بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله توزیع دمای پایدار ناشی از انتقال حرارت رسانشی در یک صفحه مستطیل شکل به کمک معادله انتگرال مرزی محاسبه می شود. مشخصات فیزیکی میدان حل ثابت بوده و از تغییرات آن نسبت به دما صرف نظر شده است. در این راستا ابتدا معادله انتگرال مرزی اثبات، سپس به کمک روش عددی المان مرزی مرتبه بالا حل شده و پارامترهای مجهول که شامل دما و یا مشتق عمودی آن می باشند بر روی مرز میدان حل محاسبه و در نهایت توزیع دمای داخل میدان حل مشخص شده است. در یک حالت ساده، معادله توزیع دما بصورت خطی می باشد که از این حالت برای بررسی و ارزیابی دقت روش استفاده شده است. مشابه دیگر روشهای عددی پارامترهای مورد بررسی در گره ها محاسبه می شوند که این گره ها به کمک مش بندی مشخص خواهند شد. در این مقاله یک ماکرو در نرم افزار انسیس جهت مش بندی نوشته شده که با اجرای آن پارامترهای هندسی مورد نیاز در اختیار نرم افزار مطلب قرار می گیرد و این نرم افزار به کمک برنامه نوشته شده محاسبات لازم را انجام داده و نتایج را به صورت نمودار و کانتور نمایش می دهد.
واژه های کلیدی: توزیع دمای پایدار، روش المان مرزی مرتبه بالا، معادله انتگرال مرزی
مقدمه
یکی از مهمترین پدیده های فیزیکی فرآیند انتقال حرارت رسانشی در اجسام مختلف بوده که به روشهای مختلف مورد بررسی و تجزیه و تحلیل قرار می گیرد. استفاده از روشهای عددی به جای روش تحلیلی و مقایسه آنها می تواند دقت روش عددی را مشخص کرده و این امکان را فراهم سازد تا در مسایلی که به هر دلیل، امکان استفاده از روش تحلیلی وجود ندارد از روشهای عددی استفاده نمود. یکی از روشها، استفاده از معادله انتگرال مرزی است که به کمک روش المان مرزی و شرایط مرزی موجود مقدار عددی تابع مجهول در نقاط واقع بر روی مرز را محاسبه می کند . می توان این روش را به داخل میدان حل تعمیم داد و با استفاده از مقادیر محاسبه شده بر روی مرز پارامترهای مجهول داخل میدان حل را محاسبه نمود. در مورد روش مذکور کتابهای متعددی نوشته شده است از آن جمله می توان به کتابی تحت عنوان "روش المان مرزی در مهندسی" نوشته بکر اشاره کرد که در آن به بررسی کامل این روش در حالت دو و سه بعدی پرداخته است. [1]
همچنین بربیا در کتاب "تکنیکهای المان مرزی در مهندسی" این روش را بررسی کرده است. [2] از روش المان مرزی در حل بسیاری از مسایل انتقال حرارت رسانشی استفاده شده است به عنوان مثال ماساتاکا تاناکا و همکارانش به بررسی توزیع دما ناشی از رسانش در حالت گذرا، در یک محیط دوبعدی، به کمک این روش پرداخته و اندازه المانهای را مورد بررسی قرار داده اند. [3] لارس بالتووس و همکارانش از روش المان مرزی در انتقال حرارت رسانشی استفاده کرده و در شرایط مرزی مختلف نتیجه را با روش المان محدود مقایسه نموده اند. [4] همچنین محمدی و همکاران با کمک روش مذکور مساله رسانش در یک محیط غیر همگن به همراه تولید حرارت داخلی را مورد بررسی قرار دادند. [5]
در این مقاله پس از اثبات معادله انتگرال مرزی و بررسی روش المان مرزی مرتبه بالا توزیع دما در یک میدان حل مستطیل شکل همگن با استفاده از معادله انتگرال مرزی و روش المان مرزی مرتبه بالا با شرایط مرزی مختلط محاسبه و نتایج با روش تحلیلی مقایسه شده است . بدین منظور یک ماکرو در نرم افزار انسیس جهت المانبندی میدان حل و ذخیره اطلاعات هندسی نوشته شده که نتایج حاصل از آن در نرم افزار مطلب مورد استفاده قرار می گیرد و نتایج بصورت کانتور و نمودار نمایش داده می شود.
تئوری و معادلات حاکم
در این قسمت به بیان تئوری، معادلات حاکم، معادله انتگرال مرزی و روش المان مرزی می پردازیم. در شکل شماره 1 میدان حل در حالت کلی به همراه تقسیم بندی مرز نشان داده شده است. که در این حالت شرایط مرزی اعمال شده بر روی قسمتهای مختلف مرز متفاوت خواهد بود. همانگونه که گفته شد این میدان حل دارای شرایط مرزی مختلط بوده بنابراین معادله حاکم که همان معادله لاپلاس است به همراه شرایط مرزی به صورت زیر بیان می شود. جهت حل معادله فوق از معادله انتگرال مرزی استفاده می شود. در این معادله انتگرالی به معادله اساسی انتگرال نیاز بوده که در ادامه مورد بررسی قرار می گیرد.
معادله انتگرال مرزی
همانگونه که گفته شد از معادله انتگرال مرزی جهت حل معادله لاپلاس استفاده می شود. جهت اثبات این رابطه از معادله گرین، رابطه - 6 - به همراه روابط - 1 - و - 8 - استفاده می شود که پس از جایگزینی و استفاده از خواص تابع دلتا به صورت زیر بازنویسی می گردد. [6] در رابطه بالا جهت n همواره به سمت خارج میدان حل بوده و حروف بزرگ نماینده نقاط داخل میدان حل و حروف کوچک نشان دهنده نقاط روی مرز می باشند. به این رابطه، معادله انتگرالی جهت حل معادله لاپلاس گفته می شود. از این معادله برای مشخص کردن مقادیر پتانسیل در داخل میدان حل استفاده می شود. جهت استفاده از این رابطه باید مقادیر T و T n در کل مرز مشخص باشد ولی با توجه به شرایط مرزی مختلط این امر ممکن نیست لذا باید نقطه P را به مرز انتقال داد و با توجه به شرایط مرزی پارامتر دیگر را محاسبه نمود. مادامی که نقاط P و Q از یکدیگر فاصله دارند در روابط - 8 - و r 0 - 9 - خواهد بود ولی زمانیکه این دو نقطه به یکدیگر منطبق شوند در معادله انتگرالی فوق نقطه تکین ایجاد خواهد شد جهت حل این مشکل از یک قطاع دایره ای به مرکز P و شعاع استفاده می نماییم که این موضوع در شکل 3 نشان داده شده است.
