بخشی از مقاله
چکیده
تبدیلات ریاضی به سیگنالها اعمال شده تا اطلاعات مفیدي از آنها بدست آید. این اطلاعات به راحتی از سیگنال اصلی قابل بازیابی نبوده است. یکی از تبدیلات مهم تبدیل موجک1 بوده که سیگنال را از فضاي آرگومان به فضاي فرکانس تبدیل میکند. تبدیل موجک نسبت به تبدیل فوریه و فوریه زمان کوتاه مزایایی داشته که در این مقاله آنها بررسی شده اند. از آنجا که بسیاري از پدیدههایی که در سیستمهاي اطلاعات مکانی با آنها روبرو بوده ماهیت متناوب در زمان یا مکان و یا هر دو داشته، لذا تبدیل موجک می تواند بسیار مفید واقع شود. اینگونه پدیده ها اگر تحت تبدیل موجک قرار گیرند، اطلاعات بسیار مفیدي از آنها استخراج خواهد شد. یکی از اینگونه پدیدههاي متناوب حرکت وسایل نقلیه عمومی است. با استفاده از تبدیل موجک، میتوان تعداد وسیله نقلیه مناسب در هر لحظه از زمان، در مسیر حرکت آنها را محاسبه کرد. در این مقاله نحوه تخصییص اتوبوسها به ناوگان حمل و نقل با استفاده از تبدیل موجک بررسی شده است. نمونه عملی پیاده شده، بیانگر کارایی مدلسازي چنین پدیده هایی با استفاده از موجک در GIS می باشد.
-1 مقدمه
اگر به مجموعه اندازه گیریهاي انجام شده بر روي یک پدیده قابل اندازه گیري اندکس زمان یا مکان داده شود، به سري اطلاعاتی خواهیم رسید که میتوان از آن اطلاعات خاصی را استخراج کرد. بکارگیري این روش در علوم مختلف و از آن جمله در علوم ژئوماتیک، متداول و مورد نیاز میباشد. به عنوان مثال اطلاعات برداشت شده از ایستگاههاي جزر و مد در طول زمان، اندازه گیري درجه روشنایی بدست آمده از ماهوارههاي سنجش از دور در نقاط مختلف، بررسی سیگنال امواج دریافتی از ماهوارههاي سیستم تعیین موقعیت جهانی در طول زمان و دیگرها از جمله این کاربردهاست. آنچه تحت عنوان اهداف این اندازهگیریها مطرح است، در چهار سؤال زیر خلاصه میشود:
-1 چه مؤلفه هایی در سري اطلاعاتی بدست آمده موجود است؟
-2 یک مؤلفه بخصوص در فضاي آرگومان، در کجا رخ میدهد؟
-3 یک مؤلفه بخصوص درفضاي فرکانس، در کجا رخ میدهد؟
-4 یک فرکانس بخصوص در کدام قسمت از فضاي آرگومان رخ میدهد؟
پاسخ به سؤال اول نیازمند دانش اولیه در مورد طبیعت سري اطلاعاتی است. این دانش اولیه منجر به انتخاب توابع پایه مناسب جهت تقریب سري اطلاعاتی خواهد گردید که مساله بسیار مهمی است. استفاده از این تقریب پاسخگوي سؤال دوم نیز میباشد. راه حل سؤال سوم استفاده از تبدیل فوریه یا تبدیل کمترین مربعات بویژه در حالتی که سري اطلاعاتی ماهیت تناوبی داشته باشد است. به عبارت دیگر این روشها امکان تعیین مؤلفه هاي مشخص در فضاي فرکانس را فراهم میآورند. اما با استفاده از دو تبدیل فوق امکان تشخیص اینکه آیا یک فرکانس خاص در قسمتی از سري اطلاعاتی یا در تمامی آن وجود دارد، میسر نمیباشد. بنابراین براي پاسخگویی به سؤال چهارم نیازمند بکارگیري روشهاي دیگر هستیم. از جمله این روشها میتوان STFT و تبدیل موچک را نام برد.
پدیدههاي مکانی بسیاري در GIS وجود داشته که با مطالعه مولفه هاي متناوب زمانی، مکانی و یا هر دو آنها، می توان اطلاعات مفیدي را استخراج کرد. تبدیل موجک بر روي این اطلاعات که به صورت یک سري زمانی یا مکانی ارائه شده اند، اعمال شده و نتایج قابل استفاده بدست می آیند. موارد زیر مثالهایی از اینگونه پدیده ها می باشند.
-1حرکت وسایل نقلیه عمومی در شهر که در زمان و مکان تکرار میشوند. -2 ترافیک شهري که در زمان و مکان تکرار میشود.
-3 کاربریهاي شهري که در مکان تکرار میشوند.
در این مقاله نحوه تخصیص اتوبوسها به ناوگان حمل و نقل با استفاده از تبدیل موجک بررسی شده است.
-2 مبانی
-1-2 آنالیز طیفی فوریه و فوریه زمان کوتاه
اکثر سریهاي اطلاعاتی که مورد بررسی قرار میگیرند در فضاي آرگومان هستند که همواره بهترین نوع نمایش آنها نمیباشد. به عبارت دیگر در بسیاري از موارد، اطلاعات قابل استفاده زیادي از سیگنال در دامنه فرکانس آنها نهفته است. هدف از آنالیز طیفی پیدا کردن فرکانسهاي مجهول سیگنال است.[1] آنالیز طیفی را میتوان اولین گام در تجزیه تابع f - x - به جملات مثلثاتی مجزا دانست. حل دقیق این مساله بندرت امکان پذیر است. از جمله روشهاي حل این مساله میتوان به آنالیز هارمونیک، آنالیز طیفی کمترین مربعات و آنالیز طیفی فوریه اشاره کرد.[2] بطور کلی میتوان سریهاي اطلاعاتی را به دو بخش تقسیم کرد:
-1 سریهاي اطلاعاتی ایستا
-2 سریهاي اطلاعاتی ناایستا سریهاي اطلاعاتی ایستا به سریهایی اطلاق میشود که فرکانسهاي موجود در آنها در تمامی نقاط فضاي آرگومان رخ میدهند. سریهاي اطلاعاتی ناایستا به سریهایی اطلاق میشود که فرکانسهاي موجود در آنها در نقاط مختلف فضاي آرگومان رخ میدهند. در صورتی که هدف از آنالیز یک سري اطلاعاتی تنها آشکارسازي فرکانسهاي موجود در آن باشد، روش بکار گرفته شده در آنالیز سریهاي اطلاعاتی ایستا و ناایستا میتواند یکسان باشد. براي این منظور میتوان از تبدیل فوریه استفاده کرد. اما اگر هدف از آنالیز سري اطلاعات آشکارسازي محل بوقوع پیوستن هر فرکانس در فضاي آرگومان باشد، تقسیم بندي ارائه شده در مورد سریهاي اطلاعاتی از نقطه نظر ایستا یا ناایستا بودن باید مورد توجه قرار گیرد. در سریهاي اطلاعاتی ایستا میتوان با استفاده از تبدیل فوریه نیز به جواب دلخواه رسید. زیرا با استفاده از تبدیل فوریه فرکانسهاي موجود در سري اطلاعاتی آشکار میشوند و نیز میدانیم که این فرکانسها در تمامی نقاط فضاي آرگومان رخ میدهند. اما در بررسی سریهاي اطلاعاتی ناایستا پاسخگویی به این سؤال با بکارگیري تبدیل فوریه امکان پذیر نیست. بنابراین در بررسی این نوع سریهاي اطلاعاتی باید به دنبال راه حلهایی گشت که امکان موضعی سازي زمان- فرکانس را فراهم آورند.
یکی از روشهاي حل این مساله تبدیل سري اطلاعاتی ناایستا به بخشهاي ایستا است. براي این منظور از یک تابع پنجره استفاده میشود، که با ضرب کردن آن در سري اطلاعاتی، میتوان آن را در فضاي آرگومان محدود کرد. اگر از نتیجه این حاصلضرب تبدیل فوریه گرفته شود، میتوان از طیف حاصله به عنوان طیف سري اطلاعاتی در بازه زمانی تعریف شده توسط تابع پنجره تعبیر کرد. از این تبدیل به عنوان تبدیل فویه زمان کوتاه نام برده میشود. همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است، در این تبدیل یک سري اطلاعاتی به بخشهاي کوچک تقسیم میشود و سپس از هر بخش تبدیل فوریه گرفته میشود.
شکل - 1 روند تبدیل فوریه زمان کوتاه[8]
بطور خلاصه میتوان گفت STFT ابزاري مناسب جهت آنالیز سریهاي اطلاعاتی است که اجزاي آن ماهیت تناوبی داشته باشند و دادههاي آن عجیب و غریب نباشند.[7] مشکل موجود در STFT انتخاب تابع پنجره است. آنچه مسلم است، اینست که براي رسیدن به تقسیم بندي زمانی مناسب باید از یک پنجره کوچک استفاده کرد و براي اندازه گیري دقیق یک فرکانس باید از یک پنجره به اندازه کافی بزرگ استفاده کرد. بنابراین یک رابطه عکس بین دقت زمانی و دقت فرکانسی وجود دارد.
-2-2 تئوري موجک
زمینه ریاضی آنالیز موجک به کار Joseph Fourier در قرن نوزدهم برمیگردد .[6] فوریه با تئوري آنالیز فرکانس اساس کار را پایه گذاري کرد، ولی کلا از دیدگاه تاریخی آنالیز موجک روش جدیدي است.[5] نخستین عبارت موجک در سال 1909 در پایان نامه Alfred Haar ثبت شده است. مفهوم موجک در شکل تئوري زمان حاضر بوسیله Jean Morlet ژئوفیزیکدان فرانسوي پیشنهاد شده است3]و.[ 4 تئوري موجک براي غلبه بر مشکلات تبدیل فوریه ارائه گردیده است. در این روش مسئله تقسیم سیگنال به بخشهاي مختلف با استفاده از مقیاس گذاري و انتقال دادن یک تابع حل میشود. این تابع در طول سري اطلاعاتی انتقال پیدا میکند و براي هر موقعیت آن، طیف سري اطلاعاتی محاسبه میشود. این مراحل براي توابعی با مقیاسهاي مختلف تکرار میشود و در نهایت نتیجه حاصل به صورت مجموعهاي از اطلاعات آرگومان –فرکانس بدست میآید.
گرچه تئوري موجک مبحثی در ریاضیات محض بوده اما آنچه که در اینجا بیشتر در مورد آن بحث میشود، جنبه کاربردي آن است. ویژگی اصلی تبدیل موجک در مقابل تبدیل فوریه زمان کوتاه اینست که تمامی توابع پایه از انتقال و مقیاس یک تابع - موجک مادر - بدست میآیند. توابع موجک مادر مختلفی تا کنون تعریف و استفاده شدهاند. توابع موجک با اضافه کردن دو پارامتر انتقال و مقیاس، به صورت زیر از روي موجک مادر بدست میآیند:
در این رابطه ψموجک مادر، a پارامتر مقیاس و b پارامتر انتقال است و ضریب a−1/ 2 به منظور نرمالیزه کردن مقیاسهاي مختلف اضافه شده است.
