بخشی از مقاله
بررسی و مقایسه روشهای حل تحلیلی معادله بولتزمن و DSMC برای تعیین پارامترهای آیرودینامیکی ماهواره در مدار LEO
چکیده
ماهوارهها در طی مأموریت خود از چند ماه تا چند سال. از محیط جو رقیق تأثیر میپذیرندتأث.این یر با توجه به سرعت زیاد ماهوارهها و عدد نادسن مربوط به مدارها، خصوصاﹰ مدارهای نزدیک به زمین (LEO)، بر اساس پارامترهای بالستیکی حائز اهمیت است. این اثر همان نیروی پسا است که باعث نزول ماهواره از مدار مأموریت خود و ایجاد اختلال در انجام مأموریت پیشبینی شده میگردد. در ارتفاعات بالا (حدوداﹰ بالاتر از ١٢٥ کیلومتر) به علت این که هر یک از مولکولهای گاز به عنوان ذرهای مجزا عمل میکنند، معادلات ناویراستوکس فاقد اعتبار بوده و از معادلات بولتزمن استفاده میشود. درجه رقیق بودن گاز با عدد بیبعد نادسن که نسبت فاصله آزاد مولکولی به یک بعد مشخصه میباشد، بیان میشود. بدین منظور در این مقاله با ساده نمودن شکل کلی یک ماهواره نوعی، نتیجه شبیهسازی و محاسبه نیروی پسا ی وارد به آن، از روش شبیه سازی مستقیم مونت کارلو (DSMC) و روش حل تحلیلی برای جریان بدون برخورد بررسی شده است.
واﮊه های کلیدی (نازنین ۱۱ پررنگ): روش DSMC، جریان بدون برخورد، معادلات بولتزمن.
مقدمه
یک فضاپیما در مسیر پرواز خود ممکن است رﮊیمهای جریان پیوسته، انتقالی و مولکولی آزاد را تجربه کند که محدوده هر یک از این رﮊیمها با توجه به ابعاد، ارتفاع پروازی و سرعت فضاپیما تعیین میگردد . در ارتفاعات بالا (حدوداﹰ بالاتر از ۵۲۱ کیلومتر) به علت این که هر یک از مولکولهای گاز به عنوان ذرهای مجزا عمل میکنند، معادلات ناویراستوکس فاقد اعتبار بوده و از معادلات بولتزمن استفاده میشود. درجه رقیق بودن گاز با عدد بیبعد نادسن که نسبت فاصله آزاد مولکولی به یک بعد مشخصه میباشد، بیان میشود:
که λ فاصله آزاد مولکولی و L یک بعد مشخصه میباشد. براي آن که بتوان از معادلات ناویراستوکس استفاده کرد، این عدد باید کوچکتر از 0/1 باشد و هنگامی که این عدد به 0/2 برسد باید از مدل مولکولی استفاده کرد، شکل .(1) اگر این عدد به صفر میل کند، معادلات اویلر حاصل میشوند و اگر این عدد به سمت بینهایت میل کند، رژیم جریان مولکول آزاد یا بدون برخورد را خواهیم داشت .[1] همانطور که براي معادله ناویراستوکس جواب تحلیلی وجود ندارد، معادله بولتزمن نیز در حالت کلی فاقد جواب تحلیلی است. اما در حالت تعادل و با فرض عدم وجود برخورد مولکولی، این معادله بر روي صفحه تخت و کره داراي حل تحلیلی است و در اشکال پیچیده براي محاسبه ضرایب آیرودینامیکی میتوان از تقسیم بدنه جسم به المانهاي مسطح و جمع نیروهاي آیرودینامیکی اعمالی وارد بر این المانها، استفاده کرد. اما در حالت کلی ، ماهیت احتمالی معادله بولتزمن باعث میشود که حتی حل عددي آن نیز از پیچیدگیهاي بسیاري برخوردار باشد. یکی از روشهایی که کاربرد وسیعی پیدا کرد، روش شبیه سازي مستقیم مونت کارلو (DSMC) است که براي اولین بار سالبرد((Bird در 1976 ارائه کرد .[1] در این روش به جاي آن که معادله بولتزمن حل شود، این معادله شبیهسازي میشود. به این صورت که یک دسته مولکول در میدان کاشته می-شوند، سپس سرعتی متناظر با سرعت مولکولهاي گاز واقعی به آنها اختصاص داده میشود. سپس این مولکولها با یکدیگر و با سطح جسم برخورد کرده، پس از گذشت زمان کافی توزیع نهایی مولکولها در داخل میدان به دست می اید . این روش فیزیک حاکم بر حرکت مولکول-ها همان فیزیک در نظر گرفته شده براي به دست آوردن معادله بولتزمن است. لذا این روش یک روش فیزیک و آمار محور است نه یک روش ریاضی محور. نکته مهم در این روش، محاسبات برخورد میباشد. در این تحقیق به بررسی دو روش حل معادله بولتزمن براي یک جسم متقارن محوري میپردازیم.
تئوري
جریان گاز را در هر دو سطح ماکروسکوپی و میکروسکوپی میتوان مدل کرد. در سطح ماکروسکوپی گاز یک محیط پیوسته میباشد که با ترمهای مکانی و خواص جریان مانند سرعت، چگالی و دما توصیف میشود. معادلات ناویر استوکس مدل ریاض ی متداول برای بیان یک گاز بهعنوان یک محیط پیوسته میباشند. در این معادلات، زمان و مختصات مکانی متغیرهای مستقل و خواص ماکروسکوپی متغیرهای وابسته میباشند. مدل مولکولی یا میکروسکوپی ساختار گاز را بهصورت بیشمار مولکول جدا از هم در نظر میگیرد و در حالت ایدهال اطلاعاتی مانند سرعت و موقعیت را برای هر مولکول در همه زمانها فراهم میکند. مدل ریا ضی در این سطح، معادله بولتزمن میباشد. خواص ماکروسکوپی با متوسطگیری از کمیتهای مولکولی در هر موقعیت از جریان بهدست میآیند. بنابراین باید تعداد کافی مولکول در کوچکترین حجم معنیدار وجود داشته باشد در این صورت نتایج حاصل از مدل مولکولی همان خواص جریان پیوسته ب.ده که کمیتهای اصلی در مدل مولکولی، تعداد مولکولها در واحد حجم، جرم، اندازه، سرعت و حالت داخلی هر مولکول میباشند. این کمیتها نسبت به فاصله آزاد مولکولی و فرکانس برخورد بیان میشوند تا مقیاسهای زمان و فاصله باتوجه به برهم کنش بین مولکولها تعیین شوند. تعداد مولکولها در واحد حجم یا چگالی عددی٣ n، به دما و فشار گاز بستگی دارد اما مستقل از ساختار شیمیایی گاز است. اگر فرض کنیم که ذرات با سرعت c حرکت می-کنند، سرعت مولکولی متوسط c بهصورت سرعت متوسط یا سرعت جریان ماکروسکوپی تعریف میشود که با c0 نشان میدهیم و سرعت مولکولی نسبت به سرعت جریان، سرعت رندوم یا ذرهای نامیده میشود و با c نشان داده میشود در نتیجه کمیتهای ماکروسکوپی چگالی و فشار به صورت زیر به کمیتهای ماکروسکوپی مربوط میشوند: (٢)
که m جرم مولکولی است.
معادله بولتزمن
یک جریان گاز با استفاده از کمیتهایی چون موقعیت، سرعت و حالت داخلی هر مولکول در یک لحظه خاص توصیف میشود. تعداد مولکولها در یک گاز واقعی بیشتر از آن است که بتوان تصور کرد و ما باید از روشهای آماری استفاده کنیم. در تئوری جنبشی از یک تعداد توابع توزیع سرعت مشخص استفاده میشود.
یک نمونه از گاز یکنواخت٤ در فضای فیزیکی درنظر بگیرید که شامل N مولکول میباشد. سرعت یک مولکول نوعی، c میباشد که
مؤلفههای آن u ، v و w در جهت محورهای مختصات کارتزین x ، y و z است. x ، y و z بهعنوان فضای فیزیکی و u، v و w بهعنوان فضای سرعت تعریف میشوند. هر مولکول در این فضا با یک نقطه و بردار سرعت مربوطهاش مشخص میشود.
المان فازی dcdr را در نظر بگیرید. با توجه به فرایندهایی که باعث تغییر تعداد مولکولها در المان مذکور میگردند، معادله بولتزمن به صورت زیر به دست میآید:
که تابع احتمال توزیع ذرات است و یک کمیت بی بعد میباشد.
یا به عبارت دیگر، احتمال حضور ذره ای با سرعت c در مکان r.ترم سمت راست معادله بولتزمن ترم برخورد نامیده میشود. شکل انتگرالی این ترم در برابر شکل دیفرانسیل جزئی ترمهایی که بیانکننده وابستگیهای زمانی و فضایی nf میباشند، علت سختی پیچیدگی ریاضی معادله بولتزمن است. از طرف دیگر nf تنها متغیر وابسته در این معادله است که این یک مزیت معادله بولتزمن در مقایسه با معادلات ناویر- استوکس در جریان پیوسته میباشد. دقت شود که در پروسه بهدست آوردن معادله بولتزمن، فقط برخوردهای دوگانه درنظر گرفته شدهاند. اگر گاز چگال باشد احتمال برخوردهای سهگانه، چهارگانه و ... نیز وجود خواهد داشت که باید آنها را در ترم برخورد لحاظ کرد.
روش تحلیلی برای جریان بدون برخورد
معادله بولتزمن در حالت کلی فاقد جواب است اما در حالت تعادل و با فرض عدم وجود برخورد مولکولی، این معادله بر روی صفحه تخت کره دارای حل تحلیلی است و در اشکال پیچیده برای محاسبه ضرایب آیرودینامیکی میتوان از تقسیم بدنه جسم به المانهای مسطح و جمع نیروهای آیرودینامیکی اعمالی وارد بر این المانها، استفاده کرد. جریانهای بدون برخورد، ناشی از دانسیته کم و در نتیجه فاصله آزاد مولکولی متوسط خیلی بزرگنا و یا شی از کوچک بودن ابعاد مشخصه میباشد. نیروهای آیرودینامیکی وارد بر هر المان با استفاده از روش اندرکنش ذره-سطح ( particle-surface (interaction محاسبه میشوند. ماکسول در سال ١٨٧٩ دو حالت حدی برای انعکاس مولکولها در نظر گرفت، ١) انعکاس آینهای یا متقارن (specular) ٢) انعکاس پخشی یا در جهات مختلف (diffusion) برای یک المان سطح که ذرات با زاویه حمله α به آن برخورد میکنند، رابطه زیر برای توزیع فشار برقرار است ]٢:[
ه TW دمای دیواره، s نسبت سرعت مولکولی و N ضریب تطابقی (accommodation) میباشد. برای تنش برشی نیز رابطه مشابهای به صورت زیر به دست میآید:
نعکاس پخشی و انعکاس آینهای را میتوان به ترتیب با قرار دادن N T 1 و N T 0 بیان نمود. تعیین مقادیر ضرایب تطبیقی معمولاﹰ با آزمای های گوناگونی که تحت شرایط مختلفی انجام میشوند، تعیین میگردد. با توجه به این روابط و جمع نیروهای بهدست آمده برای هر المان میتوان نیروهای آیرودینامیکی وارد بر جسم را محاسبه کرد.
روش شبیهسازی مستقیم مونت کارلو
معادله بولتزمن از سال ١٨٧٢ مورد استفاده قرار گرفته است. در این سالها نظریات تئوری برای همه رﮊیمهای مختلف جریان پیشرفت قابلتوجهی کردهاند. با پیشرفت کامپیوترهای دیجیتالی، توانایی استفاده از شبیهسازی فیزیکی مستقیم جریان گاز، بدون نیاز به مدلهای ریاضی متداول جریان، افزایش یافته است.
Haviland و Lavin در سال ۲۶۹ ۱ اولین روش شبیه سازی احتمالاتی را معرفی کردند که روش مونت کارلو ذرهای تست نامیده شد، که علاوه بر برخورد مولکول با سطح، برخوردهای بین مولکولی نیز محاسبه میشوند.
نوع دیگر روش ذره تست، بهصورت متغیر با زمان تعریف میشود و تعدادشبیهزیادی مولکولبههای سازیهم شده طور زمان در کامپیوتر دنبال میشود. این روش، Direct Simulation Monte Carlo (DSMC) نامیده میشود . البته این روش احتمالی وابسته به فرض گاز رقیق م یباشد. در نتیجه روش DSMC تنه ا برای جریانهای گاز رقیق استفاده میشود. اولین بار Bird در سال ۳۶۹۱، روش DSMC را برای مسئله relaxation گاز همگن استفاده کرد که اولین کاربرد برای یک جریان با ساختار شوک بود.
در ارتفاعات بالا به شرط آن که محیط یونیزه نباشد، میتوان از ترم سوم، یعنی نیروهای خارجی، صر فنظر کرد . زیرا نه نی روی الکترومغناطیسی وجود دارد نه نیروی جاذبه زمین حائز اهمیت است. سپس حرکت و برخورد مولکولها را به طور جداگانه در نظر می-گیریم. در حقیقت در این روش، معادله بولتزمن شبیهسازی میشود. به این صورت که یک دسته مولکول در میدان کاشته میشوند، سپس سرعتی متناظر با سرعت مولکولهای گاز واقعی به آنها اختصاص داده میشود. سپس این مولکولها با یکدیگر و با سطح جسم برخورد کرده، پس از گذشت زمان کافی توزیع نهایی مولکولها در داخل میدان به دست میآید. مدلهای مختلفی برای برخورد مولکولها با یکدیگر و با سطح وجود دارد برای برخورد مولکولها با یکدیگر می-توان به مدل inverse power law، مدل کره سخت، مدل کره سخت متغیر (VHS) و مدل کره نرم متغیر (VSS) اشاره کرد . لازم به ذکر است که ترم برخورد به دست آمده در معادله بولتزمن با توجه به مدل کره سخت متغیر به دست آمده است. جزئیات مربوط به این مدلها در مرجع [1] موجود است. از آنجایی که در این روش معادلات نگسستهسازی میشوند مشابه روشهای متداول CFD، نیازی به شبکه معین نداریم. و در حقیقت علت استفاده از شبکه تعیین موقعیت ذرات می باشد. با این حال تولید شبکه در روشDSMC حائز اهمیت استشبیه.یک شبکه ایدهال برای سازی DSMC باید راندمان محاس باتی بالایی داش ته باشد. شبکه در روشهای محیط پیوسته باید از خطوط پیوسته تشکیل شده باشد درحالیکه شبکه DSMC فقط برای نمونهبرداری آماری و بهدست آوردن شرایط ماکروسکوپی موضعی و همچنین انتخاب جفت مولکول مناسب برخوردکننده مورد استفادهمی قرار میگیرد و تواند مرزهای نامحدود داشته باشد. در این روش ابعاد سلها با توجه به فاصله آزاد مولکولی تعیین میشوند. در بررسی مسائلی که تغییرات زیاد چگالی را در بر دارند، شبکههایی با طول یکنواخت بازدهی مناسبی ندارند. در اینجا، از تصاعد هندسی برای محاسبه طول سلول استفاده شده است. در این روش محاسبه شماره سلول مربوط به مولکولی که در مختصات فرضی r, z قرار دارد از اهمیت خاصی برخوردار است. اگر طول سلولها پیرو یک تصاعد عددی یا یک تصاعد هندسی باشد میتوان شماره سلول مذکور را با استفاده از روابط تحلیلی، مشخص کرد . برای ساده سازی فرض میکنیم که تنها مولکولهای داخل هر سل م یتوانند با هم برخورد داشته باشند. جزئیات مربوط به انتخاب جفت برخورد در مرجع [1] موجود است. البته لازم به ذکر است که زمان محاسباتی این روش بالاست.
