بخشی از مقاله
چکیده
صفحات مستطیلی در شاخههای مختلف مهندسی نظیر عمران و مکانیک به دلیل کاربرد وسیعشان همواره مورد توجه محققین و طراحان میباشد. تحلیل این سازهها با ضخامت کم، به دلیل رفتار دوبعدی آنها در قیاس با تیرها پیچیدهتر بوده که این پیچیدگی چنانچه روشهای حل دقیق مدنظر باشد با افزایش ضخامت سازه، به دلیل اثر کرنش برشی، و نیز غیر همگنی مصالح تشکیل دهنده صفحه به مراتب بیشتر میگردد. ضمن اینکه استفاده از تئوری صفحات نازک حتی برای صفحات نازک غیر همگن استفاده از نتایج حاصله را با تردید جدی مواجه میکند.در این تحقیق حل دقیق صفحات مستطیلی ضخیم مدرج تابعی - FGM - با استفاده از توابع پتانسیل تغییرمکان ارائه میشود.
تغییرات مدول یانگ در جهت ضخامت به صورت توزیع نمایی و نسبت پواسون ثابت فرض میشود. صفحه مورد بررسی یک صفحه مستطیلی ایزوتروپ ولی ناهمگن میباشد که در چهار لبه روی تکیهگاه ساده قرار گرفته و تحت بارگذاری استاتیکی میباشد. با استفاده از توابع پتانسیل تغییرمکان، معادلات حاکم به دو معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دو و چهار تبدیل گشته که با استفاده از روش جداسازی متغیرها و اعمال دقیق شرایط مرزی حل میشوند. برای بار استاتیکی و براساس روابط حاکم، تغییرمکان قائم در مرکز صفحه به ازای درجات ناهمگنی مختلف تعیین و نتایج بهدست آمده با نتایج سایر کارها مقایسه میگردد.
کلمات کلیدی: حل دقیق، صفحات مستطیلی ضخیم، FGM، توابع پتانسیل تغییرمکان
.1 مقدمه
مواد مدرج تابعی - FGM1 - به عنوان نوع خاصی از مواد کامپوزیتی پیشرفته با ریزساختار ناهمگن برای اولین بار در اواخر سال 1980 توسط گروهی از دانشمندان ژاپنی به عنوان مصالح مقاوم در دمای بسیار بالا پیشنهاد شد .[1] عموما آنها ترکیبی از سرامیک و فلز هستند که مشخصات مصالح از قبیل مدول یانگ از وجه فلزی به وجه سرامیک تغییر میکند.[2] سازههای کامپوزیتی کلاسیک دارای ناپیوستگی مصالح در سطح مشترک لایهها میباشد. بنابراین میدانهای تنش در این نواحی، مشکلات سطح مشترک و تمرکز تنش حرارتی به خصوص تحت دماهای بالا را بهوجود میآورد. این مشکلات با تغییر تدریجی نسبت حجمی مصالح تشکیلدهنده میتواند کاهش یابد که مصالح FGM را برای کاربرد موردنظر مناسب میسازد. به علت تغییر پیوسته در مشخصات مصالح، سطح مشترک بین دو مصالح پیدا نمیباشد اما مشخصات دو یا چند مصالح مرکب حفظ میشوند 3]و4و.[5
اخیرا FGM کاربردهای زیادی در راکتورهای هستهای [6]، ایمپلنتهای پزشکی و دندان پزشکی [7]، وسایلهای ترموالکتریک و پیزوالکتریک [8] و دربهای ضد حریق بهدست آوردند.صفحه، سازهی سه بعدی است که در آن یک بعد به طور نسبی خیلی کوچکتر از ابعاد دیگر است. در تئوریهای دو بعدی از قبیل تئوری صفحه کلاسیک - CPT - ، تئوری صفحه تغییرشکل برشی مرتبه اول - FSDT - و تئوری صفحه تغییرشکل برشی مرتبه بالاتر - HSDT - ، فرضهایی برای بهدست آوردن روابط دو بعدی برای صفحات در نظرگرفته شدهاند. بدیهی است که پیدا کردن راه حل برای مسائل صفحه در حالت دو بعدی آسانتر ولی، به علت فرضهای ساده شونده در تئوریهای دو بعدی خطاهایی در حل رخ میدهد. با افزایش ضخامت صفحات خطاها قابل توجه و غیر قابل چشم پوشی میشوند.
یکی از روشها تحلیل دقیق صفحات ضخیم با استفاده از معادلات الاستیسیته سه بعدی برای تحلیل الاستیک صفحات میباشد که پیچیدگیهای قابل توجهی در روابط وارد ولی نتایج کاملا دقیق خواهند بود .[2]معادلات حاکم بر تئوری صفحات از سه روش حل میشود : روشهای عددی 11]و[12 - برای مثال روش انرژی ریتز، روش المان محدود، روش دیفرانسیل کوادریچر، روش گالرکین - ، روشهای نیمه تحیلی 13]و[14 - برای مثال روش سریهای توانی - و روش تحلیلی دقیق 15]و[16 - برای مثال روش فضای حالت و معادلات سه بعدی الاستیسیته - . بدیهی است راه حل دقیق برای مسائل صفحه FGM بدون هر گونه فرض ساده شونده مطلوب محققین و طراحان میباشد .[17]
اینگلند در سال 2006 راه حل الاستیسیته سه بعدی با استفاده از روش متغیر مختلط برای تحلیل خمش صفحات FGM ایزوتروپ با دو تکیهگاه روبروی ساده در معرض بارهای جانبی پیشنهاد داد .[18] در سال 2012، یانگ و همکاران روش اینگلند را برای صفحات FGM شامل مصالح با مشخصات ایزوتروپ جانبی تعمیم دادند .[19] ژان و شان راه حل دقیق سه بعدی برای صفحات مستطیلی FGM با تکیهگاه ساده با تغییرات مشخصات مصالح در طول ضخامت ارائه کردند.[20] با استفاده از روش تابع تنش، لی و همکاران راه حل های الاستیسیته برای صفحات دایرهای FGM ایزوتروپ جانبی در معرض بار به فرم بهدست آوردند که در آن صفر یا عدد زوج صحیح است.[21]
هاشمی و همکاران با استفاده از تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول راه حل تحلیلی برای ارتعاش آزاد صفحه نسبتا ضخیم FGM بر روی بستر الاستیک پسترناک و بستر وینکلر ارائه دادند .[22] چن و بادرا معادلات میدانی را برای صفحات FGM با بهکار بردن تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول و مرتبه سوم بهدست آوردند و نتایج را برای صفحه چند ضلعی با تکیهگاه ساده ساده سازی و روابطی بین خیز صفحه FGM و صفحه کیرشهف همگن معادل آن ارائه نمودند.[23] پن راه حل دقیق برای لمینتهای کامپوزیت الاستیک غیر ایزوتروپ تابعی پیشنهاد داد. پن، راه حل پاگانو را به FGM تعمیم داد 24]و25و.[26 راه حل الاستیسیته سه بعدی بهوسیلهی کشتالین برای صفحه FGM با تکیهگاه ساده تحت بار گسترده جانبی پیشنهاد شد. این راه حل برای پانل ساندویچی با هستهی FG به وسیلهی کشتالین و منشایکو تعمیم داده شد27]و.[28
لو و همکاران آنالیز خمشی نیمه تحلیلی صفحات FGM چند جهته ارتوتروپیک بر روی تکیهگاه روبروی ساده را ارائه کردند .[29] واقفی و همکاران روش عددی پتروگالرکین محلی بدون مش بندی - MLPG - را برای تحلیل استاتیکی سه بعدی صفحات ضخیم FGM استفاده کردند. آنها دو شیوهی MLPG تحت عنوان MLPG1 وMLPG5 را بسط دادند .[2] بینا و پرواتی روش spline finite strip را برای آنالیز خمش صفحات FGM با استفاده از تئوری صفحه کلاسیک ارائه دادند.[30]روشهای تحلیلی عمدتا برای مسائل با هندسه و شرایط مرزی ساده قابل استفاده میباشد.[2] به طور نسبی تعداد کمی راه حلهای تحلیلی دقیق وجود دارند که به طور مستقیم بر اساس تئوری الاستیسیته استنتاج شدهاند و میتوانند به عنوان معیار برای اعتبار سنجی تئوریهای تقریبی مختلف صفحات یا روشهای عددی بهکار رود.
استفاده ازتوابع پتانسیل یکی از روشهای حل تحلیلی مسائل الاستیسیته میباشد که به کمک آن معمولا دستگاه معادلات دیفرانسیل بر حسب این توابع به صورت مستقل و یا حداقل سادهتر در میآیند. اسکندری قادی و امیری با استفاده از توابع پتانسیل تغییر مکان به بررسی انتشارات موج در محیط نیمه بینهایت ایزوتزوپ جانبی مدرج نمایی پرداختند .[31] نوایی نیا و همکاران حل دقیق کمانش صفحات مستطیلی ضخیم ایزوتروپ کامل را با استفاده از توابع پتانسیل تغییر مکان ارائه نمودند 32]و.[33 نوایی نیا با استفاده از توابع پتانسیل تغییر مکان به حل دقیق ارتعاش آزاد صفحات ایزوتروپ مستطیلی ضخیم بر روی تکیهگاههای ساده پرداخت .[34] یخکشی و نوایی نیا معادلات حاکم بر میکرو صفحات را با استفاده از توابع پتانسیل تغییر مکان انجام دادند.[35]در این مقاله از توابع پتانسیل تغییر مکان که برای مصالح غیر همگن ایزوتروپ جانبی بهدست آمده جهت حل دقیق صفحات FGM ضخیم استفاده شده است . استفاده از این توابع، این امکان را میدهد که بدون هر گونه فرض ساده شوندهای، برای صفحات با ضخامت دلخواه با اقناع دقیق شرایط مرزی، حل دقیقی بهدست آید.
.2تئوری
صفحه مستطیلی به ضخامت h، شامل مصالح الاستیک خطی و ایزوتروپ ناهمگن بر روی تکیهگاههای ساده، مطابق شکل - 1 - در نظر گرفته میشود. ابعاد صفحه شامل طول، عرض و ضخامت در جهت x,y,z، به ترتیب a,b,h است.به منظور تحلیل صفحه از توابع پتانسیل تغییر مکان اسکندری قادی استفاده شد که برای محیط ایزوتروپ جانبی و غیر همگن معرفی و در این پژوهش برای صفحه مستطیلی ایزوتروپ ناهمگن ساده گردیده است. مطابق تابع پتانسیل مذکور، تغییر مکان یک محیط دلخواه ایزوتروپ ناهمگن بر حسب توابع پتانسیل و در غیاب نیروهای جسمی به فرم روابط - 1 - تعریف شده است :[31]
