بخشی از مقاله
خلاصه
در این مقاله، خیز استاتیکی نانوصفحهی گرافن مستطیلی تک لایه آرمچیر با فرض خواص ارتوتروپیک، مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است. به منظور بررسی خیز استاتیکی با در نظر گرفتن اثرات کوچک مقیاس در نانوصفحهی گرافن تک لایه آرمچیر، از نگره الاستیسیته غیرموضعی استفاده شده است و نیز برای رفتار حاکم بر جابجاییها و معادلات تعادل، از نگره کیرشهفی استفاده گردیده است. به دلیل آنکه برای تحلیل همهی مسائل نانو صفحهها، با شرایط مرزی و هندسی متفاوت؛ جواب دقیق در دسترس نمیباشد، بنابراین از شیوههای عددی برای بدست آوردن، پاسخهای تقریبی استفاده میشود. یکی از شیوههای برجسته و قوی برای تحلیل معادلات دیفرانسیل حاکم بر این نوع صفحهها، روش بدون شبکه است. در این پژوهش، یکی از روشهای بدون شبکه با عنوان روش حداقل مربعات گسسته برای نانو صفحات مستطیلی پیاده سازی شده و تأثیر اندازه ضریب غیرموضعی در خیز نانوصفحه مورد ارزیابی قرار گرفته است. در این پژوهش نیز به منظور اعتبارسنجی پاسخها، جوابهای دقیقی که برای شرایط مرزی دور تا دور تکیهگاه ساده با روش تحلیلی بدست آمده، با پاسخ تقریبی منتج شده از روش حداقل مربعات گسسته مقایسه شده و نتایج به صورت جداول و نمودارها ارائه گردیده است، با بررسی نمودارها و جدولها میتوان مشاهده کرد که با افزایش گرهها و نقاط نمونهگیری، پاسخها به جواب دقیقتر با سرعت بیشتری نزدیک و نزدیکتر میشود. با توجه به نتایج میتوان نتیجه گرفت که روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته روشی مناسب برای حل مسائل نانو با در نظر گرفتن شرایط غیرموضعی میباشد.
امروزه با توجه به اهمیت نانو تکنولوژی در همهی ابعاد زندگی بشر و استفاده آنان از این ساختار بسیار کوچک که دارای خواص بسیار زیادی است؛ بیش از گذشته پی بردن به رفتار فیزیکی نانو مواد را دارای اهمیت میکند . به دلیل ابعاد کوچک نانو سازهها، نگرههای کلاسیک که خواص سازهها با ابعاد بزرگ را مشخص میکردند، دیگر پاسخگو نمیباشند. در سازههای با ابعاد بزرگ عامل ایجاد تنش در یک نقطه، کرنش در همان نقطه بوده ولی در نانو سازهها که ساختار و ابعاد بسیار کوچکی دارند، عامل ایجاد تنش در یک نقطه علاوه بر کرنش در همان نقطه، به کرنش در فضای پیرامونی همان نقطه نیز وابسته است.[1] به منظور نمایش این وابستگی، نگرههای متفاوتی ارائه گردیده، که می توان به نگرههای تغییرات کرنش1، اصلاح شده تنش جفت شده[2]2 و الاستیسیته غیرموضعی[3]3 اشاره کرد. در نگره الاستیسیته غیرموضعی، میتوان اندازه ابعاد داخلی نانو مواد، که همان نحوه اتصال و ابعاد الیافهای داخلی در نانو سازهها میباشد را در معادلات تاثیر داد. این شیوه تطابق مناسبی با نگره اتمی و مولکولی دارد.[4,5] خیز استاتیکی نانو صفحه با استفاده از نگره غیرموضعی در این مقاله ارائه گردیده است و با فرض این که ضخامت نانو صفحه نسبت به سایر ابعاد بسیار ناچیز باشد. بدین ترتیب برای بررسی جابهجاییها و بدست آوردن معادله تعادل از نگره کیرشهف استفاده شده است.
بع ضی از محققین مسائلی از نوع ارتعاش، کمانش و خمش صفحات کوچک مقیاس را با استفاده از تئوری الاستیسیته غیرموضعی مطالعه کردهاند. برای مثال لیو و همکارانش[6]4، خمش و ارتعاش آزاد صفحات مستطیلی با تکیهگاه ساده را بررسی کردهاند. مورمو و پرتهان[7]5، مسئلهی کمانش صفحات تحت اثر فشار دو محوره برمبنای صفحهی کیرشهف را مطالعه کردهاند. پرتهان[8]6، تحلیل کمانشی اعمال شده بر روی ورقهای گرافن تک لایه را بر مبنای تئوری تغییر شکل برشی مرتبه بالا مورد مطالعه قرار داد. پرتهان و فادیکر[9]7، به تحلیل ارتعاشی ورقهای گرافن چند لایه که درون ماتریسی از پلیمر احاطه شده بود، پرداخته بودند. بر مبنای تئوری صفحهی تغییر شکل برشی مرتبهی سوم، آقابابایی و ردی[10]8، اثر تئور غیرموضعی را در خمش و ارتعاش صفحههای مستطیلی راست محور را با تکیهگاه ساده بررسی کردند. پرتهان و فادیکر[11]9، ارتعاش نانو صفحههای تک لایه و دو لایه را برمبنای تئوریهای تغییر شکل برشی مرتبه اول صفحه و کیرشهف را بررسی کردند. نارندر[12]10، تحلیل کمانشی نانو صفحات ایزوتروپیک را با استفاده از دو متغیر تئوری صفحهی بازیابی شده، انجام داد. همهی این کارها برای صفحات نانو با تکیهگاههای ساده بررسی شده و مسائل با استفاده از روش ناویر حل شده است. در مجموع، بعضی از محققین مسائل ارتعاش آزاد و کمانش صفحات غیرموضعی را با شرایط مرزی گوناگون حل میکنند.[13-16] اگرچه در مسائل خمش صفحات غیرموضعی، در صورتی که دور تا دور صفحه یا حداقل دو سمت صفحه تکیهگاه ساده داشته باشد، مسئله را میتوان به صورت تحلیلی حل کرد ولی برای شرایط مرزی پیچیده بایستی از حل عددی استفاده شود. در بسیاری از مقالات، رفتار مکانیکی نانو سازهها با استفاده از روش عددی تفاضل مربعات11 انجام گرفته که البته موفقیت های بسیاری در تحلیل مسائل داشته است، اما پیاده سازی این شیوه بر روی مسائل با مرزهای پیچیده، دارای پیچیدگیهای فراوانی میباشد.[17] بنابراین لازم است که شیوههای عددی ارائه گردند تا توانایی اجراسازی بر روی مرزهای پیچیده وجود داشته باشد و بدون شبکه12 یکی از این شیوهها میباشد، که یکی از روشهای بدون شبکه حداقل مربعات گسسته 13 است که تا کنون از این روش برای نانو سازهها بکار گرفته نشده است که این روش در اینجا به صورت موفقیت آمیزی مورد استفاده واقع گردیده است که نتایج حاصل از این پژوهش میتواند کمک مناسبی در طراحی نانو صفحات، در سیستمهای نانو و میکرو الکترونیکها باشد.
.2 روابط تشکیل دهنده غیرموضعی
در تئوری الاستیسیتهی غیرموضعی فرض گردیده که تنش در یک نقطه تابعی از کرنش در همهی نقاط پیوستگی است. در حالی که در تئوری الاستسیته کلاسیک فرض بر آن است که تنش در یک نقطه تنها به کرنش در همان نقطه بستگی دارد. روابط تشکیل دهندهی یک پیوستگی غیرموضعی به فرم زیر نوشته شده است :
