بخشی از مقاله
چکیده
مسئلهی تعیین مدار دینامیکی ماهوارهها قابل بیان به صورت یک دستگاه معادلات دیفرانسل مرتبه اول غیرخطی میباشد. مرسومترین و راحتترین روش برای حل این دستگاه استفاده از شیوههای عددی همچون رانگ کوتا است. روشی که مورد استفاده در حل کنندههای گوناگون ODE در Matlab قرار گرفتهاند. شیوههایی که اگرچه دارای دقتهای بسیار بالا میباشند، اما مهمترین نقص آنها زمانگیر بودنشان است، لذا نحوه پیادهسازی معادلات جهت کاهش حجم محاسبات و زمان بسیار اهمیت دارد. در مسئله تعیین مدار دینامیکی یکی از مهمترین مراحل که نقش اساسی در سرعت حل مسئله دارد، محاسبه مشتقات جزئی تابع پتانسیل جاذبه میباشد.در این مقاله دو شیوهی متداول پیادهسازی مشتقات جزئی تابع پتانسیل جاذبه ارائه میگردد و سپس یک ایده جدید که حجم محاسبات بسیارکمتری دارد، ارائه گردیده و در پایان زمان حل مسئله با استفاده از این سه شیوه مقایسه شده است.
واژههای کلیدی: مدار دینامیکی، دستگاه معادلات دیفرانسیل، حل عددی، حل کننده های ODE، زمان محاسبات، مشتقات جزئی پتانسیل
1مقدمه
در تعیین مدار دینامیکی شتابهای وارده بر ماهواره از منابع گوناگون بر حسب مولفههای بردارهای حرکت و سرعت ماهواره در هر لحظه مدلسازی شده و حاصل به صورت یه دستگاه معادلات دیفرانسیل با سه معادله مرتبه دوم قابل بیان میباشد. با فرض اینکه ماهواره فق تحت اثر نیروی جاذبه زمین است و با علم به غیر دورانی بودن نیروی جاذبه میتوان شتاب وارده بر ماهواره را بهصورت زیر بیان نمود: - مونتنبروک و گیل، - 2001 که در آن V پتانسیل جاذبه است که در مختصات کروی قابل بیان بر حسب هارمونیکهای کروی به صورت زیر میباشد: - سیبر، - 2003 که در آن مختصات ماهواره درسیستم کروی،و ضرایب نرمال شده مدل ژئوپتانسیل،حاصلضرب ثابت جهانی گرانش نیوتن در جرم زمین، شعاع کرهی مرجع و نیز چندجمله ای تعمیم یافته لژاندر از درجه n و مرتبه m میباشد. همانطور که مشاهده میشود رابطهی پتانسیل دارای یک جمع نامحدود است و از آنجا که جمعهای نامحدود عملا قابل استفاده نیستند این جمع را به یک درجه مشخص به نام Nmax محدود مینماییم.پس از معرفی پتانسیل، با اعمال عملگر گرادیان در سیستم کارتزین و به کار بردن ماتریس ژاکوبیان تبدیل، رابطهی - 1 - به صورت زیر تبدیل میشود - شریفی، : - 2004
که در آن ماتریس J ژاکوبیان تبدیل از سیستم کارتزین به کروی میباشد و برابر است با:
همچنین و به ترتیب مشتقات جزئی تابع پتانسیل بر حسب و میباشند و برابرند با:
با حل سه معادله دیفرانسیل مرتبه دو غیر خطی - رابطه - 3 مختصات ماهواره به دست می آید. یکی از ساده ترین و البته دقیق ترین روشها برای حل این معادلات روشهای عددی از جمله روش رانگ کوتا میباشد که توس حل کننده های ODE در Matlab به کار گرفته می-شوند. اما نکته اساسی در استفاده از حل کنندههای ODE برای حل این مسئله تبدیل سه معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با شش معادله میباشد، لذا به کمک ترفند ساده زیر دستگاه معادلات مرتبه اول را تشکیل میدهیم.برای رسیدن به این هدف ابتدا بردار وضعیت ماهواره و مشتقزمانی اول آن را تعریف میکنیم:
که بدیهی است با جایگزنی رابطه - 3 - در - 2-6 - تمام مولفه هایبردار ̇ بر حسب مولفههای بردار قابل بیان است.آنچه که در این مقاله مورد توجه است پیادهسازی جمع دوبل های موجود در رابطه 5 است، به گونه ای که زمان حل دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول - 2-6 - با استفاده از حل کنندههای ODE در Matlab کاهش یابد.در قسمت بعد ابتدا دو ایده ساده و مرسوم این پیادهسازی بیان میشود و سپس یک ایده نو ارائه میگردد و در انتها زمان حل دستگاه در حل کننده ODE45 به ازای مقادیر گوناگون Nmax از 1 تا 140 با سه روش ارائه شده مورد بررسی قرار میگیرد.
2روش تحقیق
ابتدا دو ایده مرسوم برای پیاده سازی جمع دوبل های رابطه 5 بیان میگردد و سپس ایده نو که اصلاح یافته ایده دوم است، بیان میگردد. لازم به ذکر است از آنجا که هدف بررسی تاثیر نحوه پیاده سازی جمع دوبل هاست، در هر یک از سه روش زیر ابتداضرایب ثابت و و توابع در ماتریسهای مربعی پایین مثلثی با تعداد Nmax سطر و ستون به صورت زیر فراخوانی می-گردند: که در رواب فوق N مخفف همان Nmax میباشد و همچنین توابع نیز به ازای هر نقطه محاسبه میشوند.اولین ایده برای پیاده سازی، استفاده از دو حلقه تو در توی for میباشد. برای محاسبه جمعهای دوبل ابتدا باید بیرون از حلقههاا سکالرهای و برا بربا صفر تعر یف گرد ند، در دا خل حلقهها ابتدا اثر هر هارمونیک جداگانه محاسبه میگردد:
و سپس در داخل همان حلقه با اثر هارمونیکهای قبلی جمع میشود: , , - 9 -
