بخشی از مقاله
این مقاله دارای فرمول های زیادی میباشد
چکيده -دراين مقاله خمش غيررخطي صفحه گرافن تک لايه دايره اي ، تحت بارگذاري عرضي يکنوواخت موردبررسي قرارگرفته است .بااستفاده از تئوري مکانيک هاي محيط پيوسته ه غيرموضعي ،اصل کارمجازي وتئوري مرتبه اول برشي ، معادلات ححاکم بدست آمده وبراي گسسته سازي معادلات ، روش مربعات ديفرانسيلي به کار گگرفته شده است . در اين روش ، از توزيع نقطه اي غيريکنواخت (توززيع چبيشف -گوس -لوباتو)براي افزايش سرعت همگرايي ودقت حل استفاده شدده است . تأثير ضريب غيرموضعي ، تعداد گره ها، ضخامت ، شعاع ومميزان بارعرضي برروي خيزصفحه گرافن مورد بررسي قرارگرفته است . همچنين ن براي بررسي دقت روش مورد استفاده ، نتايج بدست آمده با نتايج ج ديگرتحقيقات مقايسه شده که تطابق خوبي را نشان مي دهد.
کليدواژگان :خمش غيرخطي ،صفححه گرافن دايره اي ، مکانيک محيط پيوسته غيرموضعي ، روش مربعات ديففرانسيلي .
١-مقدمه
ساختارهاي نانو از زمان کشف ف آن ها به دليل کاربرد وسيع و خواص مکانيکي ، حرارتي و الککتريکي منحصر به فرد خود، توجه بسياري از محققان را در سراسسردنيا به خود جلب کرده است [١]. اين مواد به طوور گسترده در نانوالکترونيک ، نانودستگاه ها و نانوکامپوزيت ها مورد استفاده قرار مي گيرند [٢]. انواع گوناگوني از نانوساختارهاي کربن از قبيل فلورين ها [٣] نانولوله هاي کربني [٤] و نانوححلقه ها [٥] وجود دارند که با شکل دهي ورقه هاي گرافن ايجادمي شوند.به همين دليل ،تحليل صفحات گرافن موضوع اصلي مطالعه نانوموادکربني مي باشد. صفحه گرافن داراي ضخامتي به اندازه يک اتم کربن مي باشدکه در يک شبکه کريستالي شش وجهي کنارهم منظم گشته اند.اين موادخواص مکانيکي وفيزيکي منحصربفردي داشته که ازآن جمله مي توان به انعطاف پذيري بالا،استحکام زياددرکشش ، انبساط حرارتي کم ،رسانايي گرمايي والکتريکي بالااشاره کرد، همچنين صفحات گرافن اغلب درکامپوزيت هاي پليمري به عنوان تقويت کننده مورداستفاده قرارمي گيرند [٧،٦].
امروزه تحقيقات بسياري براي تحليل رفتار مکانيکي ساختارهاي نانو صورت گرفته است . علاوه بر روش هاي آزمايشگاهيازروش هاي مدل سازي مانند:تأثيراتمي ١،مدل سازي ترکيبي مکانيک محيط هاي پيوسته - اتمي ٢و مدل سازي مکانيک محيط هاي پيوسته ٣،براي بررسي رفتارمکانيکي نانومواداستفاده مي شود [٨].ازآنجاکه کنترل آزمايش هادر مقياس نانوبسيارمشکل بوده وروش هاي شبيه سازي اتمي از نظر محاسباتي هزينه بر مي باشند، از روش مکانيک محيطپيوسته به عنوان يک روش مؤثر،که فاقدمشکلات ذکر شده بوده وداراي فرمول بندي ساده تري مي باشد،درتحليل نانو ساختارهابسيارمورداستفاده قرارگرفته است [٩].مدل سازي
مکانيک محيط پيوسته نيز شامل روش هاي مختلفي نظير:
تئوري تنش جفتي [١٠]،تئوري الاستيسيته گراديان کرنشي اصلاح شده [١١]، تئوري تنش جفتي اصلاح شده [١٢] و تئوري الاستيسيته غيرموضعي ارينگن [١٣]مي باشد.ازميان اين روش هاتئوري الاستيسيته غيرموضعي ارينگن بيشترازساير روش هابراي بررسي رفتارمکانيکي ساختارهاي نانوبه کارگرفته شده است [١٤].براساس اين تئوري تنش دريک نقطه دريک محيط الاستيک پيوسته ،نه تنهابه کرنش درآن نقطه ،بلکه به تمامي کرنش هادرکل دامنه محيط پيوسته وابسته مي باشد.در واقع وقتي ابعادماده تااندازه نانوکاهش پيدامي کند،ديگر نمي توان ازاثرات نيروهاي درون اتمي ٤ودرون مولکولي ٥ بر روي ويژگي هاي ديناميکي واستاتيکي موادصرف نظرکرد.به همين دليل تئوري هاي کلاسيک موضعي قادربه پيش بيني رفتارمکانيکي ساختارهاي نانونيستند[١٤].
درسال ١٩٦٢هانس پيتربوهم [١٥]يک ورق کربن تک لايه با شبکه لانه زنبوري ٦را با عنوان گرافن توصيف کرد.
گرافيت ازروي هم قرارگرفتن صفحات گرافن ايجادمي شود.
همچنين نانولوله هاي کربني در سال ١٩٩١ توسط ساميو ايجيما [٤]،درآزمايشگاه ان اي سي ٧درتسوکوبا٨ژاپن کشف شد. تحقيقات بسياري برروي تحليل صفحات گرافن انجام گرفته است که درمنابع موجودمي باشد.درسال ٢٠٠٥بهفرو نقدآبادي [١٦]، تحليل ارتعاشات صفحات گرافن مستطيلي چندلايه درمحيط الاستيک بااستفاده ازتئوري غيرموضعي کلاسيک صفحات وبادرنظرگرفتن صفحه گرافن به صورت يک صفحه ارتوتروپيک را ارائه کرده وتغييرات فرکانس هاي طبيعي رانسبت به تغييرطول هاي مختلف صفحات گرافن محاسبه کردند.کيتي پورنچاي وديگران [١٧]،درسال ٢٠٠٥ مدل پيوسته غيرموضعي براي ارتعاشات صفحات گرافن مستطيلي چندلايه با تکيه گاه هاي ساده در نظر گرفته و فرکانس هاي طبيعي وشکل هاي مودرابدست آوردند.آن ها نشان دادندنيروهاي واندوالس تأثيرمشخصي برروي فرکانس وشکل هاي مودارتعاشي صفحات گرافن دارند.درسال ٢٠٠٦ ليووهمکارانش [١٨]،صفحه گرافن رابه صورت يک ماده ايزوتروپيک درمدل پيوسته خود درنظرگرفته ، ارتعاشات صفحات گرافن چندلايه برروي پايه الاستيک رابررسي کرده وتأثيرنيروهاي واندروالس برروي فرکانس وشکل هاي مودرا بدست آوردند.دان ووانگ [١٩]،درسال ٢٠٠٧خمش يک صفحه گرافن دايره اي رابااستفاده ازمدل مکانيک پيوسته غيرموضعي وتئوري کلاسيک صفحات به صورت خطي مورد بررسي قرارداده ونشان دادندميزان خيزصفحه گرافن دراين روش بيشترازخيزدرمدل پيوسته موضعي مي باشد.درسال ٢٠٠٩ پرادهان و فاديکار [٢٠]، تأثير ضريب غيرموضعي درتحليل ارتعاشي صفحات گرافن چند لايه را مورد بررسي قرارداده وضمن حل معادلات تعادل به روش ناوير،اهميت استفاده از ضريب غيرموضعي را درمعادلات مدل محيط پيوسته بردقت نتايج موردبررسي وتاکيدقراردادند.شن شن وهمکارانش [٢١]،درسال ٢٠١٠،ارتعاشات غيرخطي صفحه گرافن مستطيلي تک لايه رابادرنظرگرفتن اثرحرارتي وبا استفاده از تئوري غيرموضعي کلاسيک صفحات ارائه کرده ونتايج راباتحقيقات موجودمقايسه کردند.شن شن وچن ژانگ [٢٢]،درسال ٢٠١٠کمانش نانولوله هاي کربني دوجداره رابااستفاده ازمدل پوسته غيرموضعي تحليل کرده ومشاهده کردند رفتار کمانشي نانولوله هاي کربني بسيار حساس به ضريب غيرموضعي مي باشد. در سال ٢٠١١ شن شن و همکارانش [٢٣]،خمش غيرخطي صفحه گرافن مستطيلي را در محيط گرمايي مورد بررسي قرار داده و تأثير ضريب غيرموضعي واثرات حرارتي رابرروي خيزبررسي کرده وپي بردندتغييرات دمايي تأثيرقابل ملاحظه اي بررفتارخمشي صفحات گرافن دولايه دارد.درسال ٢٠١١جمعه زاده وسعيدي [٢٤]،ارتعاشات صفحات گرافن مستطيلي باتغييرشکل هاي بزرگ راارائه کرده واثرتعدادلايه ها،ضرايب هندسي وضريب غيرموضعي رابرروي رفتارارتعاشي صفحه بررسي کرده و نشان دادندنتايج بدست آمده درتطابق بانتايج تحليل ارتعاش خطي است . انصاري و روحي [٢٥]، در سال ٢٠١١ رفتار کمانشي نانولوله هاي کربني چندجداره رابراساس مدل پوسته غيرموضعي موردبررسي قرارداده ونشان دادندکه اثرضريب غيرموضعي درنانولوله هاي کربني چندجداره باقطرکوچک تر، بيشتر مي باشد. محمدي و همکارانش [٢٦]، در سال ٢٠١٣ارتعاشات آزادصفحه گرافن دايره اي رابااستفاده ازمدل مکانيک پيوسته غيرموضعي وتئوري کلاسيک صفحات ارائه دادند.آن ها اثرات ضريب غيرموضعي ،شعاع صفحه گرافن و تعدادگره هارابرروي فرکانس هاي طبيعي موردبررسي قرار داده ونشان دادندنتايج بدست آمده ،درتطابق بانتايج موجود درمراجع است .
باتوجه به اين که تحقيقي برروي خمش غيرخطي نانو صفحات دايروي با استفاده از تئوري مرتبه اول برشي غيرموضعي صورت نگرفته است ،دراين تحقيق به کمک اين تئوري ، معادلات حاکم براي تحليل خمش غيرخطي صفحه گرافن تک لايه دايره اي موردبررسي قرارگرفته است .باتوجه به معادلات تعادل بدست آمده ازروش کارمجازي ومعادلات مربوط به منتجه هاي تنش و ترکيب آن ها با يکديگر، يک دستگاه معادله بدست آمده که اين معادلات باروش عددي مربعات ديفرانسيلي حل شده وتأثيرضريب غيرموضعي ،تعداد گره ها،ضخامت ،شعاع وميزان بارعرضي برروي خيزصفحه گرافن موردبررسي قرارگرفته است .همچنين براي بررسي دقت روش مورد استفاده ، نتايج بدست آمده با نتايج ديگر تحقيقات مقايسه شده است .
٢-روابط حاکم
شکل ١،يک صفحه گرافن دايره اي وشکل ٢مدل پيوسته آن رانشان مي دهد[١٩].جابجايي هابراساس تئوري مرتبه اول برشي به صورت رابطه (١)مي باشند[٢٧].
که درآن v،u و w مؤلفه هاي جابجايي هرنقطه دلخواهي درفاصله z ازصفحه مياني ،به ترتيب در جهات θ،rو z مي باشند.همچنين u0 و w0 مؤلفه هاي جابجايي صفحه مياني ورق بوده که تابعي از متغير r مي باشندوعبارت φrچرخش المان حول محور θناميده مي شود.
بااستفاده ازفرضيات فون کارمن براي روابط غيرخطي کرنش -جابجايي ،مؤلفه هاي کرنش به صورت رابطه (٢)بدست مي آيند[٢٧].
εrrو εθθمؤلفه هاي کرنش عمودي و γrzکرنش برشي مي باشند.
درتئوري مکانيک پيوسته موضعي ،تنش دريک نقطه به کرنش درهمان نقطه وابسته است اماارينگن نشان داددر تئوري مکانيک پيوسته غيرموضعي تنش دريک نقطه به کرنش در تمام محیط پیوسته وابسته است . معادله حاکم در تئوری مکانیک پیوسته غیر موضعی توسط ارینگن به صورت رابطه (٣)ارائه شده است :
دررابطه (٣)، =بوده که ضريب غيرموضعي a0طول مشخصه داخلي (فاصله بين اتم هاي کربن ) e0 ثابت درجه بندی متناسب با هر ماده تانسور تنش غيرموضعي و تانسورتنش ماکروسکوپيک است که به صورت رابطه (٤)بيان مي شود.
Cماتريس سختي است .دراين مقاله صفحه گرافن به صورت ورق ايزوتروپيک تک لايه درنظرگرفته مي شود [١٨]،بنابراين باترکيب معادلات (٣)و(٤)روابط تنش -کرنش درمختصات قطبي به صورت رابطه (٥)بدست مي آيند.
که E مدول الاستيسيته ، G مدول برشي وυضريب پواسون مي باشند.منتجه هاي تنش به صورت روابط (٧،٦)تعريف مي شوند[١٣].
که h ضخامت صفحه گرافن است .
حال باانتگرال گيري نسبت به z ازطرفين روابط (٥)و استفاده ازرابطه (٦) وهمچنين ضرب رابطه (٥) در z و سپس انتگرال گيري نسبت به z و استفاده از رابطه (٧)، منتجه هاي تنش برحسب جابجايي هابه صورت روابط (٨-١٢) بدست مي آيند.
