بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله به تحلیل کمانش ورق چهار گوش ساخته شده از مواد هدفمند با دو لایه پیزوالکتریک در بالا و پایین آن پرداخته شده است. چهار معادله دیفرانسیل حاکم بر ورق براي تئوري کلاسیک با در نظر گرفتن اثر پیزوالکتریسیته و از اصل مینیمم انرژي پتانسیل بدست آمده اند. تابع پتانسیل الکتریکی که ترکیب خطی و درجه دوم از ضخامت ورق فرض شده به گونه ایست که علاوه بر ارضاي شرط مرزي مدار باز و بسته، معادله ماکسول را نیز ارضا می کند.
حل تحلیلی در نظر گرفته شده بار کمانش بحرانی را براي تمام شرایط مرزي لوي اعم از متقارن و نامتقارن و شرط مرزي الکتریکی مدار باز و بسته، می دهد. از نتایج بدست آمده مشاهده شد که براي همه شرایط مرزي و شرایط بارگذاري با افزایش ضخامت لایه پیزوالکتریک، بار بحرانی کمانش براي مدار باز و بسته افزایش می یابد اما این افزایش براي حالت مدار باز بیشتر از حالت مدار بسته می باشد.
مقدمه
مواد هوشمند و پیزوالکتریک دو دسته از موادي هستند که قدمت کاربرد و تحلیلشان در علوم مهندسی به کمتر از سه دهه می رسد اما علیرغم قدمت کم با توجه به گستره کاربردپذیري این مواد تحلیل سازه هاي ساخته شده از آنها بصورت روز افزونی مورد علاقه محققین قرار گرفته است. در زمینه کمانش مواد هدفمند اسلامی و جواهري [1] بار بحرانی کمانش یک ورق چهار گوش ساخته شده از مواد هدفمند را با شرط مرزي چهار طرف تکیه گاه ساده توسط تئوري کلاسیک ورق بدست آوردند.
شریعت و اسلامی[2] کمانش مکانیکی حرارتی ورق چهار گوش ساخته شده از مواد هدفمند با استفاده از تئوري برشی مرتبه سوم را براي شرط مرزي چهار طرف تکیه گاه ساده ارائه دادند. محمدي و همکاران[3]و[4] کمانش ورق چهار گوش ساخته شده از مواد هدفمند را تحت شرایط مرزي مختلف متقارن و نا متقارن با استفاده از حل لوي براي تئوري هاي کلاسیک و برشی مرتبه اول تحلیل کردند.
بداغی و سعیدي[5] نیز با استفاده از حل لوي و به کار بردن تئوري برشی مرتبه سوم کمانش ورق چهارگوش ساخته شده از مواد هدفمند را تحت شرایط مرزي مختلف متقارن و نا متقارن تحلیل کردند. تاي و چوي [6] نیز براي تحلیل کمانش ورق چهارگوش ساخته شده از مواد هدفمند تحت شرایط مرزي مختلف تئوري جدید و اصلاح شده اي را معرفی کرده اند. تحلیل عددي کمانش ورقهاي ساخته شده از مواد هدفمند با لایه هاي پیزوالکتریک توسط شرعیات [7] انجام شده است.
در این مقاله تحلیل کمانش ورق چهار گوش ساخته شده از مواد هدفمند با دو لایه پیزوالکتریک در بالا و پائین بر پایه تئوري کلاسیک ورق ارائه شده است. ویژگی این مقاله علاوه بر تحلیلی بودن، در تابع پتانسیل الکتریکی فرض شده است که این تابع علاوه بر ارضاي معادله ماکسول به عنوان معادله بدست آمده از اصل مینیمم انرژي پتانسیل، شرایط مرزي الکتریکی در بالا و پایین ضخامت ورق را براي مدار باز و بسته بطور کامل ارضا می کند.
با استفاده از دو تابع کمکی، چهار معادله کوپل بدست آمده از اصل مینیمم انرژي پتانسیل به دو معادله دیفرانسیل جدا از هم تبدیل شدند. براي همه شرایط مرزي لوي - متقارن و نامتقارن - بار کمانش بحرانی بدست آمد. نتایج بدست آمده با نتایج تحلیلی موجود مقایسه و دقت بسیار زیادي مشاهده شد. اثر نسبت ظاهري، ضخامت پیزوالکتریک، ضخامت ورق، شرایط مرزي، شرایط بارگذاري و نوع ماده پیزوالکتریک بر بار کمانش بحرانی مورد بررسی قرار گرفت.
ورق و روابط حاکم بر آن
ورق مستطیلی به ابعاد a و b ساخته شده از مواد هدفمند به ضخامت hل و دو لایه پیزوالکتریک در بالا و پایین آن هر کدام به ضخامت hp را در نظر بگیرید. هر دو لایه پیزوالکتریک در جهت مثبت ضخامت ورق قطبی شده اند. خواص ماده هدفمند در راستاي ضخامت ورق بطور پیوسته و بصورت نمایی تغییر می کند در این مقاله میدان پتانسیل الکتریکی براي مدار باز و بسته بصورت ترکیب تابع خطی و درجه دوم فرض شده تا علاوه بر ارضاي شرایط مرزي مدار باز و بسته معادله ماکسول را نیز ارضا کند. تابع پتانسیل الکتریکی بصورت زیر تعریف می شود.
نتایج
براي سنجش درستی نتایج با نزدیک صفر قرار دادن ضخامت لایه پیزوالکتریک و مقایسه با [4] در جدول - 1 - تطابق بسیار خوبی مشاهده شد. براي ارائه نتایج از خواص ماده پیزوالکتریک خ PZT و ماده هدفمند با اجزاي سرامیکی آلومینا و فلزي آلومینیوم استفاده شد. براي کلیه نتایج - بجز شکل - 4 - که توانهاي مختلف ماده هدفمند بررسی شده- از ضخامت ماده هدفمند زتتحت و نسبت ظاهري زحت و توان ماده هدفمند برابر ذ فرض شده است.
نتایج براي چهار حالت بارگذاري و شش شرط مرزي مکانیکی و دو شرط مرزي الکتریکی مدار باز و بسته ارائه شده است.همانطور که از شکل - - 1 مشاهده می شود در حالت بارگذاري و شرط مرزي یکسان مقدار بار بحرانی کمانش براي مدار باز بیشتر از مدار بسته است. در شکل - 2 - و شکل - 3 - براي مدار باز و بسته بیشترین مقدار بار کمانش بحرانی مربوط به شرط بارگذاري تک محوره در راستاي y بیشترین مقدار و براي شرط بارگذاري دو محوره فشاري کمترین مقدار است.
در شکل - 4 - براي یک شرط بارگذاري خاص براي توانهاي مختلف ماده هدفمند بار کمانش بحرانی ارائه شده است از آنجا که توان صفر معادل سرامیک و توان بسیار بالا معادل فلز است لذا با افزایش توان ماده هدفمند بار کمانش کاهش می یابد. در شکل - 5 - بار کمانش بحرانی براي مواد پیزوالکتریک مختلف ارائه شده که بیشترین مقدار براي Bخ PZT و کمترین مقدار را Aز PZT داراست. . از شکل - 6 - نیز براي شرطهاي مرزي گوناگون نتیجه می شود که بیشترین مقدار بار بحرانی کمانش مربوط به تکیه گاه گیر دار ‐ گیر دار و کمترین مقدار مربوط به تکیه گاه آزاد ‐ آزاد می باشد.
جمع بندي و نتیجهگیري
در این مقاله با در نظر گرفتن اثر پیزوالکتریسیته و تئوري کلاسیک ورق، کمانش ورق چهارگوش ساخته شده از مواد هدفمند با دو لایه پیزوالکتریک در بالا و پایین آن مورد تحلیل قرار گرفته شده است. براي ارضاي معادله ماکسول و شرایط مرزي الکتریکی مدار باز و بسته، تابع پتانسیل الکتریکی بصورت ترکیب خطی و درجه دوم از مختصه ضخامت ورق فرض شد. با تعریف دو تابع کمکی چهار معادله کوپله حاصل از اصل مینیمم انرژي پتانسیل به دو معادله جدا از هم تبدیل شدند. نتایج براي شرایط مرزي متقارن و نامتقارن و دو شرط مرزي الکتریکی مدار باز و بسته ارائه شدند. از نتایج مهم این تحلیل می توان به این نکته اشاره کرد که در حالت بارگذاري و شرط مرزي یکسان مقدار بار بحرانی کمانش براي مدار باز بیشتر از مدار بسته است.
