بخشی از مقاله
خلاصه
ارزیابی میزان انتقال رسوب فرآیندهای وابسته به آن از مسائل مهم در هیدرولیک و مهندسی رودخانه میباشد. توانایی طراحی یک روش عددی که قابلیت پیشبینی تغییرات مورفودینامیک رودخانه را داشتهباشد از لحاظ ریاضی و مهندسی بسیار باارزش است. معادلات انتقال رسوب بستر شامل دو بخش معادلات آبهای کمعمق و معادله پیوستگی رسوب - معادله اکسنر - میباشد. در این پژوهش، حل عددی معادلات انتقال رسوب بستر با استفاده از روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته انجام شدهاست. در این روش برای تقریب تابع از توابع شکل حداقل مربعات متحرک و به منظور گسستهسازی معادله دیفرانسیل حاکم از روش حداقل مربعات گسسته استفاده شده است. روش حداقل مربعات گسسته را میتوان یک روش بدونشبکه واقعی نامید، چرا که نیاز به مش پسزمینه برای انتگرالگیری نیاز ندارد. مقایسه پاسخهای بهدست آمده با نتایج سایر محققین تطابق قابلقبولی را ارائه میدهد.
1. مقدمه
ارزیابی میزان انتقال رسوب فرآیندهای وابسته به آن از مسائل مهم در هیدرولیک و مهندسی رودخانه میباشد. توانایی طراحی یک روش عددی که قابلیت پیشبینی تغییرات مورفودینامیک رودخانه را داشتهباشد از لحاظ ریاضی و مهندسی بسیار باارزش است. رسوب را میتوان به عنوان مصالح و موادی که در اثر فرآیندهای فیزیکی و شیمیایی از صخرهها جدا میشوند تعریف کرد. انتقال رسوب عموماً به سبب اثرات گرانشی و اثرات اصطکاکی اتفاق میافتد. رسوبمعمولاً به دو نوع تقسیم میشود: بار بستر1و بار معلق.2 بار بستر به نوعی از انتقال اطلاق میشود که دانههای رسوب بر روی بستر به صورت چرخش، غلتش و جهش حرکت میکنند. وقتی که شار به قدری زیاد باشد که دانههای رسوب نسبت به بستر ارتفاع بگیرند، رسوب از نوع معلق است.
در گذشته مطالعه روی فرآیندهای رودخانه، به صورت میدانی و ساخت مدل آزمایشگاهی بود. ساخت مدلها در مقیاس آزمایشگاهی در شناخت بهتر فرآیندهای پیچیده رودخانه و به عنوان ابزاری برای تایید محاسبات، با وجود هزینه بالای ساخت و نگهداری آن ضروری است. مدلسازی ریاضی و عددی جریان رودخانه که شبیهسازی شرایط جریان بر اساس معادلات و حل یک مدل ریاضی و یا گسستهسازی بر اساس قانون پیوستگی است، در دهههای اخیر بسیار مورد توجه قرارگرفته است.
در اکثر مسائل انتقال سوب، مدل ریاضی یک مدل ترکیبی از معادله هیدرودینامیک و مدل مورفودینامیک میباشد. که برای حالت یک بعدی شامل سه معادله است، دو معادله آبهای کمعمق1و یک معادله پیوستگی رسوب - معادله اکسنر - 2 میباشد. معادلههای زیادی برای مدل کردن شار رسوب وجود دارد. مدل گرس3، ون راین4، میر-پیتر مولر5، اینشتین6و ... که همهی آنها بر اساس روشهای تجربی بهدست آمدهاند. در این مقاله از معادله گرس که یکی از معروفترین و رایج ترین معادلات برای مدل کردن جریان رسوب است، استفاده شدهاست.
روشهای عددی متعددی برای حل معادلات هذلولوی انتقال رسوب توسعه و بسط دادهشدهاند. روش احجام محدود7در دهههای اخیر بسیار مورد توجه بودهاست. پنا گونزالز یک تقریب عددی برای سیستم غیردرگیر8معادلات آبهای کمعمق و معادله پیوستگی رسوب بستر ارائه دادهاست. او از یک روش احجام محدودی مبتنی بر روش رو برای بهدست آوردن مجهولات آبهای کمعمق، عمق و دبی سیال استفاده کرد. سرعت و عمق سیال تقریبی درمعادله انتقال رسوب بستر مورد استفاده قرار میگیرد و در نهایت عمق لایه رسوبی بهدست میآید .[1]
درگیر کردن معادلات آبهای کمعمق و پیوستگی رسوب باعث مضاعف شدن سختی عددی و ریاضی روش میگردد. که در [2-6] مورد مطالعه و بررسی قرار گرفتهاست. همچنین هادسون در [7] چندین تقریب عددی برای سیستم متشکل از معادلات آبهای کمعمق و معادله انتقال رسوب ارائه داد. او فرمولبندیهای متفاوت از مساله را در نظر گرفت. تمایل زیادی در توسعه روشهای بدونشبکه9برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزیی وجود دارد.
چرا که روشهای بدونشبکه نیازی به تولید مش ندارند و این در مسائل دو و سه بعدی با هندسه پیچیده سبب صرفهجویی در زمان و هزینه میشود. در اینجا به نام چندین روش بدونشبکه اشاره میشود که حتی تعدادی از آنها در دهه اخیر پیشنهاد شدهاند. از روشهای بدونشبکهای که در سالهای اخیر توسعه یافتهاند میتوان از روش هیدرودینامیک ذرات هموار 10 - SPH - ، روش بدونشبکه گالرکین - 11 - EFG، روش بازتولید نقطه با هسته 12 - RKP - ، روش نقطه محدود 13 - FP - ، روش ابرهای 14hp،روش محلی بدونشبکه پتروف-گالرکین 15 - MLPG - و روش معادله انتگرال مرزی محلی - 16 - LBIEنام برد.
در سه دهه اخیرروشهای بدون شبکه به طرز قابل توچهی توسعه یافتهاند. در [8] یک روش عددی که مبتنی بر دو روش بدونشبکه است برای شبیهسازی ارائهشدهاست. جریان سیال با روش پیوستگی مدل شدهاست که با استفاده از روش SPH گسستهسازی شدهاست. و ذرات رسوب نیز توسط روشDEM17 ارائه میشود، اندرکنش بین دانههای رسوب جدا از هم با قانون نیرو مدل شدهاست، که قادر به درنظر گرفتن انواع مختلف اصطکاک میباشد. اخیرا کارایی روش بدون شبکه EFG برای شبیهسازی انتقال رسوب در دو بعد مورد مطالعه قرار گرفت .[9] آنها معادلات آبهای کمعمق و معادله انتقال رسوب را به صورت درگیر فرموله کردند و با نوشتن آن به صورت یک سیستم غیرپایستار هذلولوی به حل آن پرداختند و روش توانایی خوبی در تسخیر ناپیوستگی18دارد.
تمامی روشهای عددی که تاکنون به حل این مساله پرداختند نیاز به شبکهبندی داشتهاند و با توجه به نوع مساله و هندسه نامنظم و مرزهای متغیر آن، شبکهبندی برای این نوع مسائل نیازمند صرف هزینه و زمان قابل توجهی میباشد. حتی روش بدون شبکه EFG نیز برای انتگرالگیری نیاز به مش پسزمینه دارد. در این پژوهش معادلات انتقال رسوب با یک روش بدونشبکه پایدار، دقیق و قابل اطمینان به نام روش حداقل مربعات گسسته - 19DLSM - گسستهسازی و حل شدهاست. این روش توسط ارزانی و افشار [10] ارائه شد و برای حل معادلات آبهای کمعمق با نقاط منظم مورداستفاده قرار گرفت. روش از عدم دقت کافی برای توزیع گرهی نامنظم رنج میبرد، فیروزجائی و افشار[11] با معرفی مجموعه نقاطی به نام نقاط نمونهگیری روش را اصلاح نمودند.
2. روش بدونشبکه DLSM
اساس این روش کمینه کردن تابعی حداقل مربعات باقیماندههای معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی آن در برخی نقاط، که نقاط نمونهگیری نامیده میشوند میباشد. به طور کلی نقاط نمونهگیری میتوانند متفاوت از نقاط گرهی در نظر گرفته شوند. این روش باعث به وجود آمدن ماتریس ضرایب متقارن میشود. و همچنین به مش پسزمینه نیاز ندارد پس در واقع یک روش بدونشبکه واقعی است. به منظور تقریب تابع در این روش، از تایع شکل حداقل مربعات متحرک[12] - MLS - 1 بهکار گرفته میشود. همچنین جهت گسستهسازی معادلات نیز از روش فرم قوی2حداقل مربعات گسسته - DLSM - استفاده میشود.
- تابع شکل حداقل مربعات متحرک
در بین تمامی روشهای تقریب روش بدونشبکه، تابع شکل حداقل مربعات متحرک به عنوان یکی از گزینههایی که به صورت گسترده مورد استفاده قرار میگیرد مطرح میباشد.
