بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله تئوری مجموعه را با به کمک تابع مشخصه معرفی کرده و بعضی از مهمترین خواص مجموعه ها در دوره تحصیلی دبیرستان را ارائه کردیم. در ادامه تئوری مجموعه های فازی که تعمیمی از مجموعه های معمولی است را ارائه کردیم. چگونگی تعمیم خواص مجموعه های معمولی به مجموعه های فازی نیز ارائه شد. با ارائه چند مثال مفاهیم را نشان دادیم به طوریکه در دوره دبیرستان قابل فهم باشد.
.1مقدمه
نظریه مجموعهها زیربنای ریاضیات مدرن میباشد. در این نظریه مجموعهها به صورت گروه معینی از اشیاء تعریف میشوند. به عبارت دیگر هر مجموعه با یک ویژگی خوش تعریف مشخص میشود. اگر یک شی مفروض، دارای آن ویژگی باشد عضو مجموعه متناظر است ولی اگر دارای آن ویژگی نباشد عضو مجموعهی متناظر نیست.
اگر X مجموعه مرجع و P یک ویژگی خوش تعریف باشد می توانیک مجموعه، مثلاً مجموعه A را با آن متناظر کرد. مثلا اگر X مجموعه اعداد حقیقی و P ویژگی »بزرگتر از 100 بودن« باشد، آنگاه P یک ویژگی خوشتعریف است که یک مجموعه، مثلاً مجموعه A با آن متناظر میشود، چرا که میتوان با قاطعیت گفت آن عدد بزرگتر از 100 و این عدد کوچکتر از 100 میباشد. حال فرض کنید که بخواهیم درباره آن دسته از مجموعه اعداد حقیقی گفتگو کنیم که »بزرگ« باشند. در این جا با یک ویژگی ناخوش تعریف و مبهم یعنی »بزرگ« مواجهیم. اینکه چه اعدادی بزرگ هستند و کدام اعداد کوچکند، بستگی به نظر افراد دارد و نسبی است. به عبارت دیگر عضویت یا عدم عضویت اعداد مختلف در مجموعهای با ویژگی »بزرگ بودن« قطعی نیست.
در سال 1965 لطفیزاده مقالهای به عنوان مجموعههای فازی را در مجلهی اطلاعات و کنترل منتشر کرد. در آن از منطق چند مقداری برای مجموعهها استفاده کرد. این نظریه از زمان ارائه تاکنون گسترش و تعمیم زیادی یافته و کاربردهای گوناگونی در زمینههای مختلف پیدا کرده است. نظریه فازی نظریهایست برای اقدام در شرایط عدم قطعیت. این نظریه قادر است بسیاری از مفاهیم و متغیرها و سیستمهایی را که نادقیق و مبهم است در عالم واقع در اکثر موارد به شکل ریاضی در آورد و زمینه را برای استدلال نتایج و کنترل و تصمیمگیری در شرایط عدم اطمینان فراهم آورد؟
.2 مجموعههای کلاسیک - قطعی -
هر مجموعه با خاصیت خوش تعریف روی آن نسبت به مجموعه مرجع با تابعی موسوم به تابع مشخصه تعریف میشود که مشخص مینماید عناصر مجموعهی مرجع X متعلق به مجموعه میباشند یا نمیباشند. مجموعهی A با تابع مشخصهاش، به صورت زیر تعریف می شود:
.3 مجموعه فازی
تابع مشخصهی هر مجموعهی قطعی به هر یک از اعضای مجموعه مرجع مقدار صفر یا یک اختصاص میدهد و بنابراین اعضای متعلق و غیر متعلق به مجموعهی قطعی تحت بررسی مشخص میگردند. اما در مجموعه فازی تعلق یا عدم تعلق با توجه به خوش تعریف نبودن خاصیتی که مجموعه را معرفی می کند باید مبهم باشد لذا این تابع میتواند به گونهای تعمیم داده شود که میزان عضویت این اعضا به مجموعهی تحت بررسی را نشان دهد. چنین تابعی، تابع عضویت و مجموعه تعریف شده توسط آن مجموعهی فازی نامیده میشود.
