بخشی از مقاله
چکیده
مسئله جریان پتانسیل اطراف اجسام استوانه اي یکی از مسائل اساسی در مکانیک سیالات بوده و ازاهمیت بالایی برخوردار است. این مقاله یک حل تحلیلی براي به دست آوردن تابع پتانسیل مختلط براي جریان غیر چرخشی پایا اطراف یک، دو و سه استوانه که در یک ردیف قرار گرفته اند به کمک نگاشتهاي همدیس ارائه می دهد که قابل تعمیم براي استوانه هاي چندگانه با آرایش غیرخطی نیز می باشد. در تحلیل جریان بر روي استوانه ها، فصل مشترك فضاي داخلی دایره مبنا و فضاي خارجی دایره هایی که داخل دایره مذکور محاط شده اند، در صفحه مختلط اولیه، به کمک نگاشت همدیس، به فضاي خارجی اطراف استوانه ها ، در صفحه ثانویه تبدیل می شود. با یافتن تابع پتانسیل مختلط براي فضاي اولیه و اعمال معکوس نگاشت انتقال بر روي آن، می توان تابع پتانسیل مختلط در فضاي ثانویه و نهایتا خطوط جریان و بردار هاي سرعت اطراف استوانه ها را ترسیم کرد.
واﮊههای کلیدی: نگاشت همدیس تابع تحلیلی، ناحیه همبند ساده و چند گانه.
۱‐ مقدمه
یکی از اساسی ترین مباحث در مکانیک سیالات،پیدا کردن خطوط جریان غیر گردشی یکنواخت پایا اطراف موانع استوانه اي است. در میان روشهاي یافتن تابع پتانسیل اطراف اجسام، روش استفاده از نگاشتهاي همدیس از جذابیت و اهمیت خاصی برخوردار است. از آنجا که بررسی جریان یکنواخت برروي یک، دو و سه استوانه مقدمه اي براي تحلیل جریان یکنواخت اطراف استوانه هاي چند گانه و همچنین موانع با شکلهاي متنوع می باشد، اهمیت تحلیل جریان برروي استوانه ها آشکارمی شود.تحلیل جریان بر روي یک استوانه به کمک نگاشت همدیس اولین بار توسط جوکوفسکی - Joukowski - [1] صورت گرفت. سپس تحقیق بر روي جریان اطراف دو استوانه توسط هیکس - [2] - Hicks و گرین هیل [3] - Greenhill - انجام شد.
این تحقیق توسط باست [4] - Basset - مورد بحث قرار گرفت. سپس برنساید [5] - Burnside - با آگاهی از کار هیکس و گرین هیل تحقیقات وسیعی براي برسی چنین مسائلی در هیدرودینامیک و نهایتاً ارائه نظریه در این زمینه پرداخت.همچنین لاگالی [6] - Lagally - و فراري - Ferrari - [7] راه حلی براي تحلیل جریان اطراف دو استوانه همراه چرخش استوانه ها ارائه دادند. اخیراجانسون و مک دونالد[8] - Johnson & McDonald - و بورتن، گراتس و تاکر - [9] - Burton , Gratus & Tucker به کمک نقاط ورتکسی اطراف دو استوانه به تحلیل جریان اطراف آن پرداخته اند. در مورد مسائل جریان اطراف بیش از دو استوانه نتایج تحلیلی کمی وجود دارد. در رابطه با تحلیل جریان سه استوانه چندین کار عددي توسط یاماتو [10] - Yamoto - انجام شده است.
در این مقاله به کمک روش تحلیلی و استفاده از نگاشتهاي همدیس به تحلیل جریان اطراف یک، دو و سه استوانه می پردازیم.
۲- فرمولها و روابط ریاضی
به طور کلی هر جریان پتانسیل دو بعدي را می توان به کمک نگاشتهاي همدیس و متغیرهاي مختلط حل کرد.که در آن هر تابع تحلیلی Ф از متغیر مختلط، در معادله جریان غیر چرخشی و غیر قابل تراکم سیال که به معادله لاپلاس - - Laplace equation معروف و به شکل زیر برقرار است:
تا زمانی که Ф تحلیلی باشد رابطه - 4 - براي آن صادق است. نتیجه نهایی به دست آمده از رابطه - 2 - و - 3 - این است که φ و ψ را در تابع مختلط Ф می توان به ترتیب به عنوان پتانسیل سرعت و تابع جریان سیال بدون لزجت در نظر گرفت. تابع Ф به عنوان پتانسیل مختلط عنوان می شود. هر معادله φ و ψ که معادله لاپلاس را برقرار کند یک میدان جریان دو بعدي تراکم ناپذیر و غیرچرخشی را نشان می دهد.سرعتهاي Vx و Vy که به ترتیب سرعتهاي افقی و عمودي در صفحه - x,y - هستند را به کمک تابع پتانسیل و جریان می توان به شکل زیر نمایش داد :[13]
همچنین سرعتهاي Vr و Vθ که بترتیب سرعتهاي نرمال و مماسی در صفحه - - r,θ هستند را می توان به شکل زیر نمایش داد :[13]
از آنجا که تابع Ф یک تابع تحلیلی است، مشتق آن نسبت به z مستقل از مسیر بوده و به کمک قضیه اول کوشی _ ریمان می توان مزدوج سرعت مختلط را به شکل زیر نمایش داد :[14]
رابطه فوق میدان سرعت را بر اساس تابع پتانسیل مختلط و مختصات مختلط بیان می کند.با انتخاب z reiθ در مختصات - - r,θ خواهیم داشت:
رابطه فوق میدان سرعت را بر اساس تابع پتانسیل در مختصات - - r,θ بیان می کند.
-3 روش استفاده از نگاشت در جریان پتانسیل
از آنجا که تحلیل جریان پتانسیل بر روي هندسه هاي پیچیده دشوار است به وسیله نگاشتهاي همدیس می توان هندسه هاي پیچیده را به هندسه هاي ساده تر تبدیل کرد و با تحلیل جریان بر روي هندسه هاي ساده تر و استفاده از نگاشت همدیس به حل تحلیلی جریان بر روي هندسه پیچیده دست یافت. در روش تحلیل جریان به کمک نگاشهاي همدیس، یک هندسه پیچیده در صفحه مختلطZ به یک هندسه ساده تر در صفحه مختلط ζ که جریان پتانسیل بر روي آن شناخته شده است منتقل می شود که این نگاشت همدیس به صورت زیر تعریف می شود:
ζ z متغیرهاي مختلط هستند که داراي مقادیر حقیقی و موهومی اند. فرض اینکه یک هندسه مشخص در صفحهZ که تابع جریان پتانسیل اطراف آن نامعلوم - - F - z - ویک هندسه مشخص در صفحه ζ که تابع جریان پتانسیل اطراف آن معلوم است - - ~ ζ داریم. به کمک نگاشتFهمدیس F - z - بصورت زیر خواهد بود:
حال اگرتابع پتانسیل درصفحه ζ ناشناخته و در صفحه Z شناخته شده باشد خواهیم داشت:
-1-3 حل جریان پتانسیل اطراف یک استوانه
حل جریان پتانسیل اطراف استوانه با شعاع واحد یکی از مشهورترین جریانهایی است که به کمک نگاشهاي همدیس مورد بحث و بررسی قرار می گیرد. در حل این جریان از نگاشت همدیس جوکوفسکی استفاده شده است.نگاشت همدیس جوکوفسکی به شکل زیر است:
که λ ثابت انتقال و یک عدد حقیقی است و از رابطه زیر به دست می آید:
در رابطه a - 13 - و b مختصات مرکز دایره در صفحه مختصات اولیه ζ به ترتیب در راستاي محور حقیقی و موهومی و R شعاع دایره است. بسته به اینکه دایره اولیه در چه موقعیتی واقع شده باشد این نگاشت دایره مذکور را تبدیل به یک پاره خط، ایرفول متقارن، ایرفول نامتقارن و یا خط خمیده می کند. همان طور که گفته شد دایره با شعاع R و به مرکز 0 - و - 0 در صفحه ζ توسط نگاشت جوکوفسکی تبدیل به یک پاره خط واقع بر محور حقیقی بین -2R و 2R در صفحه Z می شود - شکل - 3 که به عنوان یک صفحه تخت در نظر می گیریم .[15]همان طور که می دانیم تابع پتانسیل مختلط با سرعت یکنواخت U∞ روي صفحه تخت به صورت زیر است: F - z - U∞z - 14 - ζبا نوشتن رابطه - 10 - تابع پتانسیل مختلط روي صفحه و پیرامون استوانه به شعاع واحد به صورت زیر خواهد شد:
این رابطه معرف تابع پتانسیل اطراف یک استوانه به شعاع واحد است.میدان سرعت مختلط بر اساس تابع پتانسیل مختلط به صورت ذیل خواهد بود:
