیان یاد آن هفت برادری را كه در سال ۲۵۱ بعد از میلاد، برای عقیده و ایمان

خود، زنده زنده لای دیوار نهاده شده و شهید شدند، گرامی می دارند؛ مردم عامه می گویند كه اگر در این روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان باید هفت وسیله ی مورد نیازش را بسته بندی كند و با چكمه های هفت فرسخی خود به آن دورها سفر كند. صور فلكی خوشه ی پروین یا ثریا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالی كه حتی با چشم های غیر مسلح میتوان در این صورت فلكی تا یازده ستاره را دید.
عرفای بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادی نشان داده اند و فاصله ی بین هستی و تباهی را پنچ مرحله دانسته اند.
در افسانه ها نیز با هفت سحر آمیز برخورد می كنیم: سوار ریش آبی هفت همسر داشت، سفید برفی با هفت كوتوله پشت هفت كوه زندگی می گرد و افسانه ی اژدهای هفت سر…
علاوه بر این می توان به هقت اقلیم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پیكر، هفت هیكل، هفت گناه كبیره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت ركن نماز،هفت تحلیل و هفت طواف (در اعمال حج)، هفت قبله(مكه، مدینه،نجف،كربلا،كاظمین،سامرا،مشهد) و… اشاره كرد و به این ترتیب بود كه تعداد بیشماری هفتگانه در دنیا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصی بخشید.
همه رسولان و پیغمبران خداباچنانمعجزاتی همایت شده اندکه ثابت می کندازسوی خداآمده اند. وهیچ انسانی نمی تواندهمانندآن معجزات راآشکارسازد. موسی چوب دستی راانداخت وبه خواست خدابه مارتبدیل شد. آخرین رسول(پیامبر)خداباچنان معجزاتی همایت نشده بود معجزه او قرآن بود

چنانچه مردم ازاومی خواهندمعجزه ای نشان ده

د، خدابه محمدمی گوید(بهآنهابگوآینده ازآن خداست پس منتظرباشیدمن هم باشمامنتظرمی شوم) درسوره مدثروآیه 30ازقرآن می خوانیم "برروی قرآن عدد19راقراردهد" خدامی گویدهمه قرآن برعدد19قابلتقسیم است و19مخرج مشترک سراسرسیستم قرآن است. دلیل آن رادرآیه31می خوانیم. ما،فرشتگان رانگهبانان جهنم قراردادیم وشماره شان را19تعیین کردیم.

1-تاکافرانرامضطرب سازیم. 2-تامسیحیان ویهودیا

ن رامتقاعدسازیم. 3-تاایمان مؤمنان را محکمترکنیم. اکنون برای اولین باردرتاریخ علم داریم بامعجزه هیبت انگیزریاضی که به صورترازازمحافظت الهی برخورداربوده است، واین معجزه عظیم راخدادرقرآن درسوره مدثر،آیه35اعلام کرده است.

کدریاضی قرآن ازبسیارساده تابسیارمشکل تغییرمی کند.

1-اولین آیه(آیه1:سوره1)"بسم الله الرحمن الرحیم" شامل 19حرف است.

2-هریک ازکلمات بسم الله درهمه قرآن به تعدادی تکرارشده است که همگیمضرب19دارند.

اسم19مرتبه تکرارشده، رحمن57(3*19)مرتبه، رحیم114مرتبه(6*19)

3-قرآن دارای114سوره 6*19

4-مجموع ایات قرآن6346است که میشود19*334. 334آیه شماره گذاری شده و12آیه(بسم الله)شماره گذاری نشده است که میشود112+6234توجه کنیدکه4+6+3+6می شود19.

5-بسم الله114مرتبه تکرارشده است. باوجودغیبت آن درسوره توبه در(سوره نمل دوبارتکرارشده پس دوبارمی شود114=19*6

6- ازغیب بسم الله درسوره توبه تابسم الله اضافی درسوره نمل دقیقاً19سورهمی باشد.

7- مجموع شماره سوره ها ازتوبه تانمل(27+26+...+12+11+10+9) 342یا18*19

8- این مجموع342همچنین مساوی است بامجموع کلمات بین دوبسم اللهسوره نمل وسوره توبه342=19*18

9- اولین آیات معروفی که وحی شد"سوره علقآیه1تا5"شامل19 کلمه است.

10- این اولین وحی19کلمه دارای76حرف است19*4

11- سوره علق ازنظرترتیب زمانی ازاخرقرآن نوزدهمین

است.

12- مجموع29سوره ای که(پارافهای قرآنی)(حروف مقطعه)درآنهاآمده است می شود:

822=68+50+7+3و 822+14 (14 مجموعه حروفهای مقطعه می شود836=19*44)

قرآن پدیده خاص وبی نظیری داردکه هرگزدرکتاب دیگری یافت نمی شود

درواقع این معجزه عظیم همه دانشمندان وعلماوریاضیدانان رابه مبارزهمی طلبدتافقط یک سوره مانندقرآن نشان دهند.

اعداد حسابی
اعداد حسابی اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است. به عبارت دیگر به مجموعه‌ی اعداد زیر ،‌ اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش می‌دهند: { ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = Z درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است. این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی‌های اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد. صحیح همانند اعداد طبیعی

نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم

دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.

اعداد طبیعی
اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {... ,? ,? ,?} است.
در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.

در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.

اعداد اول

اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ? بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ? است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ? اول نباشد مرکب است.

عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ?? فقط ممکن است اعداد ?، ?، ?، ? باشد.

اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.

سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ?، ?، ?، ?، ??، ??، ??، ?? ...

قضیه ?: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.

برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات م

ی‌کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصل‌ضرب این اعداد به علاوه ? را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم‌علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.

قضیه ? (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ? را به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.

قضیه ? (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ? باشد، حتما" بین n و ?n عدد اولی وجود دارد. قضیه ? هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.

قضیه ? هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ?)

قضیه 6-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.

خواص اعداد اول:

1- هر عدد اول برابر است با 6n+1 یا 6n-1 که n یک عدد صحیح است.

2-مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1.

3-تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از 24 است.

4-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و3 مضربی از 6 بعلاوه یا منهای یک است.

توان چهارم هر عدد اول بجز 2و3 مضربی از 240 بعلاوه یک است.

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ? ???میلیون و ? ????هزار و ? ????منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر 2 به توان n منهای یک است.

لازم به ذکر است که تعداد 3000 عدد اول در سایت مگاسند

ر [url]www.megasender.org[/url] وجود دارد و افرادی که مایل به دریافت بیشتر این اعداد هستند می توانند با سایت مذکور تماس گرفته و تعداد بیشتری از آنها را بر روی لوح فشرده دریافت نمایند و طراحان این سایت خودشان این اعداد را محاسبه نموده اند

اعداد جبری

اعداد جبری در ریاضیات اعدادی هستند که جواب معادله‌ای به شکل زیر باشند:

anxn + an?1xn?1 + ••• + a1x + a0 = 0

ضریب‌های a0 تا an در این معادله چند جمله‌ای اعداد گویا هستند.

تمام اعداد گویا اعداد جبری هم هستند. بعضی از اعداد حقیقی عدد جبری نیستند. عددی که جبری نباشد عدد متعالی (یا غیرجبری) نامیده می‌شود.

اعداد حقیقی

میدان تمام اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با R نمایش می‌دهند. اعداد حقیقی را می‌توان با اضافه کردن عدد موهومی( ) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط مینامند.

اعداد صحیح

اعداد صحیح به مجموعه? اعداد طبیعی مثبت، اعداد طبیعی منفی، و عدد صفر گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعه? اعداد طبیعی، مجموعه? اعداد صحیح نیز یک مجموعه? شمارای نامتناهی‌ست.

شاخه‌ای‌ از ریاضیّات که به مطالعه? اعداد صحیح می‌پردازد، نظریه? اعداد نام دارد.

خواص جبری

همانند اعداد طبیعی، Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعه? اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Z تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما Z تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند

جمع ضرب
بسته بودن: a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض پذیری: a + b = b + a a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد: a + 0 = a a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس: a + (?a) = 0
توزیع پذیری: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه‌های صفر: اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0

مطابق بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.

در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعه? Z به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبتZ به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعه? اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.

مجموعه? ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعه? اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است

. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد

طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)

اعداد گویا

اعداد گویا1 حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را می‌توان به شکل a/b یا آ بیم نوشت (که a و b اعداد صحیح‌اند).

در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با Q نمایش می‌دهند. به عنوان مجموعه‌ای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعه? اعداد گویا، خود، زیرمجموعه‌ای‌ست چگال (dense) از مجموعه? بزرگ‌تر و عمومی‌تر اعداد حقیقی.

به عنوان یک اشتباه نسبتاً رائج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت رادیکال سه دوم کسر هست، ولی، گویا نیست.

اعداد مختلط

عدد مختلط عددی به فرم a + bi است که در آن a و b از اعداد حقیقی و i عدد موهومی برابر با ریشه? دوم عدد ?- است.

اعداد مختلط از کجا آمدند
همان طور که میدانید یک معادله درجه دو مثل

ax2 + bX + c = 0 در اعداد حقیقی وقتی که Delta = b2 ? 4avc مقداری منفی باشد گوئیم جواب ندارد.این یعنی اداد حقیقی شمول همه اعداد نیست پس اعداد مختط تعریف شدد. عدد مختلط a + bi را می‌توان به صورت (a,b) نوشت. برای اینکه مفهوم اعداد مختلط را نتوجه شوید ،ابتدا باید با اعداد مختلط آشنایی کامل داشت

ه باشید. عداد مختلط: می خواهیم معادله را حل کنیم.این معادله درمجموعه های دارای جواب نیست. برای اینکه هیچ عددی بتوان 2 و به علاوه 1 صفر نمیشود.همچنین اگرعددی به توان زوج برسد،غیرممکن است که علامت آن منفی شود.«با به پشت مساوی بردن معلوم معادله(1+) می بینیم که مجهول عددیست که به توان رسیده ومنفی شده که محال است».اما باید گفت که اعداد را با علامت دیگری غیر از+و- شان میدهیم؛ آن علامت شامل اعداد مختلط و متناهی می شود. در اعداد متناهی این قانون هست که عددی با بتوان زوج رسیدن منفی هم بشود.این اعداد رابا علامت نشان می دهند. برای یک عدد حقیقی( )عدد متناهی را به صورت زیر نشان میدهند: اعدادی راکه دارای علامت i هستند را موهومی می گوئیم. پس باتوجه به مطالب فوق دریافته ایدکه:جواب معادله درمجموعه ی اعداد متناهی دارای دو جواب است: i,+i- اعداد متناهی: به نظر شما اگر دلتای معادله ی درجه دومی منفی بودچطور می توان ریشه معادله موردنظر را پیداکرد؟ می خواهیم معادله ی را حل کنیم.
حل:

ازطرفی: ملاحظه می کنیم دو جوابی که بدست آمده اند بطورخالص نه حقیقی و نه موهومی به شمار می روند. لذاچنین اعدادی را در گروه اعداد مختلط ج

ای دارند. یک عدد مختلط به صورت زوج مرتب :z=(x,y)معرفی می شوند.x: مولفه حقیقی و y: مولفه موهومی نام دارد. اعداد مختلط را می توان بصورت روبرو نشان داد: z=x+iy مزدوج آنر بصورت روبرو نشان می دهیم: 85.133.173.228 ??:??, ?? ژوئیه ???? (UTC) هرگاه مولفه های دو عدد مختلط دو به دو برابر بود؛آنرا؛دو عدد مختلط برابرنامیده می شود.

نکته:این اعداد همچون سایر مجموعه اعداد دارای خواصص

توزیع پذیری،شرکت پذیری و جابجایی نیز هست.

میدان اعداد مختلط () میدان اعداد حقیقی () را به صورت زیر میدان، شامل می‌شود. درضمن z=(x,y) --->: x:مولفه حقیقی است و y:مولفه موهومی است.

اعداد مرکب

عدد مرکب عددی طبیعی بجز یک است که اول نباشد.
بینهایت مفهومی است که در رشته‌های مختلف ریاضیات (با تعبیرات مختلف) به‌کار می‌رود و معمولاً به معنای «فراتر از هر مقدار» است. معمولاً نشانه بینهایت در ریاضیات ∞ است.


نماد بینهایت در حالت های مختلف
بی نهایت از واژه لاتین finites به معنی محدود گرفته شده ( علامت ) چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.
در آنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدی بیکران است. یعنی متغیر فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.
در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشته یعنی قدر متغیر مختلط (که آن را با نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.
در نظریه مجموعه‌ها مفهوم بینهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با نمایش می‌دهند و می‌خوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به‌نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می‌دهد، که «بینهایت» است. جالب است که بدانید که عدد اصلی مجموعه‌های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف می‌خوانند. خوب است بدانید که الف برابر دو به توان الف صفر می‌باشد. بینهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند.
مفهوم فیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می‌گوییم که اگر جسم در کانون عد

سی محدب قرار گیرد، تصویر در بینهایت تشکیل می‌شود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل می‌شود. اما قطعا تصویر این دو دقیقا در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بینهایت برای این دو عدسی متفاوت است.
به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه ح

رارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.
اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات می‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم و می‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ‌تر است.
این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.
یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت در آن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه هاست. به عنوان مثال می‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و ... بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست.
اصل موضوع اقلیدس: هر کل از هر جزء خود اکیدا بزرگ‌تر است.
اگرچه در دنیای طبیعی این اصل درست است، اما پس از ظهور مفهوم مجموعه مثال‌های نقضی برای آن پیدا شد. مثلاً واضح است که تعداد اعداد طبیعی با تعداد اعداد زوج طبیعی برابر است (کافی است هر عدد طبیعی را با دو برابرش متناظر کنیم)، در حالی که اعداد زوج طبیعی، جزءی از همه اعداد طبیعی هستند.
البته این نکته را نباید فراموش کرد که : مجموعه اعداد طبیعی یک کل می‌باشد که با کل اعداد زوج طبیعی مطابق است اما مفهوم اعداد طبیعی یک کلی

است که همواره بیشتر از مفهوم کلی اعداد زوج طبیعی است و منظور از بیشتر به لفظ دقیق تر پیشتر میباشد که در تصور مفهوم دوم یعنی اعداد زوج به مفهوم اول نیاز است و عکس این قضیه صحیح نیست . در جمع بندی باید گفت : مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه هر عددی حتی یک برابر است زیرا با فرمولی که با هر متغیر ورودی تغییر می‌کند همواره به عدد ثابتی خواهیم رسید که مثلا میتوان گفت : مجموع اعدا طبیعی به ازائ هر ع

دد خود یک عدد یک دارد. والبته بودن یانبودن مصداق برای مفاهیم عام با فلسفه محض است و نه با ریاضیات چنانکه بودن یا نبودن عدد و مقدار با فلسفه است و نه با ریاضی .
اشتباه بودن اصل موضوع اقلیدس در زمینه ریاضیات مورد بحث بود، تا این که ریچارد ددکیند تعریفی از مفهوم بینهایت ارائه داد. ددکیند هر چیزی را که اصل موضوع اقلیدس برای آن صادق نباشد، بینهایت نامید. پس طبق تعریف ددکیند، بینهایت هر چیزی است که با جزئی از خود هم‌اندازه باشد.
این، شاید اولین تعریف از بینهایت در زمینه نظریه مجموعه باشد. ددکیند مجموعه‌ای را که بینهایت عضو داشته باشد، نامتناهی نامید. پس طبق این تعریف، یک مجموعه را نامتناهی گوییم هرگاه با یک زیرمجموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد. مجموعه متناهی، مجموعه‌ایست که نامتناهی نباشد.
در اواخر قرن نوزده، جرج کانتور به‌طور رسمی نظریه مجموعه را ارائه داد. براساس نظریه کانتور، مجموعه A را k عضوی گوییم ( ) هرگاه یک تناظر یک به یک بین A و مجموعه وجود داشته باشد. مجموعه متناهی مجموعه‌ایست که یا تهی باشد و یا (به ازای یک ،) k عضوی باشد. و بالاخره مجموعه نامتناهی مجموعه‌ایست که متناهی نباشد.
به عبارت دیگر، طبق تعریف کانتور، بینهایت هر چیزی است که نتوان آن را شمرد.
نکته قابل توجه این است که تعریف‌های ددکیند و کانتور از مفهوم بینهایت با هم معادل‌اند؛ به عبارت دیگر، می‌توان نشان داد که یک مجموعه نامتناهی است اگر و تنها اگر با یک زیرمجمموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد.

منابع :
1 – daneshnamehroshd.ir
2 – vikipedia.ir