بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

نگاشت همديس و کاربرد آن در ترسيم خطوط ميدان جريان سيال حول اجسام غوطه ور در مسير جريان


خلاصه
يکي از مهم ترين روش هاي آناليز مختلط ، نگاشت همديس مي باشد که کاربردهاي زيادي در شرايط فيزيکي متفاوت مانند پتانسيل الکتريکي، هدايت گرمايي و جريان سيال دارد. نظريه متغييرهاي مختلط و توابع مختلط را با تعريف تابعي به نام پتانسيل مختلط ، در تحليل جريان پتانسيل دو بعدي ميتوان استفاده نمود. در اين مقاله سعي شده است معادلات خطوط جريان و خطوط پتانسيل در مختصات مختلط ارائه شود و با تعريف چند نگاشت همديس مهم مانند شوارتز-کريستوفل (Schwarz-Cristoffel) و ژوکوفسکي (Joukowski) به کمک نرم افزار Mathematica خطوط جريان حول استوانه دوار، آيرفويل ، مجاري، کنج ها با زواياي مختلف و جريان روي سريز ترسيم گردد.


کلمات کليدي: نگاشت همديس ، متغيير مختلط ، جريان ايده آل ، آيرفويل ، Mathematica

١. مقدمه
نگاشت همديس تابعي است که ناحيه اي از صفحه مختلط مانند z را به ناحيه اي از صفحه مختلط ديگر مانند w تبديل ميکند به گونه اي که زواياي ناحيه w هم جهت و هم اندازه با زواياي متناظر با آن در ناحيه z باشد(شکل ١) [١]. اين نگاشت در تحليل جريان سيالات ، پتانسيل الکتريکي و انتقال گرما کاربرد دارد.



شکل ١- نگاشت همديس ، در اين تبديل زواياي α وβ هم جهت و هم اندازه اند.
ميدانيم که خطوط جريان و پتانسيل در ميدان جريان سيال برهم عمودند. همچنين در توابع مختلط (متغيير مختلط ) اگر شرايط کوشي رايمن براي تابع صدق کند اين توابع ميتوانند معادلات لاپلاس را ارضا کنند. با در نظر گرفتن فرضيات زير ميتوان معادلات جريان را در دستگاه اعداد مختلط (z x iy i٢١) مورد بررسي قرار داد.
• معادلات جريان دو بعدي
• جريان تراکم ناپذير
• سيال بدون لزجت (ايده آل )
• جريان غير چرخشي
با توجه به فرضيات ارائه شده اگر و به ترتيب تابع پتانسيل و تابع جريان باشند ميتوان نتيجه گرفت که معادلات لاپلاس در مورد اين
دو تابع صادق است (معادله ١ ) [٢].

با توجه به مطالب ذکر شده ميتوان تابع مختلط جريان پتانسيل - تابع مختلط - را به صورت معادله (٢) تعريف کرد.

براي به دست آوردن تابع سرعت جريان از رابطه بين توابع پتانسيل و جريان استفاده ميشود، يعني:

که در آن u و v به ترتيب سرعت در جهت هاي x وy است . معادله (٤) تابع سرعت جريان را نمايش ميدهد:

براي تبديل سرعت ها در مختصات دکارتي به مختصات شعاعي و زاويه اي ميتوان از رابطه (٥) استفاده نمود:

در جدول زير چند تابع مختلط جريان پتانسيل مهم معرفي مي شود. در اين جدول و m به ترتيب قدرت ورتکس و چشمه در نقطه a

به طور مثال در تابع براي به دست آوردن توابع جريان و پتانسيل کافي است به جاي z، معادل آن a يعني z  xiyو همچنين به جاي w معادل آن يعني  i قرارداده شود. پس از ساده سازي ، مقادير  و به صورت معادلات (٦) و (٧) محاسبه مي شود.

شکل ( ( نمودارو ارئه شده در معادلات (١) و (٢) را نشان ميدهد. اين شکل و نظاير آن در محيط متمتيکا ترسيم شده اند.



شکل ٢- خطوط جريان و پتانسيل براي تابع مختلط (Ln)Sinhz.a=w)z(
٢. نرم افزار متمتيکا
نرم افزار متمتيکا )Mathematica( يکي از نرم افزارهاي مهندسي براي محاسبات رياضي است . از ويژگيهاي اين نرم افزار ميتوان به موارد زير اشاره
کرد:
• عمل در حوزه اعداد حقيقي و موهومي
• حل مسائل به صورت پارامتريک
• حل چند معادله چند مجهولي و تواني
• ترسيم هرگونه نمودار برحسب معادله بصورت ساده تا چند بعدي
• امکان برنامه نويسي
از اين نرم افزار علاوه بر محاسبات رياضي مي توان در رشته هاي ديگري از علوم مانند نفت ، هوافضا، مکانيک و مهندسي آب استفاده نمود [٤].
٣. جريان حول سيلندر دوار
اين جريان ترکيبي از دابلت ، جريان يکنواخت و ورتکس است که به صورت زير بيان مي شود [٥]:


در معادله (٨) R شعاع سيلندر است . سرعت اين جريان از رابطه زير به دست ميآيد:

اگر بينهايت سيلندر دوار در مسير جريان يکنواخت قرار گيرند، براي به دست آوردن تابع پتانسيل مختلط فرض ميشود دابلت ها و چشمه ها در فواصل ia به طور متقارن بر روي محور y قرار گرفته اند، در اين صورت براي دابلت ها داريم :



معادلات بالا با کمک روابط سري هيپربوليک به صورت معادله (١١) خلاصه ميشود:

مشابه دابلت براي ورتکس رابطه زير به دست مي آيد:

با توجه به روابط بالا مي توان تابع مختلط را براي بينهايت سيلندر مطابق با معادله (١٣) نتيجه گرفت :

٤. نگاشت ژوکوفسکي
نگاشت ژوکوفسکي در مسائل آيروديناميکي کاربرد دارد که از جمله اين مسائل مي توان به آيرفويل ها اشاره کرد (شکل ٣). اين نگاشت دايره را به آيرفويل تبديل مي کند. از آنجايي که انجام محاسباتي همچون به دست آوردن نيروي ليفت (Lifte) و دراگ (Drag) براي اين گونه ا شکال مشکل
است ، لذا از تبديل مذکور استفاده ميشود تا محاسبات روي يک دايره صورت گيرد.

شکل ٣- آيرفويل با زاويه حمله [٢٠٠٨ Kundu]
معادله عمومي نگاشت به صورت معادله (١٤) است که در اين معادله b شعاع دايره تبديل است .

براساس اين که موقعيت مرکز دايره کجا قرار گيرد شکل هاي مختلفي به دست مي آيد.
• اگر مرکز دايره منطبق بر مرکز محتصات باشد، پاره خطي يه طول b٤ حاصل ميشود.
• براي b <aei a =z تبديل بيضي است که کانون هاي آن در نقاط b٢+ ، b٢- واقع است .
• اگر مرکز دايره منطبق بر مرکز محتصات نباشد، تبديل يک آيرفويل متقارن است .
• اگر aei-eb =z تبديل يک آيرفويل نا متقارن است که در شکل (٤) آمده است .
4

در متن اصلی مقاله به هم ریختگی وجود ندارد. برای مطالعه بیشتر مقاله آن را خریداری کنید