بخشی از مقاله
چکیده -
امواج سطحی در مرزهای جدایی بین دو محیط تشکیل می شوند. پروفسور تم نشان داد که در مرز ساختارهای تناوبی - کریستال - واقعی امواج سطحی به صورت یک نقص کریستال به وجود می آیند و روشی را برای محاسبه آنها در چارچوب حل معادله شرودینگر ارائه نمود. این حالتهای سطحی به نام حالتهای تم معروف اند. در این مقاله با کمک روش عددی اجزای محدود و اعمال شرایط مرزی مناسب برمعادله هلمهوتز برای بلور فوتونی مربعی، وجوه حالات سطحی تم مطالعه و محاسبه گردیده است.
کلید واژه- حالت سطحی، بلور فوتونی، روش اجزای محدود. کد 240.0240-230.0230 - PACS
-1 مقدمه
از آنجا که بلورهای فوتونی واقعی دارای مرزهای مشخص هستند، این سوال به وجود میآید که چگونه ساختار نواری یک بلور فوتونی واقعی از ساختار نواری یک بلور نامحدود تشخیص داده میشود؟ تم >1@ در سال 1932 به این سوال با استفاده از مدل کرونیک-پنی برای پتانسیل حاکم بر رفتار بلورهای حالت جامد و برای حل معادله شرودنگر اینگونه پاسخ داد که با مقایسه ساختار نواری بلور محدود با ساختار نواری بلور نامحدود، وجوهی را در نوار گاف انرژی مییابیم که برای بلور نامحدود به هیچ وجه قابل دسترسی نیستند. این وجوه همان وجوه ناشی از اثرات وجود سطحاند که به عنوان حالات سطحی شناخته میشوند.
بلورهای فوتونی ساختارهای تناوبی از ضریب شکست نورند، تناوبی بودن ساختار این نوع بلورها، - شکل - 1، باعث ایجاد خواص منحصر به فردی برای هدایت نور در آنها میشود، که این خود عامل وجود کاربردهای فراوان این ساختارها در دهههای اخیر است. با توجه به محدود بودن ساختار بلورهای فوتونی در کاربردهای واقعی آنها، محاسبهی وجوه سطحی در آنها ضروری است. روشهای حل تحلیلی و عددی متنوعی برای محاسبه وجوه سطحی وجود دارند که تقریب الکترون تقریبا آزاد - NFE - ، ترکیب خطی اوربیتالهای اتمی - LCAO - ، روش تفاضلی در ناحیه زمان - - FDTD و روش اجزای محدود - FEM - از مهمترینِ آنها هستند. در این مقاله روش اجزای محدود نردهای برای حل معادلهی هلمهولتزِ مربوط به مؤلفهی عمودی میدان الکتریکی کدنویسی شده است که منجر به تبدیل معادلهی هلمهولتز به یک معادله ی ویژه مقداری ماتریسی میشود. به دلیل محدود بودن ساختار شبکه، مناسبتر دیدیم که از یاختهی واحد شبکه استفاده نکرده و کل ساختار را مورد بررسی قرار دهیم.
-2 فرمولبندی
در محیطهایی که ثابت دیالکتریک آنها در راستای انتشار موج الکترومغناطیسی یکنواخت است، در صفحه عمود بر راستای انتشار میدان، میتوان میدان الکتریکی و مغناطیسی به صورت:[2]نوشته می شود که مولفه بردار موج در راستای انتشار است. با توجه به تقارنهای حاکم بر ساختار مورد بررسی، میدان را در دو حالت میدان الکتریکی عرضی - TE - و میدان الکتریکی طولی - TM - ، در نظر میگیریم. در یک محیط همگن و در غیاب چگالی بار الکتریکی و چگالی جریان سطحی، با توجه به معادلات ماکسول که در هر مسئله الکترومغناطیس کلاسیکی معتبرند، به معادله
-3 روش عددی اجزای محدود
روش اجزای محدود یک مدل کاربردی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با استفاده از حساب وردشی است. نرم افزاری به نام سینا تهیه شده که بتوان روش اجزای محدود را در حل معادلات ماکسول به کار برد.تحلیل مسائل مقدار مرزی به روش اجزای محدود شامل گامهای اساسی زیر میباشد:
-1-3 تشکیل زیر دامنهها
این مرحله از اهمیت خاصی برخوردار است، از این جهت که درست کردن یک شبکه خوب برای هندسههای گوناگون و پیچیده کارِ سادهای نبوده و بسیار وقت گیر میباشد. از طرف دیگر شبکهی تولید شده باید با مسئله و ویژگیهای فیزیکی آن بهخوبی سازگار باشد . کیفیت و دقتِ جوابهای بدست آمده بهشدت به شبکهی استفاده شده بستگی دارد. در این مقاله، ساختار بلور فوتونی را با اجزای مثلثی سه نقطهای شبکه بندی کردهایم و در مرز جدایی بلور و محیط خارج از اجزای بینهایت - شکل - 2 استفاده مینماییم .[3] با رعایت تمام نکات ذکر شده برای شبکه بندی، شبکه حاصل به صورت شکل 3 است.
-2-3 انتخاب توابع درونیابی
گامِ دوم در روش اجزای محدود انتخاب یک تابع درونیابی است که امکان تقریب جواب مجهول را در داخل جزء محدود فراهم میسازد. درونیابیمعمولاً به صورت یک چندجملهای درجه اول - خطی - ، درجه دوم یا درجات بالاتر انتخاب میشود ×چند جملهایهای درجات بالاتر اگر چه خیلی دقیق هستند،معمولاً فرمولنویسی پیچیدهتری نسبت به چند جملهایهای درجات پائین تر دارند، به همین دلیل درونیابی سادهی خطی بیشترین کاربرد را دارد. تابع درونیابی برحسب چند جملهایها به صورت کلی:
تعریف میشود که n تعداد گرههای جزء eام، ie مقدار میدان در گره iام و N ie تابع درونیابی برای این گره بوده که متناسب با مسئله انتخاب میشود. چرا که نوعتابعدرونیابیِ انتخاب شده تعیین کنندهی نوع جزء محدود است.
-3-3 فرمولبندی معادلات از طریق یک روش وردشی مانند روش گلرکین گام سوم در روش اجزای محدود، فرمولبندی معادلات سیستم است. معادله دیفرانسیل ]ُ:[ را فرض کنید. با بهکار بردن روش باقیماندههای وزندار، باقیماندهی وزندار برای جزء eام، به صورت:بوده که w i همان تابع وزن یا تابع آزمون است.اکنون با جایگذاری رابطه - 4 - در رابطه - 6 - و با استفاده از روش گلرکین که برای آن توابع وزن همان توابع پایهای انتخاب میشوند که برای تقریب متغیر در نظر گرفته میشود، خواهیم داشت:
