بخشی از مقاله
خلاصه
اندرکنش دینامیکی سد و مخزن بر روی پاسخ دینامیکی سد بتنی وزنی در مقابل زلزله اثرات قابل توجهی دارد. این اثر باید توسط روشهای مناسب و قابل اطمینان در طراحی لرزهای سدها به صورت دقیقتری در نظر گرفته شود. در این تحقیق، اندرکنش سد و مخزن به عنوان یک مسئله انتشار موج به وسیله روش اجزاء محدود طیفی بر پایهی چندجملهایهای لژاندر مدل شده است.
کدهای خاص جداگانهای برای تحلیل اندرکنش سد و مخزن در حوزه زمان با استفاده از روشهای اجزاء محدود و اجزاء محدود طیفی نوشته شده است. نتایج بدست آمده از هر دو روش از نظر دقت، کارائی و زمان محاسبات باهم مقایسه شدهاند.
در روش اجزاء محدود طیفی با افزایش تعداد المانها در سد و افزایش درجهی تقریب در مخزن میتوان با استفاده از همگرایی طیفی به سرعت به نتایج روش اجزاء محدود رسید. میتوان نشان داد که تمام شرایط مرزی در محیط مخزن با استفاده از روش اجزاء محدود طیفی به صورت دقیق و قطری مدل میشود.
روش اجزاء محدود طیفی منجر به ماتریس جرم قطری دقیق هم برای سد و هم برای مخزن میشود. ماتریس سختی این روش نسبت به روش اجزاء محدود هم برای سد و هم مخزن تنکیتر و دقیقتر است. روش اجزاء محدود طیفی به زمان محاسبات کمتری به خصوص برای المانهای مراتب بالاتر یا سیستم بزرگتر نسبت به روش اجزاء محدود دارد. بنابراین روش اجزاء محدود طیفی روش مناسبی برای تحلیل دینامیکی سیستم سد و مخزن میباشد.
1. مقدمه
به منظور طراحی ایمن و اقتصادی سازهها لازم است برآورد دقیقی از نیروهای مؤثر بر آنها را داشته باشیم. هر چه قدر ابعاد و اهمیت سازهها افزایش یابد به همان میزان اهمیت برآوردهای دقیق و واقعیتر بارهای وارد بر این نوع سازهها افزایش مییابد.
امروزه به دلیل قابلیت روش اجزاء محدود در تعریف مدلهای ریاضی با اشکال هندسی پیچیده و مصالح مختلف، در مدلسازی سیستم سد و مخزن معمولاً آنالیز دینامیکی به طور مرسوم با استفاده از این روش انجام میگیرد. تحلیل معادلهی موج انتشاری مخزن در اندرکنش سد و مخزن به عنوان یک مسئله انتشار موج با استفاده از روش اجزاء محدود جوابهای قابل قبولی میدهد اما در روش اجزاء محدود بدون در نظر گرفتن مشکلات همگرایی، دقت کار وابسته به ابعاد مش است که مش ریزتر، دقت بالاتری داشته و طبیعتاً هزینه و زمان محاسبات را افزایش خواهد داد .
از سوی دیگر در فرکانسهای بالای بارگذاری اثر آلودگی3 روش اجزاء محدود بیشتر است. بدین معنی که، برای مسائل انتشار موج هر چه مقدار فرکانس ورودی بالاتر میرود، مدهای بالاتری در حرکت شرکت میکنند. در این فرکانسهای بالا، طول موج بسیار کوچک بوده و برای در نظر گرفتن مؤثر مدهای از مرتبه بالاتر لازم است ابعاد مش حداقل به اندازه طول موج سیگنال باشد چرا که درابعاد مش بزرگتر لبههای المان به صورت آزاد عمل کرده و شروع به منعکس کردن امواج خواهند کرد. یک مش ریزتر اگرچه معیار دقیق بودن را تضمین میکند اما هزینه محاسباتی را به صورت سرسامآوری افزایش میدهد.
روش اجزاء محدود طیفی، روشی جدید بر پایه روش طیفی است. با توجه به خاصیت نمایی توابع روش طیفی، روند همگرایی به جواب مورد نظر برای معادلات موج بسیار خوب بوده و به حل دقیقتر میانجامد که برای اعمال به هندسههای پیچیده میتوان از انعطافپذیری روش اجزاء محدود که به روش اجزاء محدود طیفی میانجامد، استفاده کرد. در این روش همگرایی جذاب طیفی با افزایش تعداد المانها یا افزایش درجهی تقریب بدست میآید.
در روش اجزاء محدود طیفی، تمامی ماتریسها به حالت تنکیتری و یا حتی قطری نسبت به روش اجزاء محدود ساخته میشوند که برای سیستمهای پیچیدهای مثل اندرکنش سد و مخزن یک مزیت بزرگ در کاهش هزینهی محاسبات است. از طرفی اثر آلودگی این روش بسیار کمتر از روش اجزاء محدود است. بنابراین روش طیفی میتواند روش مناسبی برای مسئلهی اندرکنش سد و مخزن به عنوان مسئلهی انتشار موج باشد.
2. بررسی منابع
روش اجزاء محدود طیفی در سال 1984 توسط پاترا برای مطالعهی کانال آب بر پایهی چندجملهایهای چیبیشف معرفی شد. مدل پاترا یک کانال آب با هندسهی ساده بود که با استفاده از حل معادلهی پواسون توسط روش طیفی، شارهای فشار در کانال بدست میآمد. اما با پیچیدهتر شدن هندسهی کانال، پاترا با استفاده از انعطاف پذیری روش اجزاء محدود از روش طیفی در المانها استفاده کرد و روش اجزاء محدود طیفی را بنا نهاد.
پس از آن برای راحتی استفادهی این روش و شباهت بیشتر به روند فرمولاسیون و مدلسازی در روش اجزاء محدود، پاترا کار خود را با مادای [2] در سالهای بعد بهبود بخشید و روشی بهتر بر پایهی چند جملهایهای لژاندر ساخت. با توجه به خصوصیات طیفی و جذاب این روش، اولین بار برای معادلهی موج آکوستیکی توسط دگرانده و روئک [3] استفاده شد. سپس افراد دیگری مثل پیرلو و سریانی 5]،[4 با بسط این روش در ابعاد بیشتر، از المان طیفی سه بعدی برای شبیهسازی معادله موج استفاده کردند.
با توجه به اثر آلودگی کم این روش، کوماتیتس و ترومپ [6] از این روش برای مطالعهی لرزه شناختی2و مدلسازی انتشار موج لرزهای در اعماق زمین استفاده کردهاند و در خلال کار خود قوانین سادهی مفیدی برای استفاده از این روش پیشنهاد دادهاند.
کوماتیتس و بارنز [7] از این روش برای انتشار موج در نزدیکی سطح جامد و مایع استفاده کردند. آنها مسأله را برای یک سطح اندرکنش صاف و سپس یک سطح سینوسی حل کردهاند و نتایج رضایت بخش با استفاده از این روش بدست آوردهاند.
مهدی زاده و پرسچیوو [8] معادلهی هلمهولتز با شرایط مرزی ساده که دارای جواب تحلیلی هستند را با این روش مطالعه کرده و کارایی این روش را به خوبی نشان دادهاند. آنها در کار خود از شرایط مرزی جدیدتری برای محیطهای نیمه بینهایت استفاده کرده و نشان دادهاند که در این شرایط روش اجزاء محدود طیفی نسبت به روش اجزاء محدود پایدارتر بوده و نیاز به زمان محاسباتی کمتری دارد.
بدارد و دویل [9] از روش اجزاء محدود طیفی برای اندرکنش سازه و سیال استفاده کردهاند. آنها شارهای فشار در یک کانال که دارای مقطع دوار ثابتی در مسیر آب است را مطالعه کردهاند. اسپراگ و گرس [10] با بکارگیری این روش بر پایهی جندجملهایهای لاگرانژ برای مسائل دینامیک سازهای ساده مثل تیر تیموشینکو، از این روش به عنوان جایگزینی کارآمد برای اجزاء محدود معمولی یاد کردهاند. آنها به مقایسهی اجزاء محدود مراتب بالاتر و المانهای طیفی پرداختهاند.
ژو و همکارانش [11] با بهبود این روش بر پایه چندجملهایهای چیبیشف به بررسی دقت این روش برای یک معادلهی موج آکوستیکی دارای حل تحلیلی، از جمله پارامترهای روش انتگرالگیری زمانی نیومارک، گام زمانی، نسبت مشبندی دو راستای عمود و تأثیر منبعهای موج چند قطبی پرداختهاند.
3. معادلات وابسته سیستم سد و مخزن
معادلات کوپله سیستم سد ومخزن در فرمولاسیون اویلر لاگرانژ به شکل زیر میباشد :[12]
دستگاه معادلات فوق را میتوان به شکل ماتریسی رابطه - 3 - نوشت:
در روابط فوق E=E1+E2 ماتریس شبهجرم کل سیال، ماتریس میرایی سد به روش رایلی، Q ماتریس اندرکنش،
A=A1+A2 ماتریس استهلاک کل، M ماتریس جرم سد، K ماتریس سختی سد، C u g شتاب زلزله و H ماتریس شبه سختی سیال است. اگر مرزهای محیط سیال از خطوط مستقیمی تشکیل شده باشند، انتگرال بطور خطی متناسب با طول مرز تحت انتگرال خواهد بود که در نتیجه ماتریسهای A1, A2, Q, E2 به ترتیب متناسب با طول مرزهای S1، S2، S3 و S4 خواهند بود. برای حل همزمان دستگاه معادلات، از روش تکرار استفاده میگردد. در این روش معادلات محیط سازه و سیال بطور جداگانه حل میشوند و در هر گام زمانی تا رسیدن به همگرایی مورد نظر معادلات محیط سازه و سیال به نوبت حل میشوند.
4. روش اجزاء محدود طیفی
المان طیفی ، پیشنهاد شده توسط پاترا در سال [1] 1984 برای یک کانال پلهای، استفاده هوشمندانه از ترکیب مزایا و معایب روش گالرکین طیفی با روش المان محدود در هر المان است. این بدان معنی است که ، مانند روش المان محدود، دامنه به Nel زیر دامنه غیر متداخل تقسیم میشود. همگرایی یا با افزایش درجه چندجملهایها و یا با افزایش تعداد عناصر Nel به دست میآید. توابع پایهعمولاً چندجملههای درونیاب لاگرانژ مراتب بالاتر روی نقاط انتگرالگیری گاوس- لوباتو تعریف شده در هر المان هستند. اگر Nel=1 باشد روش طیفی گالرکین بدست میآید. بازای N=1 یا N=2 روش اجزاء محدود گالرکین استاندارد متناظر خطی یا درجه دوم به دست میآید. به عنوان مثال یک المان طیفی برای N=4 روی المان استاندارد در شکل 1 نشان داده شده است.
شکل -1 نقاط لژاندر - گاوس - لوباتو روی المان استاندارد برای N=4
مانند روش اجزاء محدود نخست، هر المان را به فاصله استاندارد نگاشت میکنیم. هر انتگرال تبدیل به انتگرال استانداردی میشود که ژاکوبین تبدیل در آن وجود دارد. این تبدیل اجرای روش را تسهیل میکند. علاوه بر این، در دو و سه بعد با استفاده از المانهای ایزوپارامتریک پیچیده - از نظر شکل - میتوان هندسههای پیچیده را مدل کرد. انتخاب فرمول کوادراتور با توجه به این نیاز که خطای انتگرالگیری یکسان و یا کوچکتر از خطای تقریب است، تعیین خواهد شد. مقادیری که باید انتگرالگیری شوند، چندجملههای از مرتبه 2N-2 در ماتریس سختی و از مرتبه 2N در ماتریس جرم است.
میدانیم که فرمول گاوس بر اساس چندجملههای لژاندر بر روی N+1 نقطه برای چندجملههای تا مرتبه 2N+1 دقیق است. استفاده از کوادراتور گاوس بر اساس لژاندر - گاوس - لوباتو در فاصله استاندارد بسیار جذاب خواهد بود. این انتخاب در ترکیب با عملیات اصلی و پایه معرفی شده منجر به ماتریس جرم قطری که در چهارچوب استفاده از روشهای تکراری و یا وابسته به زمان نتیجه مهمی است را نتیجه خواهد داد.
همچنین، در دو و سه بعد شاهد کاهش چشمگیر تعداد عملیات مورد نیاز و ذخیره سازی برای ساخت ماتریس سختی خواهیم بود. نقطه ضعف این است که این کوادراتور فقط برای چندجملههای تا مرتبه 2N-1 دقیق است. با این حال مادای و پاترا [2] ثابت کردند، که اگر توابع تحلیلی باشند، این کوادراتور جذابترین خصوصیت از روش طیفی یعنی همگرایی نمایی - طیفی - را حفظ خواهد کرد
نکته قابل ذکر اینکه، هندسه نامنظم برای برخی از مسائل مورد حل با المان طیفی وجود دارد، پس برای در نظر گرفتن تغییر شکل دامنه باید از ژاکوبین مرتبه بالا در محاسبه ماتریس جرم استفاده شود. اگر ازکوادراتور GLL با N نقطه استفاده شود، این کوادراتور فقط برای چندجملهایهای تا مرتبه 2N-1 دقیق خواهد بود. اگر ژاکوبین ثابت باشد، المانهای ماتریس جرم از درجه 2N بوده و به این ترتیب دقت محاسبه آن با افزایش درجه ژاکوبین به سرعت کاهش مییابد.
نتایج تجربی نشان میدهد که بهتر است ژاکوبین با درجه بزرگتر از 2 استفاده نشود. یعنی لبههای المان طیفی باید حداکثر منحنی مرتبه دوم باشد. پس در نتیجه، روش اجزاء محدود طیفی در حالت کلی یک روش ساب پارامتریک است. هر چند که در المانهای مرتبهی اول و دوم ایزوپارامتریک است.
