بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
یک کران برای اعداد شرطی ماتریسها
چکیده
فرض کنید ماتریسی قطریپذیر باشد؛ بنابراین ماتریس وارونپذیر و ماتریس نرمال وجود دارند، به طوری که عدد شرطی ماتریس که بیشتر به صورت عددی محاسبه میشود از اهمیت زیادی در تجزیه و تحلیل بعضی مسائل کاربردی شاخههای مختلف علوم ریاضی و مهندسی، مانند آنالیز عددی، روشهای عددی در جبر خطی، محاسبات عددی و غیره، برخوردار است. در این مقاله ابتدا یک کران برای عدد شرطی ماتریس ارائه میشود.. هم چنین برخی از کاربردهای کران بدست آمده را برای آشفتگیهای طیفی و توابع ماتریسی بیان میکنیم. در نهایت آن را در قالب مثالی بررسی میکنیم.
-1 مقدمه
فرض کنید ماتریس همانی و فضای اقلیدسی مختلط بعدی با ضرب داخلی و نرم اقلیدسی باشد. برای ماتریس نرم طیفی، ماتریس الحاقی و نرم فروبنیوس را نشان میدهد. فرض کنید مقادیر ویژه ی بوده و بردارهای ویژهی متناظر مستقل خطی باشند، در این صورت ماتریس وارونپذیر و ماتریس نرمال وجود دارند، به طوری که
-2 یک کران برای عدد شرطی ماتریس
فرض کنید مقادیر ویژهی ماتریس در روابط
صدق کنند. در این صورت قطری پذیر است کمیت
نقش اساسی را در ادامه ایفا میکند. چون
به راحتی نتیجه میشود که ( ) در رابطهی
صدق میکند. برای بدست آوردن خصوصیت دیگر قضیهی زیر را بیان میکنیم
قضیه .1.2 برای هر عملگر خطی
که ها مقادیر ویژهی با احتساب مرتبهی تکرار هستند و
قضیهی فوق نتیجه میدهد که در رابطهی
صدق میکند.
مقادیر ویژهی متمایز و مرتبهی تکرار جبری را با نشان میدهیم. به ویژه می توان نوشت
فرض کنید
قرار دهید
که در آن .
لم .2.2 فرض کنید
که در آن در این صورت نامساوی
برقرار است.
فرض کنید پایهی یکا متعامد استاندارد باشد. فرض کنید یک دنباله از بردارهای ویژهی دنبالهای از بردارها باشد، به طوری که
فرض کنید یک ماتریس قطریپذیر × باشد. در این صورت عملگر
دارای عملگر معکوس تعریف شده به صورت
است و رابطهی (1) برقرار میباشد
لم زیر یک کران برای عدد شرطی ماتریس بر حسب نرم بیان میکند.
لم .3.2 فرض کنید به وسیلهی رابطهی (4) تعریف شود. در این صورت
و بنابراین،
با توجه به لمهای 2.2 و 3.2، یک کران برای عدد شرطی ماتریس T به صورت
بدست میآید.
قرار دهید
در این صورت تحت شرط با نامساوی نامساوی
معادل میشود.
این نامساوی برای ماتریس های نرمال دقیق نیست؛ زیرا اگر یک ماتریس نرمال باشد، آنگاه و نامساوی (6) کران را می دهد، در صورتی که میدانیم برای ماتریسهای نرمال لذا کران جدیدی برای عدد شرطی ماتریس ارائه میشود که مشکل فوق را ندارد.
فرض کنید پایهی یکا متعامد (پایهی شور) ماتریس باشد و هم چنین فرض کنید ماتریس زنچیرهای از تصاویر پایای داشته باشد، یعنی
قرار دهید
فرض میشود که طیف در شرط
صدق کند.
لم.4.2 تساوی
برقرار است.
چون یک ماتریس بلوکی مثلثی است، طبق لم 4.2، داریم
بنابراین طبق
تحت این شرط، معادلهی
یک جواب منحصر بفرد دارد
لم.5.2 فرض کنید شرط (8) برقرار باشد و یک جواب برای معادلهی (9) باشد. در این صورت
قرار دهید
