بخشی از مقاله
چکیده:
حل عددی مسائل مقدار مرزی مرتبهی دوم اختلال نامنظم، معادلات غیر خطی و معادلات دیفرانسیلی معمولی به عنوان یک حوزهی تحقیق مطرح می باشد. هدف اصلی در تحقیق حاضر، حل معادلهی اختلال نامنظم حاکم بر جریان کوئت همراه با مکش یکنواخت عمودی می باشد. با توجه به اینکه پارامتر اختلال مقدار بسیار کوچکی است و در بالاترین مرتبهی مشتق معادله ضرب میشود، وقتی این پارامتر به سمت صفر میل میکند، معادله یک مرتبه کاهش مییابد. برای حل این مشکل، یک روش عددی بر مبنای یک انحراف کوچک و نیز یک برازش نمایی ارائه شده است. مقایسهی نتایج حل عددی و نتایج حل دقیق، دقت بالای روش عددی را نشان میدهد. روش عددی پیشنهادی در مقادیر بزرگ پارامتر اختلال نیز با دقت بسیار خوبی جوابگوی مسئله میباشد. دو ناحیه در حوزهی حل جریان قابل تشخیص است، یکی ناحیهی خارجی با تغییرات کم سرعت و دیگری ناحیهی لایه مرزی با تغییرات شدید سرعت. به دلیل اصطکاک زیاد بین لایههای سیال در نزدیکی دیواره ساکن پایینی، مقدار تنش برشی زیاد می باشد. امّا با حرکت به سمت دیوارهی متحرک بالایی، به دلیل حرکت لایههای سیال و کاهش اصطکاک بین آنها، تنش برشی کاهش یافته تا در نهایت به مقدار صفر بر روی دیوارهی بالایی میرسد.
واژگان کلیدی: مسائل اختلال نامنظم، لایه مرزی، انحراف آرگومان، برازش نمایی، جریان کوئت
مقدمه
فرآیندهای فیزیکی متنوعی وجود دارند که در آنها ممکن است برای یک محدودهی معین از پارامتری مشخص، یک لایه مرزی در حوزهی حل رشد کند. این نوع مسائل، عموما مسائل اختلال نامنظم و این پارامتر، پارامتر اختلال نامیده میشود. مسائل اختلال نامنظم که شامل یک پارامتر کوچک و مثبت ε هستند، در زمینههای زیادی از قبیل مکانیک سیالات، سنتیک شیمیایی، الاستیسیته،آیرودینامیک، دینامیک پلاسما و دیگر حوزههای حرکت سیال دیده میشوند. یکی از این مسائل که در حوزهی مکانیک سیالات جای میگیرد، جریان کوئت همراه با مکش یکنواخت عمودی است. همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است، این جریان از حرکت یک صفحه افقی با سرعت ثابت ایجاد میشود. یک مکش یکنواخت در جهت عمود بر جریان اصلی و به سمت پایین نیز وجود دارد. پس از سادهسازی معادلات حاکم بر جریان سیال، بر حسب اینکه میزان مکش کم باشد یا زیاد، مسئله از نوع اختلال منظم یا نامنظم است.
در این تحقیق، هدف ما مطالعهی مسئلهی جریان کوئت با مکش زیاد، یعنی یک مسئلهی اختلال نامنظم است. در سالهای اخیر مقالات و کتابهای متنوعی منتشر شده است که روشهای مختلفی را برای حل مسائل اختلال نامنظم بیان کردهاند. در این بین میتوان به بندر و اورزاگ [1]، دولان و میلر [2]، همکر [3]، میلر 5]،[4، کورکیان و کول [6] و نایفه [7] اشاره کرد. این نکته مشخص است که حل این مسائل، وقتی که ε خیلی کوچک باشد، شامل یک لایهی مرزی یا لایهی داخلی با شیب تند است. از دیدگاه عددی، حضور پارامتر اختلال باعث ایجاد مشکلاتی در حل و همگرایی میشود که این به دلیل حضور همین لایهی مرزی در این گونه مسائل است .[8]
سامارسکی [9] نشان داد که حتی وقتی فقط حل تقریبی مورد نظر است، طرحهای تفاضل محدود و روشهای المان محدود نتایج رضایت بخشی را ارائه نمیکنند. در روشهای سنتی، با ریز کردن زیاد شبکه نیز نمیتوان به نتایج مناسبی دست یافت 11]،.[10 فوی اردگان [ 12] یک طرح انفصال برازش نمایی برای مسئلهی مقدار اولیهی معادلهی دیفرانسیلی تاخیری مرتبهی اول خطی ارائه کرده است. ناتسن و باوا [13] یک طرح عددی مرکب روی یک مش بندی شامل طرح اسپی لاین مکعب در ناحیهی لایه مرزی و یک طرح تفاضل محدود معمولی در نواحی منظم، برای حل مسائل اختلال نامنظم ارائه کردند.
راموس [14] روشهای برازش نمایی را روی مشهای لایهی تطبیقی، بر اساس ثابت کردن ضرایب معادلهی دیفرانسیلی و انتگرال گیری از نتایج مربوط به شرایط پیوستگی و همواری در گرهها ارائه کرده است. رائو و کومار [15] روش مجموعهی B اسپی لاین نمایی را برای مسئلهی لایه مرزی اختلال نامنظم خودالحاقی ارائه کردند و نشان دادند که این روش همگرایی یکنواخت مرتبهی دوم دارد. رشیدینیا و همکارانش [16] از اسپی لاین در متراکم سازی استفاده کردند تا روشهای عددی را برای مسئلهی مقدار مرزی دو نقطهای توسعه دهند. ردی و چاکراوارتی [17] یک روش انفصال محدود برازش نمایی برای حل مسائل مقدار مرزی دو نقطهای اختلال نامنظم ارائه کردند. آنها از تئوری اختلالات نامنظم، یک ضریب تناسب در یک طرح انفصال محدود سه قطری معرفی کردند.
در این تحقیق از یک روش برازش نمایی برای حل مسئلهی مقدار مرزی دو نقطهای اختلال نامنظم کوئت همراه با مکش یکنواخت عمودی، با یک لایه مرزی در یک انتها استفاده شده است. مسئلهی مقدار مرزی مرتبهی دوم اصلی با یک انحراف آرگومان کوچک به یک معادلهی دیفرانسیلی مرتبهی اول تبدیل میشود. این مسئله به طور مؤثری با استفاده از روش برازش نمایی و انفصال ثوابت درونی حل میشود و سپس نتایج حل عددی با نتایج حل دقیق مقایسه خواهند شد.
معادلات حاکم مسئلهی جریان کوئت همراه با مکش عمودی
جریان کوئت مسطح نشان داده شده در شکل 1 را در نظر بگیرید. صفحهی بالایی با سرعت U حرکت کرده و صفحهی پایینی ثابت است. فاصلهی بین صفحات d بوده و یک جریان مکش یکنواخت به سمت پایین و عمود بر جریان وجود دارد. سرعت مکش عمودی که از صفحهی بالایی وارد شده و از صفحه پایینی خارج میشود، برابر v′s است. معادلات حاکم بر این مسئله، معادلات پیوستگی و مومنتم هستند. جریان بصورت پایدار، تراکم ناپذیر و دو بعدی در نظر گرفته میشود. معادلهی مومنتم به شکل زیر است:
