بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله روش ترکیبی جدیدي براي مدل سازي انتشار امواج لرزه اي در زمین در حضور توپوگرافی ارائه میشود. در این روش از تلفیق روشهاي اجزاء طیفی - SE - و تفاضل محدود - FD - مرتبه 8 براي حل معادله مرتبه دوم موج آکوستیک در محیط هاي داراي توپوگرافی استفاده میشود. از روش SE براي مدلسازي مرز آزاد در حضور توپوگرافی استفاده میشود، جایی که روش تفاضل محدود داراي محدودیت است. اعمال شرط سطح آزاد در حضور توپوگرافی با استفاده از روش SE بسیار دقیق است.
از طرف دیگر روش FD مرتبه 8 از نظر محاسباتی بهینهتر و سریعتر از روش SE است؛ لذا براي مدلسازي دقیق انتشار موج در درون مدل و نقاط دور از مرز سطح آزاد از روش FD مرتبه 8 و براي مدلسازي انتشار موج در سطح آزاد از روش SE استفاده نمودیم. براي ترکیب دو روش یک ناحیه مشترك بین دو ناحیه FD و SE در نظر گرفته شد؛ که در این محدوده مدلسازي با استفاده از هر دو روش انجام میشود.
دقت روش ترکیبی ارائه شده - SE-FD - با دو مورد از روشهاي اعمال توپوگرافی مقایسه و ارزیابی شده است. مهمترین سختی و دشواري در تلفیق دو روش SE و FD تولید شبکه محاسباتی براي روش SE در حضور توپوگرافی است؛ که در این مقاله دو روش ساده براي حل این مشکل ارائه شده است.
1 - مقدمه
توپوگرافی سطح تاثیر بسیار زیادي بر نتایج مدلسازي انتشار امواج لرزهاي در زمین دارد. تاکنون روشهاي فراوانی براي اعمال شرط مرزي سطح آزاد در حضور توپوگرافی در مدلسازي عددي انتشار امواج لرزهاي در زمین با استفاده از روش تفاضل محدود پیشنهاد شده است؛ که عبارتند از: روش تصویرکردن - method Image - - لواندر، - 1988، تقریب پلهاي با کوچک کردن فاصله نقاط گرهی - approximation with grid refinement method Staircase - - روبرتسون، - 1996، روش ترکیبی تفاضل محدود-اجزاء محدود - finite difference-finite element method Hybrid - - موسزو و همکاران، - 1997، روش تبدیل مختصات - coordinate transformation Curvilinear - - هشتولم و راد، 1998؛ وانگ و لیو، - 2007، روشهاي مبتنی بر درون-یابی و برونیابی - immersed boundary; embedded boundary Ghost-cell - - سنج و فرزیگر، 2003؛ کریس و پترسن، 2006؛ هو، - 2016 و روش اصلاح ضرایب تفاضل محدود در نزدیکی سطح زمین surface finite difference stencil Near - - modification - مولدر، . - 2017 روش تصویر کردن فقط براي مرز صفحهاي و صاف و در واقع براي مدلهاي بدون توپوگرافی دقیق است.
روش تقریب پلهاي منجر به ایجاد بازتابهاي پخش شده مصنوعی - Artificial scattering - میشود؛ مگر اینکه فاصله نقاط گرهی را بسیار کوچک نمود. براي کاهش موثر بازتابهاي مصنوعی میبایست حداقل 60 گره در کمترین طول موج در نظر گرفت؛ که منجر به افزایش هزینه محاسباتی و یا ناپایداري عددي میشود. دشواري تولید شبکه محاسباتی و همچنین هزینه محاسباتی روش اجزاء محدود، استفاده از روش تفاضل محدود-اجزاء محدود را محدود نموده است. مهمترین اشکالات روش تبدیل مختصات عبارتند از: کارا بودن در توپوگرافیهاي بسیار ساده و هموار، ناپایداري عددي ناشی از تولید گریدهاي محلی با فاصله کوچک، افزایش دو برابري هزینه محاسباتی و مهمتر از همه پیچیدگی روش که نیازمند بدست آوردن معادلات موج در محیطهاي مختلف و همچنین معادلات مربوط به شرایط مرزي جاذب در مختصات جدید است.
روش-هاي مبتنی بر درونیابی و برونیابی میدان موج، با استفاده از مقادیر محاسبه شده میدان موج درون مدل، مقادیر مورد نیاز از بیرون از مدل - نقاط شبح - - Ghost points - را با شرط صفر بودن مقادیر روي توپوگرافی درونیابی یا برونیابی میکنند.
اساس این روشها ساده است با این وجود این روشها بصورت موضعی ناپایدار میشوند و همچنین براي توپوگرافیهاي خیلی شدید قابل استفاده نیستند - مولدر، . - 2017 مولدر - 2017 - روشی مبتنی بر اصلاح وزنهاي نقاط گرهی روش تفاضل محدود ارائه داده است؛ که فقط براي روش تفاضل محدود مرتبه دو و معادله موج آکوستیک قابل استفاده است.
در این مقاله، الگوریتمی براي تلفیق دو روش تفاضل محدود و اجزاء طیفی جهت اعمال شرط مرزي سطح آزاد در حضور توپوگرافی ارائه میدهیم. در این روش از انعطافپذیري روش SE در مواجهه با مرزهاي نامنظم از جمله توپوگرافی سطح و همچنین از بازده محاسباتی روش تفاضل محدود مرتبه 8 براي مدلسازي استفاده نمودیم. مهمترین مشکل و سختی استفاده از روش اجزاء طیفی در مدلسازي انتشار موج به روش تفاضل محدود، تولید شبکه محاسباتی است؛ که با ارئه دو روش ساده حل میشود.
2 ترکیب دو روش تفاضل محدود و اجزاء طیفی
روشهاي المان پایه - مانند اجزاء محدود و اجزاء طیفی - در مواجهه با مرزهاي نامنظم از جمله توپوگرافی سطح بسیار انعطاف-پذیر و دقیق هستند؛ که این انعطافپذیري یکی از مهمترین مزیتهاي این روشها در مقایسه با روش تفاضل محدود است
با این حال، این روشها نیازمند حافظه و هزینه محاسباتی بیشتري نسبت به روش تفاضل محدود هستند. بنابراین، روش تفاضل محدود همچنان از نقطه نظر هزینه محاسباتی بسیار پرکاربردتر از روشهاي المان پایه است. براي استفاده از انعطافپذیري روشهاي المانی در مواجهه با توپوگرافی سطح آزاد و همچنین استفاده از بازده محاسباتی روش تفاضل محدود، با تقسیم محیط محاسباتی به سه زیربخش، دو روش را ترکیب و تلفیق نمودیم - مطابق شکل . - 1 در محدوده SE، نزدیک توپوگرافی سطح، از حل معادله موج با استفاده از روش اجزاء طیفی استفاده نمودیم. در محدوده SE، شرط مرزي سطح آزاد با صفر قرار دادن فشار در عبارت مرز در معادله انتگرالی موج اعمال میشود
شرط مرزي براي پایین محدوده SE نیز آزاد در نظر گرفته شدهاست. در محدوده FD، ما از تقریب تفاضل محدود مرتبه 8 براي گسستهسازي مشتقات مکانی و از تقریب تفاضل مرکزي مرتبه دوم براي مشتقات زمانی معادله موج استفاده نمودیم. براي گسستهسازي مکانی، 4/5 گره در کمترین طول موج در هر دو محدوده SE - و - FD در نظر گرفتهشده است. یک ناحیه مشترك SE+FD - در شکل - 1 براي برقراري ارتباط بین دو محدوده FD و SE در هر گام زمانی در نظر گرفته شدهاست. پهناي این لایه مشترك مرزي لازم است حداقل به اندازه 5-4 نقطه گرهی تفاضل محدود باشد تا از بازتابهاي مصنوعی در مرز محدوده دو روش جلوگیري نماید.
در حقیقت، این لایه مرزي مشترك براي جلوگیري از بازتاب-هاي مرزي ناشی از مرز پایین محدوده SE که مرز آزاد در نظر گرفته شدهاست، ضروري است. در این محدوده مشترك، معادله ترکیب روشهاي تفاضل محدود و اجزاء محدود براي اعمال توپوگرافی سطح آزاد در مدلسازي انتشار موج - معادله - 1 با استفاده از هر دو روش تفاضل محدود مرتبه 8 و اجزاء طیفی در هر گام زمانی حل میشود. سپس، قبل از رفتن به گام زمانی بعدي، ما به سادگی مقادیر میدان موج محاسبه شده با استفاده از روش SE را با مقادیر متناظر بدست آماده از روش FD جایگزین نمودیم.
براي حل مشکل تولید شبکه محاسباتی در محدوده SE، دو روش پیشنهاد کردیم که در شکل 1 نشان داده شدهاست. روش اول - شکل - - a - 1 در محدوده SE از المانهاي منحنی شکل مشابه شبکه محاسباتی مورد استفاده در روش تبدیل مختصات - وانگ و لیو، - 2007 استفاده مینماید. استفاده از این روش و اعمال آن در برنامههاي کامپیوتري ساده است ولی مشابه روش تبدیل مختصات براي توپوگرافیهاي ساده و هموار به خوبی کار میکند.
با این وجود، روش پیشنهاد شده در این مقاله نسبت به روش تبدیل مختصات ارجح است؛ چراکه نیازي به تغییر و تبدیل معادلات موج به مختصات جدید نیست. از طرف دیگر، روش ارائه شده در این مقاله هزینه محاسباتی را افزایش نمیدهد، درحالی که روش تبدیل مختصات هزینه محاسباتی را حداقل دو برابر میکند؛ چراکه معادلات موج تبدیل یافته در مختصات جدید بسیار پیچیدهتر میشود
روش دوم ارائه شده براي تولید شبکه محاسباتی - شکل - - b - 1 سعی در حل مشکلات روش اول دارد. در این روش مطابق شکل - b - 1، در ابتدا مشابه روشهاي تخمین پلهاي و همچنین روشهاي مبتنی بر درونیابی و برونیابی، هندسه سطح آزاد بصورت پلهاي گسستهسازي میشود. سپس فاصله بین نقاط پلهاي و هندسه سطح با یک ردیف المان اضافی پر میشود.
کیفیت این روش با استفاده از المانهاي مثلثی به جاي استفاده از المانهاي چهارضلعی بهبود مییابد. لازم به ذکر است که در پلهاي کردن هندسه سطح مشابه مولدر - 2017 - ، از این قید استفاده نمودیم که نقاطی که بسیار نزدیک به سطح با فاصله کمتر از نصف فاصله دو گره شبکه محاسباتی قرار میگیرند، از نقاط پلهاي حذف میشوند. از طرف دیگر باید توجه داشت که تولید شبکه محاسباتی و محاسبه ماتریسهاي جرم و میرایی در الگوریتم برنامهنویسی روش، قبل از حلقه زمانی انجام میشود؛ لذا برخلاف سایر روشهاي مبتنی بر درونیابی و برونیابی هزینه محاسباتی قابل توجهی به شبیهسازي اضافه نمیکند.
شکل .1 شماتیک روش ترکیبی SE-FD براي اعمال توپوگرافی سطح آزاد با استفاده از دو روش مختلف تولید شبکه محاسباتی. - a - شبکه محاسباتی ساده با استفاده از المانهاي منحنی و ایده تبدیل مختصات و - b - روش پلهاي و پر کردن فضاي خالی بین شبکه پلهاي و توپوگرافی سطح با استفاده از یک ردیف المان اضافی.
3 مثال عددي
براي بررسی عملکرد روش پیشنهاد شده در این مقاله، ما آن را با روش پلهاي و روش برونیابی نقاط شبح Embedded - - boundary method - سنج و فرزیگر، - 2003 مقایسه نمودیم. شکل - a - 2 نشانگر یک مدل همگن با سطح شیبدار و شبکه محاسباتی متناظر با آن است. در شکل - d-b - 2 میدان موج منتشر شده در مدل پس ا ز 0/3ثانیه بترتیب با استفاده از روش-هاي پلهاي، برونیابی نقاط شبح و روش پیشنهاد شده SE-FD نشان داده شده است. این شکل نشان دهنده دقت و بازده روش ترکیبی SE-FD در مقایسه با دو روش دیگر است.
