بخشی از مقاله
خلاصه
در معادلات جریان در محیط متخلخل درشتدانه، برخی از پارامترهای فیزیکی بهصورت دقیق قابل اندازهگیری نمیباشند و دارای عدم قطعیت هستند. با استفاده از تجزیه و تحلیل عدم قطعیت میتوان عدم قطعیت در خروجی مدل را که ناشی از عدمقطعیت در پارامترهای ورودی میباشد، محاسبه کرد.
در این تحقیق در بررسی معادلات جریان در محیط متخلخل درشتدانه، از روش آماری تخمین مرتبه اول برای تجزیه و تحلیل عدم-قطعیت معادلات Stephenson، Wilkins و Adel و همچنین، از روش ترکیبی که یک روش احتمالاتی فازی میباشد، برای معادلات Stephenson و Wilkins استفاده شده است. نتایج نشان میدهند که عدم قطعیت معادلات Stephenson و Wilkins با استفاده از روش ترکیبی، که ماهیت واقعی پارامترها را بهتر شناسایی میکند، بیشتر از عدم قطعیت حاصل از روش آماری تخمین مرتبه اول میباشد. از مقایسهی نتایج سه معادله مذکور نیز مشخص میشود که معادله Adel کمترین عدم قطعیت را دارا میباشد.
-1 مقدمه
همانطور که نمیتوان از عدم قطعیتهای موجود در زندگی دوری جست، در پروژههای مهندسی نیز نمیتوان از عدم قطعیتها صرفنظر کرد. عدمقطعیت خروجی یک مدل ریاضی بهدلیل عدم قطعیت در ساختار ریاضی یک مدل و یا بهدلیل عدم قطعیت موجود در پارامترهای ورودی به آن مدل میباشد. هدف از تجزیه و تحلیل عدمقطعیت ناشی از پارامترهای ورودی، تعیین عدم قطعیت خروجی مدل با اعمال عدم قطعیت پارامترهای ورودی به آن مدل میباشد. تجزیه و تحلیل عدم قطعیت یک چهارچوب منظم و سیستماتیک برای کمی کردن عدم قطعیتهای خروجی یک مدل تهیه میکند و با استفاده از آن میتوان تأثیر پارامترهای ورودی را بر عدم قطعیت کلی خروجی مدل تعیین کرد .[1]
برای تجزیه و تحلیل عدم قطعیت، روشهای مختلفی وجود دارد که به نوع عدمقطعیت پارامترهای ورودی بستگی دارد. عدم قطعیت پارامترها را میتوان به دو گروه کلی عدم قطعیت تصادفی و عدم قطعیت غیرتصادفی تقسیم کرد. در عدمقطعیت تصادفی، خصوصیات آماری پارامتر مورد نظر با استفاده از نمونهبرداری متعدد محاسبه شده و از روشهای آماری برای تجزیه و تحلیل عدم قطعیت استفاده میشود
روشهای آماری در بسیاری از مسایل هیدرولیکی مورد استفاده قرار گرفتهاند که در ادامه به برخی از آنها اشاره میشود. در زمینه تجزیه و تحلیل عدم قطعیت سیستمهای توزیع آب میتوان به کارهای Kang و Lansey در سال [3] 2008، Kang و همکاران در سال [4] 2009 و Jankovic و همکاران در سال [5] 2000 اشاره کرد.
همچنین، در زمینه تجزیه و تحلیل عدم قطعیت مدلسازی جریان آب زیرزمینی میتوان به کارهای Crystal و همکاران در سال [6] 2010، Ye و همکاران در سال [7] 2009 و Kunstmann و همکاران در سال [8] 2002 اشاره کرد. در این تحقیقها، از روشهای آماری شبیه سازی مونتکارلو، شبیهسازی مونتکارلو با نمونهگیری مربع لاتین و تخمین مرتبه اول برای تجزیه و تحلیل عدمقطعیت مدل استفاده شده است.
عدم قطعیت غیرتصادفی، بهدلیل کمبود اطلاعات، مبهم بودن اطلاعات، استفاده از عبارات کلامی بهجای اعداد یا کسب اطلاعات بر اساس نظر افراد باتجربه ایجاد میشود .
در این گونه مسایل از روشهای حساب فازی برای تجزیه و تحلیل عدمقطعیت استفاده میشود که بر پایه تئوری فازی بنا شدهاند و پارامترهای ورودی توسط متغیرهای فازی بیان میشوند. این روشها نیز در مسایل هیدرولیکی کاربرد دارند که چند نمونه از آنها در ادامه ذکر میشوند. Revelli و Ridolfi در سال [9] 2002، Branisavljevic و Ivetic در سال [10] 2006 و Gupta و Bhave در سال [11] 2007 به تجزیه و تحلیل عدم قطعیت سیستمهای توزیع آب با استفاده از روش حساب فازی پرداختهاند.
همچنین، Abebe و همکاران در سال [12] 2000 و Kumar و Schuhmacher در سال [13] 2005 به تجزیه و تحلیل عدم قطعیت آلودگی آبزیرزمینی پرداختهاند. در زمینه تجزیه و تحلیل عدم قطعیت آلودگی جریان در رودخانهها میتوان به کارهای Ganoulis در سال [14] 2006 و Mpimpas و همکاران در سال [15] 2008 اشاره کرد.
در برخی از مسایل، ترکیبی از پارامترهای تصادفی و غیرتصادفی وجود دارد که برای تجزیه و تحلیل عدمقطعیت این گونه مسایل از روش ترکیبی که یک روش احتمالاتی فازی است، استفاده میشود. در این روش، روش حساب فازی و یکی از روشهای آماری بهصورت ترکیبی مورد استفاده قرار میگیرند. گرچه سابقه استفاده از این روش به گستردگی روشهای قبلی نیست ولی در ادامه به برخی از آنها اشاره میشود.
Zhang و همکاران در سال [16] 2009 به تجزیه و تحلیل عدمقطعیت انتقال آلاینده در جریان آب زیرزمینی پرداختهاند و از روشهای مختلف احتمالاتی فازی شامل روش تبدیل و روش ترکیبی، استفاده شده است.
Faybishenko در سال [17] 2010 عدمقطعیت موجود در معادله بیلان آب را مورد بررسی قرار داد و برای این منظور برخی از پارامترها را بهصورت فازی و برخی را بهصورت آماری درنظر گرفت و از روش ترکیبی برای تجزیه و تحلیل عدمقطعیت استفاده کرد. Li و Zhang در سال [18] 2010 جریان آبزیرزمینی را با پارامترهای غیردقیق مدل کردند که برای این منظور از یک روش احتمالاتی فازی - روش تبدیل - استفاده شده است.
در تحقیق حاضر، برای بررسی معادلات جریان در محیط متخلخل درشتدانه، از روش ترکیبی بهعنوان یک روش احتمالاتی فازی برای تجزیه و تحلیل عدم قطعیت دو معادله Stephenson و Wilkins و همچنین، از روش تخمین مرتبه اول بهعنوان یک روش آماری برای معادله Adel استفاده شده است.
برای این منظور از دادههای آزمایشگاهی تحقیق حسینی و جهانگیری در سال [19] 1390 استفاده شده که در آن، تمام پارامترها بهصورت تصادفی در نظر گرفته شدهاند و روش تخمین مرتبه اول برای تجزیه و تحلیل عدم قطعیت توصیه و مورد استفاده قرار گرفته است.
در تحقیق حاضر، پارامترها بر اساس ماهیت واقعی آنها تعریف شده و نتایج حاصل از روش احتمالاتی فازی برای دو معادله Stephenson و Wilkins و نتایج حاصل از روش آماری برای معادله Adel با یکدیگر مقایسه شدهاند. همچنین نتایج حاصل از تحقیق حاضر با نتایج حاصل از تحقیق حسینی و جهانگیری مقایسه شده است.
-2 مواد و روشها
در این بخش، ابتدا به بررسی مختصر معادلات جریان در محیط متخلخل درشتدانه پرداخته میشود. سپس، روشهای تجزیه و تحلیل عدمقطعیت شامل روش حساب فازی - به همراه مفاهیمی از تئوری فازی - ، روش تخمین مرتبه اول - بهعنوان یک روش آماری - و روش ترکیبی معرفی و مورد بررسی قرار میگیرند. در انتها، در مورد اطلاعات آزمایشگاهی و روش تولید دادههای ورودی فازی از روی نظرات کارشناسان توضیح داده میشود. دادههای ورودی فازی در روش ترکیبی مورد استفاده قرار میگیرند.
-1-2 معادلات جریان در محیط متخلخل درشتدانه
شبیهسازی جریان در محیطهای متخلخل، در شاخههای مختلف مهندسی از قبیل مهندسی زمینشناسی، مهندسی منابع آب، مهندسی شیمی، مهندسی نفت و مهندسی عمران کاربرد فراوانی دارد. از کاربردهای آن در مسائل هیدرولیکی میتوان بررسی جریان درون سدهای سنگریزهای، بندهای انحرافی سنگریزهای، موجشکنها، فیلترهای شنی و گابیونهارا نام برد
یک ویژگی سازههای سنگریزهای این است که جریان در محیط متخلخل از قانون خطی دارسی پیروی نمیکند و معادله جریان غیردارسی که غیرخطی میباشد، بر آن حکمفرما است. یک روش رایج برای محاسبه پارامترهای هیدرولیکی استفاده از روابط تجربی است که خواص فیزیکی و هندسی محیط را در ساختار خود دارند. در ادامه سه معادله تجربی که پیشبینی بهتری از جریان در محیط متخلخل انجام میدهند و از مقبولیت بیشتری در کاربرد عملی برخوردارند و در این تحقیق استفاده شدهاند، مورد بررسی قرار میگیرند.
-1 معادله :Stephenson
-2 معادله :Wilkins
-3 معادله :Adel
که در روابط - 1 - ، - 2 - و - 3 - ، i گرادیان هیدرولیکی، V سرعت دارسی، n تخلخل، لزجت جنبشی سیال، g شتاب جاذبه زمین، d اندازه میانگین هارمونیک مصالح، K t فاکتور اصطکاک در ناحیه جریان آشفته، W مقدار ثابتی که در دستگاه بین المللی آحاد - SI - برابر 5/243 است، d15 اندازه مصالح که 15 درصد مصالح از نظر وزنی از آن ریزتر هستند، میباشند. پارامتر کلیدی در رابطه ویلکینز m میباشد که توسط رابطه زیر بهدست میآید:
که در آن، e نسبت تخلخل، re راندمان نسبی سطح ذرات میباشد که انحراف شکل و سطح یک ذره را از یک ذره کروی صاف مشخص میکند.
این پارامتر برای کره صاف برابر 1، برای سنگ آهک شکستهتقریباً برابر 1/6 و تا حدود 2 برای سنگهای شکسته میتواند در نظر گرفته شود. همچنین، K t نیز به انحراف شکل یک ذره از یک ذره کروی صاف بستگی دارد بهنحویکه برای کره صاف 1 و برای سنگهای شکسته و گوشهدار 4 توصیه شده است
همانطور که در روابط مذکور مشاهده میشود، پارامترهای متعددی در معادلات جریان در محیط متخلخل درشتدانه مورد استفاده قرار می-گیرند. برخی از این پارامترها در معرض عدمقطعیت بوده و بهصورت دقیق قابل اندازهگیری نمیباشند. از پارامترهای دارای عدمقطعیت، میتوان به پارامترهای d ، n ، K t ، re و d15 اشاره کرد. اگر به ماهیت این پارامترها دقت شود، پارامترهایی چون d ، n و d15 که با اندازهگیریهای مکرر میتوان به مقادیر واقعی آنها نزدیک شد، از ماهیت تصادفی برخوردار هستند ولی پارامترهای K t و re که راه عملی برآورد آنها استفاده از نظر کارشناسان خبره میباشد، از یک ماهیت غیرتصادفی برخوردار باشندمی که عملاً اهمیت مطالعه حاضر در استفاده از روش ترکیبی را کاملاً برجسته میکند.
باید توجه داشت که در معادلات مذکور سرعت بهعنوان یک پارامتر قطعی در نظر گرفته میشود. لازم به توضیح است که با درنظر گرفتن عدمقطعیت برای پارامترهای ورودی هر یک از معادلات جریان، خروجی معادله که گرادیان هیدرولیکی میباشد، در معرض عدمقطعیت قرار میگیرد که با استفاده از روشهای تجزیه و تحلیل عدمقطعیت، عدمقطعیت خروجی معادله محاسبه میشود.
-2-2 روشهای تجزیه و تحلیل عدم قطعیت
در این بخش، ابتدا روش تخمین مرتبه اول - بهعنوان یک روش آماری - که در تحقیق حسینی و جهانگیری [19] مورد استفاده قرار گرفته، بررسی میشود. سپس، روش حساب فازی که در روش ترکیبی مورد استفاده قرار گرفته، توضیح داده میشود. در انتها نیز روش ترکیبی که در تحقیق حاضر به مسئله اعمال شده است، بیان میشود.
-2-2-2 روش تخمین مرتبه اول
در تحقیق حسینی و جهانگیری از روش تخمین مرتبه اول برای تجزیه و تحلیل عدم قطعیت استفاده شده است. در این روش، میزان عدم قطعیت خروجی یک مدل بر اساس ویژگیهای آماری پارامترهای تصادفی مدل تخمین زده میشود. نظریهی اصلی این روش، تقریب مدل دارای پارامترهای تصادفی با استفاده از بسط سری تیلور میباشد. فرض کنید که کمیت هیدرولیکی یا هیدرولوژیکی W به N متغیر تصادفی بهشکل رابطه زیر مرتبط باشد:
که در آن، X = - X1 , X2 ,...,X N - t ، یک بردار ستونی N بعدی از پارامترهای مدل است بهطوریکه تمام X ها در معرض عدمقطعیت میباشند. بالانویس t نشان دهندهی ترانهاده ماتریس یا بردار است. در رابطه - 5 - ، W میتواند i یعنی گرادیان هیدرولیکی در هر یک از معادلات جریان در محیط متخلخل درشتدانه و پارامترهای X1 , X2 ,..., XN میتوانند پارامترهای فیزیکی ورودی به مسئله باشند. بسط سری تیلور مرتبه اول تابع g - X - نسبت به نقطه X = x 0 در فضای پارامتری بهصورت رابطه زیر بیان میشود:
که در آن، s 0 بردار ستونی از ضریب حساسیت است که هر المان آن بهصورت ∂W نشان داده میشود و در نقطه X = x 0 محاسبه میشود.
میانگین و واریانس W با استفاده از روش تخمین مرتبه اول بهصورت روابط زیر بیان میشوند
