بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
کاربرد تئوری الاستیسیته غیرموضعی در تحلیل ارتعاشات نانو لوله ها
چکیده
کاربرد تئوری الاستیسیته غیرموضعی در تحلیل ارتعاشات نانو لولهها از موضوعات مهمی به شمار میرود که اخیرا در پـژوهش-های بسیاری از محققین مورد توجه قرار گرفته است. در این مقاله ابتدا به معرفی انواع و ساختار نانو لولهها پرداخته و سپس روابـط حاکم در تئوری غیرموضعی الاستیسیته ارائه میشوند. در ادامه مهمترین نتایج پژوهشهایی که اخیرا در حوزه ارتعاشات نانو لولهها صورت گرفته به چند دسته اصلی تقسیم شده و مورد مطالعه قرار میگیرند. درنهایت به ارائه پیشنهاداتی جهت موضوعات جدیـدی پرداخته میشود که میتوانند برای انجام پژوهشهای آتی در این زمینه مفید باشند. تحلیل ارتعاشات غیرخطی ساختارهای نانو بـه دلیل تغییرشکل محدود آنها،از موضوعات مهمی به شمار میآید که تاکنون بصورت محدود مورد توجه محققان قرار گرفته و مـی-تواند از مباحث نوین برای پژوهشگران آتی در این شاخه باشد. از دیگر مباحث بدیع جهت پژوهشهای ساختارهای نانو،اسـتفاده از روشهای دقیق برای حل مسایل شامل اثرات مقیاس کوچک و تحلیل ارتعاشات اجباری است که علیرغم اهمیت فراوان، تا به حال به صورت محدود مورد توجه پژوهشگران در این حوزه قرار گرفتهاند.از آنجا که مطالعه پیشینه تحقیق و بررسی نتایج آنهـا امـری ضروری در هر پژوهشی محسوب میشود و همچنین مطالعه همه مقالات امری دشوار، هزینهبر و نیازمند زمان کافی است، این مقاله میتواند به عنوان مرجعی جامع و سودمند برای محققین و علاقمندان در حوزه ارتعاشات نانولولهها محسوب گردد..
کلمات کلیدی
کاربرد، تئوری غیرموضعی الاستیسیته، ارتعاشات، نانولولهها.
-1 مقدمه
با پیشرفت روزافزون علم و فناوری، مواد و ساختارهایی با خواص برتر و پیشرفته مورد نیاز است.[1-5]فناوری نانو به مواد و ساختارها در مقیاس نانو میپردازد که این ساختارهای به دلیل بالا بودن استحکام و مدول یانگ از دیگر ساختارها متمایز هستند.[6-8] در نتیجه آن موادمرکب با ساختارهای نانو میتواند در زمینههای مختلفی به کار رود.[9-14] ساختارهای نانو میتواند در سیستمهای نانو الکترومکانیکی که در ساخت باطریها، سنسورهای بیولوژیکی و شیمیایی ، سلول های خورشیدی و غیره کاربرد دارد.[15-18] نانو لوله کربنی نوعی ساختاری از کربن هستند که دارای مولکولهای استوانهای شکل با انتهای باز یا بسته ای هستند که بررسی خواص ارتعاشی این ساختارها توجه بسیاری از محقیقن را به خود جلب کرده است.[19-23]
روشهای گوناگونی در بررسی ساختارهای نانو وجود دارد. مشاهدات تجربی [24] یکی از شیوههای مدلسازی ساختارهای نانو میباشد که به دلیل پر هزینه بودن آن از روش های دیگری نظیر : مدلسازی اتمی، مکانیک محیط پیوسته اتمی هیبرید و مکانیک محیطهای پیوسته استفاده میگردد. مدلسازی اتمی شامل روشهایی مانند دینامیک مولکولی کلاسیک، دینامیک مولکولی اتصال سفت و تئوری تابعی چگالی میباشد26]و.[25 مکانیک محیط پیوسته اتمی هیبرید این امکان را میدهد تا پتانسیل درون اتمی را در تحلیل محیط پیوسته با برابر قرار دادن انرژی پتانسیل ساختار مواد نانو با انرژی کرنش مکانیکی المان حجمی مدل محیط پیوسته بدست آید.[27]
مدلسازی به روش محیط های پیوسته به مراتب نسبت به دو روش قبل کم هزینهتر بوده و شامل تئوریهای کلاسیک(موضعی)، تئوری الاستیسته غیرموضعی ارینگن[28] ، تئوری الاستیسیته گرادیان کرنشی اصلاح شده[29] و تئوری تنش کوپل اصلاح شده[30] می-باشد که برای ساختارهای نانو در سیستمهایی با مقیاس بزرگ استفاده می شوند .[31 ] به این خاطر از مدلسازی به روش محیط پیوسته به عنوان راهی در تحلیل ساختارهایی نظیر کمانش می توان استفاده کرد. در این بین، تئوری الاستیسته غیرموضعی ارینگن دارای روابط حاکم نسبتا ساده تری می باشد و اثر مقیاس کوچک در ساختارهایی با مقیاس نانو و میکرو را محاسبه می کند.
تحقیقات گستردهای در زمینه نانو لولهها بر اساس تئـوری غیرموضـعی ارینگن صورت گرفته است. در این پژوهش بـه بررسـی ایـن تحقیقـات پرداخته میشود و در نهایت، موضوعات جدیدی کـه مـیتوانـد بـرای انجام پژوهشهای آتی در این زمینه مفید باشد را ارائه میشوند.
-2 انواع و ساختار نانولوله ها
نانوله های کربنی به پنج دسته تقسیم می شوند- 1:[32] نانو لولههای کربنی تک لایه(-2 (SWNT نانو لولههای کربنیچندلایه((MWNT 3 -فولرایت 4 -تروس یا حلقه 5 -ساختارهای غیر ایده آل نانو لوله تکلایه به دلیل خواص الکتریکی جالبشان که در انواع دیگر مشاهده نمیشود ، نوع بسیار مهمی از نانولولهها هستند. بدون شک با توجه به قطر کم آن، انتخاب مناسبی برای کوچک کردن اجزای صنایع الکترونیک و مینیاتوری کردن الکترونیک است.[33]
شکل (1) شماتیکی از یک نانولوله تک لایه[33]
نانو لولههای کربنی چند لایه،از چند استوانه کربنی هم محور تو در تو ایجاد شده است که میتوان آن را به صورت دستهای از نانو لولههای هم مرکز با قطرهای متفاوت در نظر گرفت . طول و قطر این ساختارها در مقایسه با نانو لولههای تکلایه بسیار متفاوت بوده و دارای خواص متفاوتی است.[34]
شکل (2) شماتیکی از یک نانولوله چندلایه.[34]
-3ارتعاشات نانولولهها به کمک تئوری کلاسیک
تعدادی از تحقیقات انجام شده در خصوص ارتعاشات نانو لولـههـا، به کمک تئوری کلاسیک می باشند.[35- 43] اگرچه تئوری کلاسـیک برای ساختارهای نانو دارای روابط سادهای است و تنش در یک نقطه به کرنش در همان نقطه وابسته میباشد لذا قـادر بـه ارائـه اثـرات انـدازه نمیباشد. بنابراین استفاده از این روش در محاسبات کاربردی محـدود میباشد.
-4 روابط حاکم در تئوری الاستیسیته غیرموضعی
اساس تئوری مکانیک الاستیسیته غیرموضعی بر این است که تنش در یک نقطه در یک محیط الاستیک پیوسته، نه تنها به کرنش در آن نقطه وابسته است بلکه به تمام کرنشهای دیگر در کل دامنه محیط الاستیک وابسته میباشد. این موضع در تطابق با تئوریهای اتمی و مشاهدات آزمایشگاهی است. شکل کلی معادله بنیادی، در تئوری الاستیسیته غیرموضعی شامل انتگرال بر روی محیط الاستیک میباشد. این انتگرال شامل یک تابع کرنال است که اثرات کرنشها در موقعیتهای مختلف بر روی تنشها را نشان میدهد. معادلات بنیادی برای یک جسم الاستیک غیرموضعی و همگن بدون در نظر گرفتن نیروهای خارجی به صورت زیر میباشد:[28]
عبارتهای به ترتیب تنش، کرنش و تانسور الاستیسیته مرتبه چهار هستند. عبارت مدول غیر موضعی نامیده میشود که دیمانسیون آن((length است. فاصله نقطه مرجع از نقطه دلخواه ثابت ماده میباشد که به طول مشخصه داخلی ، (پارامتر شبکه اندازه دانه، فاصله بین اتمهای کربن در پیوند C-(C و طول مشخصه خارجی l، (طول ترک، طول موج) وابسته میباشد، و به صورت تعریف میشود. ثابتی است که برای هر ماده جداگانه در نظر گرفته میشود. ثابت ، طوری تخمین زده میشود که روابط مدل الاستیسیته غیرموضعی بتواند منحنیهای بدست آمده در روشهای دینامیک مولکولی یا نتایج آزمایشگاهی را تقریب زده و جوابی با خطای کم بدست آورد.[28]
ارینگن نشان داد در تئوری مکانیک پیوسته غیرموضعی تنش در یک نقطه به کرنش در تمام محیط پیوسته وابسته است. معادله حاکم در تئوری مکانیک پیوسته غیرموضعی توسط ارینگن به صورت زیرارائه گردیده است : [28]
در رابطه فـوق ضـریب غیرموضـعی تـنش غیرموضـعی و تنش موضعی نامیده میشود.
-5 بررسی ارتعاشات نانولولهها:
-5-1 مدل غیرموضعی تیر
مشابه تئوری کلاسیک، تئوریهای تیر اولر -برنولی،تیموشنکو و ردی به طور گسترده مورد استفاده قرار میگیرند . مدل تیر اولر برنولی از تغییرشکل برشی در طول پاسخ مکانیکی صرف نظر میکند. در مدل تیر تیموشنکو، با کرنش برشی ثابت در طول ضخامت، اثر تغییرشکل برشی و اینرسی دورانی در نظر گرفته میشود.[44] مدل تیر ردی که در تغییر شکل برشی مرتبه سوم مورد استفاده قرار میگیرد، به عنوان یک تئوری برشی مرتبه بالاتر در نظر گرفته می شود. [45]
ژانگ و همکارانش[46] به بررسی نانو لولههای دولایه با استفاده از تئوری الاستیسته غیرموضعی پرداختند. آنها نتیجه گرفتند که ضریب غیرموضعی تاثیر بهسزایی در فرکانسهای طبیعی دارد. وانگ و همکارانش[47] به بررسی ویژگیهای ارتعاشات با استفاده از تئوری-های تیر تیموشنکو و اولر برنولی پرداختند. با استفاده از مدل تیر تیموشنکو، وانگ و همکارانش [48] معادلات حاکم و شرایط مرزی را با استفاده از اصل همیلتون بدست آوردند. با مدها و نسبتهای طول به قطر مختلف، شکلهای 3 و4 به ترتیب نسبت فرکانس ضریب غیرموضعی به موضعی (کلاسیک) مدلهای تیر تیموشنکو به ضریب غیرموضعی را نشان می دهند.[48]
میتوان نتیجه گرفت که نسبت فرکانسها با افزایش ضریب غیرموضعی (به ویژه در مدهای بالاتر) کاهش مییابد. علاوه بر این، ضریب غیرموضعی در نانو لولههای کوتاهتر ( نسبت طول به قطر کمتر) تاثیر چشمگیرتری دارد. همچنین آنها نشان دادند که فرکانس مدل غیرموضعی تیر تیموشنکو از مدل غیرموضعی تیر اولر
برنولی کوچکتر است. ردی و پانگ[49] به بررسی خمش
استاتیکی،کمانش و ارتعاشات نانو لولهها پرداختند.آنها در مطالعه خود اثرات ضریب غیرموضعی و شرایط مرزی گوناگون را در نظر گرفتند. در مرجع لی[50] به بررسی تاثیر شرایط مرزی بر شکلهای مد تیر تیموشنکو در مقیاس کوچک پرداخته شده است.
شکل((3 تاثیر ضریب غیرموضعی بر شکلهای مد[48]
شکل((4 تاثیر ضریب غیرموضعی بر نسبت طول به قطر
نتایج آنها حاکی از آن است که شکلهای مد در شرایط تکیه-گاهی گیردار-گیردار و گیردار مفصلی میتوانند با ضرایب غیرموضعی مختلف، بطور چشمگیری تغییر کند. اثر پایه الاستیک بر خواص ارتعاشی نانو لولههای تکلایه توسط پرادهان و مورمو [51] بررسی شد. در مقاله آنها روش مربعات دیفرانسیلی به عنوان یک روش عددی جهت بدست آوردن پاسخ معادله ارتعاش، بکار رفتهاست. احتشامی و حاج عباسی [52] تحلیل ارتعاش نانو لولههای چندلایه را با مدل غیرموضعی تیر اولر برنولی تحلیل نمودند. نتایج مراجع 54]،[53 مقایسه بین مدلهای غیرموضعی تیر اولربرنولی و تیموشنکو و ردی را نشان میدهد. مورمو و آدهیکاری [55] به تحلیل خواص ارتعاشی سیستمهای نانو تیرهای دولایه پرداختند که این قبیل سیستمها در سیستمهای نانو-مکانیکی نوری و سنسورها کاربرد دارند. شکلهای -4ب و -4ج مدهای خارج از فاز و داخل فاز را نشان می- دهند. جابجاییهای تیر نانو میباشد. از نتایج مشاهده می-شود که با افزایش ثابت غیرموضعی بطور پیوسته، اثر ضریب غیرموضعی در مد داخل-فاز مشهودتر از مد خارج-فاز میباشد.
شکل (4) سیستم دوگانه-نانو تیر و مدهای خارج از فاز و داخل فاز[55]
-5-2 مدل غیرموضعی پوسته
علاوه بر تئوریهای غیرموضعی تیر، مدل غیرموضعی پیوسته را میتوان به نانو لولهها اعمال نمود. لی و کاردو میتس [56] از این مدل برای بررسی خواص ارتعاشی نانو لولههای چندلایه بر پایه الاستیک استفاده نمودند. صرف نظر از روش غیرموضعی پوسته میتواند 3 مود روزونانت (در جهات شعاعی، محوری و محیطی) را ایجاد نماید. فیروز آبادی و همکارانش [57] به بررسی کمانش و ارتعاشات نانو تیوبهای تحت فشار با استفاده از مدل پیوسته غیرموضعی پرداختند. آنها نتیجه گرفتند که با افزایش ضریب غیرموضعی فرکانس طبیعی کاهش مییابد. در مراجع 59]،[58 از مدل پوسته غیرموضعی برای تحقیق اثرات چیرالیتی نانو لولهها استفاده شده است.
انصاری و همکارانش [60] به بررسی نانو لولههای دولایه توسط تئوری غیرموضعی پوسته دانل پرداختند. در مطالعه آنها روش ریلیق-ریتز همراه با شرایط تکیهگاهی گوناگون در نظر گرفته شدند. مدل پوسته نشان داده شده در شکل 5 و فرکانسهایی که از مدل غیرموضعی صفحه و شبیه سازی MD برای شرایط مرزی مختلف (از قبیل تکیهگاه گیردار-گیردار و گیردار-ساده) به ترتیب در شکلهای 6 و 7 نشان داده شده است. همانگونه که ملاحظه میشود نتایج موجود برای هر دو تئوری مطابق هم میباشند.
شکل (5) مدل پوسته برای استوانه دولایه [60]
شکل (6) فرکانسهای حاصل از مدل غیرموضعی پوسته و شبیه سازی MD برای شرایط مرزی گیردار-گیردار[60]
شکل (7) فرکانسهای حاصل از مدل غیرموضعی پوسته و شبیه سازی MD برای شرایط مرزی ساده-ساده[60]
-5-3 مدهای ارتعاشی در نانو میلهها
تحقیقات متعددی بر ارتعاش محوری نانو لولهها صورت میگیرد که به عنوان مدل غیرموضعی یک بعدی تلقی میشود. با استفاده از روش غیرموضعی میله، آی دوگ دو [61] به بررسی مدهای ارتعاشی محوری نانو میلهها پرداخت. نتایج مقاله او نشان میدهد که مدل کلاسیک، تقریب بالاتری از فرکانس را نشان میدهد. در مرجع فیلیز و ای دوگ دو [62] ارتعاش محوری میله همراه با انشعاب را بررسی نمودند. از نتایج آنها ملاحظه میشود که برتری رفتار ارتعاشی می تواند با تغییر انشعاب حاصل گردد. براساس این تحقیقات، آی دوگ دو [63] ارتعاش محوری نانو لوله همراه با اثرات ماتریس الاستیک ارائه نمود.
اچ سو و همکارانش [64] به بررسی ارتعاش طولی نانو لوله ها دارای ترک پرداختند. شکلهای 8 و 9 رابطه بین فرکانس بیبعد و ضریب غیرموضعی برای شرایط تکیهگاهی آزاد-گیردار و گیردار-گیردار را نشان میدهد. پارامتر k سفتی فنر بین بخش های مجاور را نشان میدهد. K ضریب سفتی بیبعد ترک است و موقعیت ترک میباشد. همانگونه که ملاحظه میشود ضریبهای ترک بالاتر منجر به کاهش فرکانس میشود. تعدادی از تحقیقات پیرامون ارتعاشات محوری نانو لولههای غیریکنواخت صورت گرفته است.
شکل((8 رابطه بین فرکانس بیبعد و ضریب غیرموضعی همراه با پارامترهای ترک و مدها در شرایط مرزی گیردار-گیردار[64]
-5-4 عوامل موثر در ارتعاش نانو-لولهها
حرارت و تنش /کرنش اولیه دو عامل مهم در ارتعاشات نانو لولهها میباشند که بهواسطه محیط خارجی ایجاد میشوند. برخی از مطالعات پیشین نشان میدهد که محیط حرارتی تاثیر قابل توجهی در رفتار مکانیکی نانو لولهها دارد. جیانگ و همکارانش[68] روشی را ارائه نمودند تا در آن ضریب بسط حرارتی را بدست آورند. از مقاله آنها مشاهده میشود که ضریب بسط حرارتی برای دمای پایین و دمای اتاق منفی است اما در دماهای بالاتر مثبت است. همچنین مطالعات دیگری در زمینه رفتار مکانیکی نانو لولهها همراه با شرایط حرارتی است69]،.[70در مرجع[71] ارتعاش آزاد نانو لوله تک لایه به کمک مدل تیموشنکو مورد تحقیق قرار گرفته است. از این پژوهش ملاحظه میشود که برای دمای اتاق ( دمای پایین)، فرکانس با افزایش دما، افزایش مییابد که این نتیجه خلاف نتیجه حاصل برای دماهای بالا است. مورمو و پرادهان [72] به بررسی ارتعاشات حرارتی نانو لولههای تکلایه بر پایه الاستیک پرداختند. در بررسی آنها مدل الاستیک وینکلر برای معرفی ماتریس به کار رفته همچنین از روش عددی مربعات دیفرانسیلی استفاده شده است. مدل تیر لوینسان در مرجع [73] بکار رفته است و اثرات دما در آن مورد بحث قرار گرفته است. زیدور و همکارانش[74] به کمک مدل تیر تیموشنکو، اثرات حرارتی بر روی ارتعاشات نانو لوله تکلایه زیگ زاگ پرداختند . اک و ای دوگ دو [75] کمانش و ارتعاشات نانو لوله های دولایه همراه با بار درون صفحهای را مورد بررسی قرار دادند. رابطه بین فرکانس بیبعد و بار درون صفحهای در شکل10 نشان داده شده است که محور عمودی فرکانس بیبعد و محور افقی بار درون صفحهای و n شماره نیم موج را نشان می دهند . میتوان مشاهده کرد که فرکانس با افزایش بار کششی افزایش یافته که خلاف رفتار بار فشاری است. همچنین ضریب غیرموضعی برای مدهای بالاتر چشمگیرتر است.
