بخشی از مقاله
خلاصه
در تحلیل صفحات خمشی روشهای عددی مانند اجزاء محدود و تفاضل محدود به خوبی گسترش یافته است. در طول دهه ی گذشته، روش اجزای مرزی به عنوان یک روش عددی مناسب برای تحلیل مسائل صفحهی نازک الاستیک ایجاد شده است.
در این پژوهش، تحلیل صفحات مستطیلی با مرزهای اختیاری - گیردار ساده - به روش اجزای مرزی، انجام شده است . روش اجزای مرزی مستقیم براساس اتحاد گرین، برای دستیابی به یک زوج معادلهی انتگرالی مربوط به جابجایی، شیب متوسط و دو تابع دیگر - لنگر خمشی و نیروهای برشی - روی مرزهای موجود به کار رفته است.
یک نمونهی سادهی گسسته سازی شرح داده شده و برنامهای به زبان MATLAB برای پیادهسازی عددی و تحلیل صفحهی مستطیلی با شرایط مرزی و بارگذاری دلخواه تهیه شده است. چند مثال عددی برای تحلیل استاتیکی صفحهی مستطیلی داده شده و نتایج حاصل ارائه گردیده است. علاوه بر این، مقدار حداکثر خیز و لنگر با مقادیر به دست آمده از روشهای تحلیلی و برنامهی SAP مقایسه و مشاهده شده است که نتایج عددی بسیار نزدیک به مقادیر حاصله از فرمول دقیق میباشد.
.1 مقدمه
در میان روشهای عددی، روش اجزای مرزی به یک ابزار مستقل برای مدلسازی عددی سازهها تبدیل شده است، این روش به یک گسستهسازی پرمرتبه نیاز ندارد. در این روش معادلهی دیفرانسیل حاکم بر صفحه، به یک معادلهی دیفرانسیل حاکم بر مرزهای آن تبدیل میشود. در گام بعدی شبکهبندی مرزهای صفحه با استفاده از المانهای مرزی صورت گرفته و سپس درایههای ماتریس مشخصهی روش اجزای مرزی، برای یکایک درجات آزادی تعریف شده، محاسبه میگردند.
با انجام این کار، معادلهی دیفرانسیل حاکم بر صفحه، به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل میشود که پاسخهای آن تغییرمکانها، برشها و لنگرهای نقاط مرزی صفحه است و برای محاسبهی مجهولات در نقاط داخلی حوزه، کافی است از حل اساسی یا همان تابع گرین متناظر با معادلهی دیفرانسیل اصلی بهره جست.
روش اجزای مرزی مزایای قابل توجهی نسبت به روشهای دامنهای مانند اجزای محدود و تفاضلات محدود دارا میباشد، زیرا تنها در آن گسستهسازی مرز لازم است. این به کاهش دستگاه معادلات و اطلاعات مورد نیاز برای حل مسئله منجر میشود.
ویژگی اصلی روش المان محدود این است که معادلات دیفرانسیل حاکم بر صفحه به یکسری معادلات انتگرالی روی مرز صفحه تبدیل میشود و سپس این معادلات توسط تعدادی محدود اجزای واقع بر مرز گسسته میشوند. در نتیجه مرز صفحه با اجزایی مشابه معادل میشود. در هر نقطهی داخلی صفحه معادله دیفرانسیل حاکم برقرار است، بنابراین گسسته-سازی صفحه لازم نیست. به این ترتیب کل دامنهی صفحه یک المان محدود بزرگ میشود - شکل. - 1 این امر منجر به کاهش قابل ملاحظهی مجهولات و در نتیجه کاهش زمان محاسبه میگردد.
شکل.1 گسسته سازی مرز صفحه
پایهی روش اجزای مرزی، گسستهسازی این مرز با تعدادی قطعه است که الزاماً طولهای یکسان نداشته و به آنها جزء مرزی میگویند. دو گونه تقریب ناشی از این گسستهسازی وارد حل میشود. تقریب نخست ناشی از هندسهی مرز است و دیگری به چگونگی تغییرات مجهول مرزی مسئله بر روی جزء مرزی، وابسته خواهد بود. اجزای مرزی متداول، اجزای ثابت، اجزای خطی و اجزای درجه دو - سهمی - ، هستند. هر جزء دارای نقاط کرانه یا انتهایی و همچنین، گرهها یا نقاط گرهی میباشد. گرهها نقاطی هستند که کمیتهای مرزی - مجهولات روی مرزها - در آنجا محاسبه خواهد شد.
در این مقاله، حل عددی معادله ی انتگرالی فقط به کمک اجزای مرزی ثابت ارائه شده است.
.2 معادله حاکم بر خیز صفحات
صفحات مانند تیرها، تحت بارهای عمود بر سطح خود خم میشوند و علاوه بر تولید لنگر و نیروهای داخلی برشی دچار انحنا میگردند. تفاوت اساسی بین یک صفحه و یک تیر، دوبعدی عمل کردن صفحه است. یک صفحه به علت وجود تکیهگاه در پیرامون آن، دو انحنای خمشی دارد و علاوه بر آن، انحنای پیچشی نیز پیدا میکند. بنابراین، قبل از رسیدگی به تحلیل خمش صفحهها و معادلهی تعادل آنها، لازم است روابط اساسی خمش صفحات که در واقع روابط بین لنگرهای خمشی و انحناهای خمشی، و همچنین روابط بین لنگر پیچشی، لنگرهای خمشی و انحنای پیچشی است شناخته شوند.
معادلهی دیفرانسیل حاکم بر خیز صفحات نازک به صورت زیر تعریف میشود.
برای محاسبهی w باید از این معادله انتگرالگیری کرد، که ثابتهای انتگرالگیری به شرایط مرزی مناسب بستگی دارد. توزیع تنش در صفحه باید چنان باشد که شرایط تعادل بر حسب نیروها و تغییرمکانهای معین شده در مرز نیز برآورده شود. از آنجا که معادلهی - 2 - دارای مرتبهی چهار است، حل آن منوط به ارضای دو شرط مرزی در هر لبه است. این شرایط ممکن است یک خیز و یک شیب معین باشد، یا نیرو و لنگر و یا ترکیبی از آنها.
.3 تحلیل استاتیکی
راه حلی که برای مسئلهی خمش پیشنهاد شده است، به وسیلهی معادله دیفرانسیل زیر معین میشود:
اگر بتوان حلی برای w - x, y - به دست آورد که معادلهی - 3 - و شرایط مرزی داده شده را برآورده سازد، لنگرهای خمشی، لنگر پیچشی و نیروهای برشی به صورت جملاتی که تابع w هستند، معرفی میشوند.
