بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله صفحه تختی با جریان آرام و دائم و یکنواخت از سیال تراکم ناپذیر در نظر گرفته شده است. حل های تشابهی زیادی برای لایه مرزی هیدرودینامیکی و حرارتی ارائه شده است. در این مقاله نیز، حل تشابهی معادله انرژی ارائه و به بررسی لایه مرزی حرارتی در صفحه تخت ساکن و متحرک پرداخته شده است. از آنجا که در ارتباط با لایه مرزی چگالی، بررسی های زیادی صورت نگرفته است، تمرکز مقاله بر حل تشابهی معادله چگالی و بررسی نتایج حاصل از حل تشابهی معادله چگالی در دو حالت ٌ, - صفحه ساکن و ٍ - صفحه متحرک بوده است.
واژه های کلیدی:جریان آرام، حل تشابهی، لایه مرزی هیدرودینامیکی، لایه مرزی حراراتی، لایه مرزی چگالی، صفحه تخت متحرک و ساکن
مقدمه
مسئله لایه مرزی هیدرودینامیکی و حرارتی بر روی یک صفحه تخت در یک جریان آرام و یکنواخت یکی از مسائلی است که بطور کامل مورد تحقیق و بررسی قرار گرفته است. در جریان های بلازیوسٌ و ساکیادیسٍ لایه مرزی بر روی صفحه تخت ساکن در جریان یکنواخت و همچنین لایه مرزی بر روی صفحه تخت متحرک در سیال ساکن نیز به طور گسترده ای مورد مطالعه و بررسی واقع شده است]ٌ-ُ. [ اگرچه مسئله عبور جریان آرام بر روی صفحه تخت ساکن ابتدا توسط بلازیوس]ٍ[ در سال ًٌَُ حل شد , اما بعد از وی تحقیقات زیادی بر روی این مسئله انجام شده است ]ِ-ًٌ .[ این در حالی است که اخیرا بررسی های زیادی بر روی مسئله لایه مرزی هیدرودینامیکی و حرارتی بر روی صفحه تخت در جریان آرام صورت گرفته است ]ٌٌ-ٌُ. [ حل تشابهی لایه مرزی حرارتی برای مواردی که دمای سطح ثابت است به طور گسترده ای در کتاب های مرجع]ًٍ,ٌٍ[ و]ٍٍ[ ارائه شده است.
بجانَ]ٍَ[ و همچنین ]ٍُ,ٍِ[ در ارتباط با لایه مرزی حرارتی و حل تشابهی آن در شرایطی که شارر حرارتی ثابت به صفحه اعمال می شود, با در نظر گرفتن متغیر های دمایی تشابهی مختلفی بررسی های زیادی انجام داده اند.در این مقاله لایه مرزی چگالی در ٍحالت مختلف بررسی شده است : ٌ - صفحه ساکن; در این حالت به بررسی ضخامت لایه مرزی چگالی و تاثیر عددهای اشمیتُ]ًٍ[ مختلف , بر روی آن پرداخته شده است و در انتها عدد بی بعد شروودِ]ًٍ[ ارائه شده است. ٍ - صفحه متحرک; در این حالت به بررسی ضخامت لایه مرزیچگالی در یک عدد اشمیت خاص و در سرعت های متفاوتی از صفحه پرداخته شده و تاثیر آن بر روی عدد شروود ارائه گردیده است.لایه مرزی حرارتی نیز در دو حالت زیر بررسی خواهد شد :
صفحه ساکن; در این حالت به بررسی ضخامت لایه مرزی حرارتی و تاثیر عددهای پرانتل مختلف, بر روی آن پرداخته شده است.
صفحه متحرک; در این حالت به بررسی ضخامت لایه مرزی چگالی در یک عدد اشمیت خاص و در سرعت های متفاوتی از صفحه پرداخته شده است.
معادلات حاکم
در مسئله حاضر، یک صفحه تخت در جریانی از سیال با سرعت یکنواخت U و چگالی , A در نظر گرفته می شود. معادلات پیوستگی، مومنتوم، انرژی و چگالی توصیف این جریان به صورت زیر بیان می شود]ًٍ: [که در این معادلات, u سرعت در جهت x - به موازات صفحه - و v سرعت در جهت y - عمود بر صفحه - لزجت سینماتیکی و A چگالی سیال هستند و همچنین, DA B ضریب پخش جرمی ّسیال است.شرایط مرزی سرعت, برای حالت اول - صفحه ساکن - به صورت زیر بیان می شود:
شرایط مرزی سرعت , برای حالت دوم - صفحه متحرک - به صورت زیر بیان می شود :
برای انرژی نیز تابع وابسته را به صورت زیر تعریف می شود:
در حل تشابهی معالات با استفاده از معادلات - ٌ - - - ُ - و با توجه به تعریف عدد اشمیت خواهیم داشت :
شرایط مرزی برای معادله - ٌَ - برای حالت اول , با استفاده از معادلات - ِ - , - ّ - و - ٌِ - به صورت زیر بیان می شود :
که در این معادلات, uw سرعت صفحه و a یک عدد ثابت است.شرایط مرزی چگالی , برای هر دو حالت به صورت زیر بیان می شود :
شرایط مرزی حرارتی , برای هر دو حالت به صورت زیر بیان می شود:
برای حل تشابهی معادله مومنتوم با تعریف متغیر مستقل و تابع وابسته f برحسب تابع جریان به صورت زیر بیان می شود:
به طور مشابه برای چگالی نیز تابع وابسته را به صورت زیر تعریف می شود :
شرایط مرزی برای معادله - ٌَ - برای حالت اول , با استفاده از معادلات - ْ - , - َ - , - ُ - و - ٌِ - به صورت زیر بیان می شود :
شرایط مرزی برای معادله - ٌُ - برای هر دو حالت, با استفاده از معادلات - ًٌ - , - ٌٌ - و - ٌّ - به صورت زیر بیان می شود:
شرایط مرزی برای معادله - ًٍ - برای هر دو حالت, با استفاده از معادلات - ٌٍ - , - ٌَ - و - ٌْ - به صورت زیر بیان می شود:
حل تشابهی
معادلات - ٌَ - و - ٌٍ - مسئله کلاسیک بلازیوس را تشکیل می دهند که حل عددی آن توسط محققان بسیاری همچون کورتلَ]ٍّ[ ارائه شده است. تلاش این مقاله بر حل عددی لایه مرزی چگالی و انرژی است و همچنین با توجه به تعریف یک مسئلهجدید مبنی بر حرکت صفحه, حل عددی معادله - ٌَ - با شرایط - ٍٍ - نیز در حل لایه مرزی چگالی و انرژی وارد شده است. در این مقاله برای حل این معادلات از روش رانگ کوتا استفاده شده است. همچنین برای حل عددی, شرایط مرزی در را به 10 منتقل شده است.حالت اول - صفحه ساکن - :
در این حالت معادلات - ٌَ - و - ٌُ - با شرایط مرزیووهمچنین معادلات - ٌَ - و - ًٍ - با شرایط مرزی - ٌٍ - و - ٍُ - به طور همزمان حل شده. برای بررسی بیشتر و مقایسه بهتر, از شش عدد اشمیت مختلف - َ,./ّ,./ٌ,ِ,ًٌوًٍ - برای معادله - ٌُ - استفاده و شش عدد پرانتل - ٌ/ً,ِ,./ْ,./ٌ,ًٌوًٍ - شده است.شکل - ٌ؟ٌ - نتایح برای حالت اول و شش عدد اشمیت ذکر شده می باشد. در هر منحنی اگر خط عمودی رسم شود چگالی لایهمرزی را می توان مشخص کرد. با توجه به معادله - ٌّ - و]ًٍ[ضخامت لایه مرزی چگالی زمانی محاسبه خواهد شد که0.01 باشد. بنابراین با افزایش عدد اشمیت ضخامت لایه مرزی غلظت کاهش می یابد. جدول های - ٌ؟ٌ - و - ٍ؟ٌ - داده های نتایج برای حالت اول و عددهای اشمیت ّ./ و ِ می باشند که کاهش ضخامت لایه مرزی چگالی با افزایش عدد اشمیت را می توان به صورت عدد مشاهده کرد.شکل - ٍ؟ٌ - برای حالت اول و شش عدد پرانتل ذکر شده می باشد. . در هر منحنی اگر خط عمودی رسم شود, دما لایه مرزی را می توان مشخص کرد. با توجه به معادله - ٌْ - و]ًٍ[ ضخامت لایه مرزی حرارتی زمانی محاسبه خواهد شد که 0.01 باشد. بنابراین مشاهده می شود که با افزایش عدد پرانتل , ضخامت لایه مرزی حرارتی, کاهش می یابد.
حالت دوم - صفحه متحرک - :
در این حالت, صفحه با نسبت ثابتی از سرعت جریان عبوری از روی صفحه, حرکت می کند . برای حل عددی معادلات - ٌَ - و - ٌُ - از شرایط مرزی - ٍٍ - و - ٍَ - و همچنین برای حل عدد معادلات - ٌَ - و - ًٍ - از شرایط مرزی - ٍٍ - و - ٍُ - استفاده و به طور همزمان حل شده است. برای بررسی بیشتر و مقایسه بهتر , برای سرعت صفحه چهار نوع سرعت - ِ؟ً,ٌ,ِ؟ٌوٍ - نسبت به سرعت جریان خارج لایه مرزی در نظر گرفته شده است.شکل - ٌ؟ٍ - نتایج لایه مرزی چگالی در حالت دوم و در چهار نوع سرعت ذکر شده برای حرکت صفحه و عدد اشمیت ٌ می باشد و همانطور که در حالت اول ذکر شد , ضخامت لایه مرزی چگالی در 0.01 محاسبه خواهد شد, بنابراین با توجه به شکل - ٌ؟ٍ - با افرایش سرعت, ضخامت لایه مرزی چگالی کاهش خواهد یافت.
جدول های - ٌ؟ٍ - و - ٍ؟ٍ - نتایج لایه مرزی چگالی برای حالت دوم و سرعت های صفحه ِ./ و ٍ برابر سرعت جریان خارج لایه مرزی , می باشند که کاهش ضخامت لایه مرزی چگالی را می توان به صورت عددی مشاهد کرد.شکل - ٍ؟ٍ - نتایج لایه مرزی حرارتی در حالت دوم و در چهار نوع سرعت ذکر شده برای حرکت صفحه و عدد پرانتل ٌ می باشد و همانطور که در حالت اول ذکر شد , ضخامت لایه مرزی حرارتی در 0.01 بررسی می شود , بنابراین با توجه به شکل - ٍ؟ٍ - مشاهده می شود که ضخامت لایه مرزی حرارتی با افزایش سرعت صفحه, کاهش می یابد.
عدد شروود
عدد شروود را می توان به صورت زیر تعریف کرد]ًٍ[
نتایج محاسبه
