بخشی از مقاله
چکیده
در مطالعه حاضر، روش اجزاء محدود طیفی برای تحلیل ارتعاش اجباری ورقهای مستطیلی نسبتاً ضخیم دارای تکیهگاه ساده در دو لبه موازی و با شرایط مرزی دلخواه در سایر لبهها بر اساس تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول توسعه مییابد. فرض حل لوی برای تبدیل مسئله دوبعدی به یک مسئله یک بعدی استفاده شد. اولین قدم در روش اجزاء محدود طیفی، تبدیل معادله دیفرانسیل حاکم از حوزه زمان به حوزه فرکانس به وسیلهی تئوری تبدیل فوریه گسسته است. سپس ماتریس سختی المان طیفی با استفاده از توابع شکل دینامیکی وابسته به فرکانس که از حل دقیق معادله دیفرانسیل حاکم بهدست میآیند، فرمولبندی میشود. صحت و عملکرد عالی روش اجزاء محدود طیفی با نتایج به دست آمده از روشهای تحلیلی شکل بسته در پژوهشهای پیشین مقایسه شد. در نهایت نتایج گستردهای برای تغییرمکان عرضی ورق مستطیلی نسبتاً ضخیم با شش ترکیب مختلف از شرایط مرزی ارائه شد؛ که این نتایج میتوانند به عنوان معیاری برای مقایسه صحت و دقت روشهای عددی مورد استفاده قرار گیرند.
واژههای کلیدی: روش اجزاء محدود طیفی، تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول، حل دقیق، تبدیل فوریه گسسته، ارتعاش اجباری
-1 مقدمه
ورقها سازههای دو بعدی مسطحی که به طور گسترده در انواع زمینههای مهندسی از جمله مکانیک، هوافضا، کشتی سازی، خودرو، هستهای، پتروشیمی، نفت و مهندسی عمران مورد استفاده قرار گیرد. بررسی خصوصیات دینامیکی ورقها و سازههای ورقی به دلیل جلوگیری از گسیختگی و خستگی ضروری به نظر میرسد. بارهای دینامیکی ممکن است به وسیله ضربه موج، تندبادها، حرکت خودرو، ماشنآلات دوار نامتعادل، انفجار و بارهای لرزهای بوجود آید. به طور کلی روشهای حل مسائل دینامیک ورقها به دو دسته به نامهای روشهای تقریبی و روشهای دقیق تقسیم می شوند.روشهای تحلیلی دقیق یا حلهای شکل بسته به دلیل بهدست آوردن نتایج دقیق بهطور قابل توجهی در نظر گرفته میشوند. ردی و پن [1]
فرکانسهای طبیعی دقیق ورقهای مستطیلی ایزوتروپیک، ارتوتروپیک و لایهای وقتی که همه لبهها تکیهگاه ساده هستند، را به وسیله تئوری تغییرشکل برشی مرتبه بالاتر به دست آوردند. یانگ و وی [2] تحلیل ارتعاش آزاد ورقهای میندلین مستطیلی ضخامت پلهای با دو لبهی متضاد تکیهگاه ساده و دو لبهی دیگر دارای هر ترکیبی از شرایط مرزی آزاد، گیردار یا تکیه گاه ساده را مورد مطالعه قرار دادند. حسینیهاشمی و ارسنجانی ارتعاش آزاد ورقهای مستطیلی همسانگرد را بر اساس تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول مورد بررسی قرار دادند .[3] از آنجایی که روش حل شکل بسته ذکر شده در
بالا ماتریس سختی را توسعه نمیدهد، کاربرد این روش برای ورقهای سر هم شده و سازههای ورقی امکانپذیر نیست.
برای بر طرف کردن این محدودیت، میتوان از روش های براساس تحلیل ماتریس سختی استفاده کرد، که در آن ورق ها یا سازههای ورقی به چندین نوار محدود مجزا تقسیم می شود. در این روشها ماتریس سختی هر یک از این نوارها بهدست می آید. سپس بهوسیلهی سرهم کردن این ماتریسها، ماتریس سختی کل سازه ورقی استخراج می شود. روش نوار محدود دقیق - EFSM - ، روش سختی دینامیکی - DSM - و روش اجزاء محدود طیفی - SFEM - از جمله روشهای دقیقی هستند که دارای این قابلیت هستند و مورد توجه محققین زیادی قرار گرفته شدهاند.حاتمی و همکاران یک روش نوار محدود دقیق برای ورقهای مرکب لایهای [4] و ورقهای ویسکوالاستیک [5] تحت نیروهای درون صفحه ای به وسیله تئوری کلاسیک ورق را توسعه دادند.
همچنین با ارائه یک مجموعهای از مثال های عددی تاثیر سرعت حرکت ورق و تکیهگاههای داخلی بر فرکانسهای ارتعاش آزاد ورقهای در حال حرکت محوری مورد مطالعه قرار گرفت .[5-4] با استفاده از روش سختی دینامیکی باسکل و بانرجی تحلیل ارتعاش آزاد ورقهای مستطیلی همسانگرد [6] و ورقهای مرکب [8- 7] را بر اساس تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول ارائه کردند. با توجه به قابلیت روش سختی دینامیکی فرکانسهای طبیعی و شکلهای مودی ورقهای ضخامت پلهای و پانلهای مقاوم شده L و امگا در مراجع [8-6] به دست آورده شدند.اولین قدم در روش سختی دینامیکی تبدیل معادلههای دیفرانسیل حاکم از حوزه زمان به حوزه فرکانس بهوسیلهی فرض حلهای هارمونیک است.
سپس، ماتریس سختی دینامیکی به وسیله توابع شکل دینامیکی وابسته به فرکانس که از حل دقیق معادله دیفرانسیل به دست میآیند، فرمولبندی می شود. با وجود توانمند بودن روش سختی دینامیکی در حل مسائل ارتعاش آزاد - مقادیر ویژه - ، اما به دست آوردن پاسخهای دینامیکی حوزه زمان در ارتعاش اجباری با استفاده از این روش امکانپذیر نیست.روش اجزاء محدود طیفی ترکیبی از روش سختی دینامیکی و روش تحلیل طیفی است. روش اجزاء محدود طیفی پاسخهای دینامیکی در حوزه فرکانس با توجه به استفاده از توابع شکل دینامیکی، فراهم میکند. در روش اجزاء محدود طیفی پاسخ های دینامیکی از برهم نهش تعداد محدودی از مودهای موج مربوط به چندین فرکانس گسسته بر اساس تئوری تبدیل فوریه ی گسسته به دست میآید.
در بسیاری از علوم از جمله مهندسی عمران، مکانیک، خاک، سازههای هیدرولیک، سیالات و دیگر علوم روش اجزاء محدود طیفی علوم برای تجزیه و تحلیل رفتار دینامیکی سازههای مختلفی مورد استفاده قرار میگیرد. مجموعهای از کارهای استخراج شده توسط دویل و همکاران در مرجع [9] یافت میشود. روش اجزاء محدود طیفی برای ورقهای همسانگرد تحت بارهای دینامیکی نقطهای و گسترده توسط لی و لی [10]، ورقهای در حال حرکت محوری با سرعت ثابت تحت کشش محوری درون صفحهای یکنواخت توسط کیم و همکارانش [11]، سازههای مرکب توسط چاکرابورتی و گوپالاکریشنان [12] و تیر-ورقهای در حال حرکت محوری تحت بارهای حرارتی خارجی ناگهانی توسط کوان و لی [13] بر اساس تئوری کلاسیک ورق فرمولبندی شد. وانگ و اونال [14]
یک حل صحیح و کارآمد برای ارتعاش آزاد ورقهای مستطیلی ضخامت پلهای با شرایط مرزی مختلف که به ورقهای نوع لوی محدود نیستند، را توسعه دادند. در این مطالعه روش کانترویچ، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را به مجموعهای از معادلات جبری خطی کاهش میدهد و یک شکل حل تقریبی تحلیلی برای تحلیل سازه ها فراهم میکند. حاجحیدری و میردامادی ارتعاش آزاد و اجباری ورقهای مرکب لایهای ضبدری متقارن [15] و نامتقارن [16] براساس تئوری کلاسیک ورقهای لایه ای را بررسی نمودند. با توجه به مقالات منتشر شده تاکنون پاسخهای دینامیکی ورقهای مستطیلی نسبتاً ضخیم همسانگرد با استفاده از روش اجزاء محدود طیفی توسط هیچ محققی در نظر گرفته نشده است و استفاده از این روش برای تحلیل سازههای دو بعدی محدود به ورقهای نازک است.
در مطالعه حاضر، روش اجزاء محدود طیفی برای تحلیل ارتعاش اجباری ورقهای مستطیلی نسبتاً ضخیم دارای تکیهگاه ساده در دو لبه موازی و با شرایط مرزی دلخواه در سایر لبه ها - به عبارت دیگر ورقهای مستطیلی نوع لوی - بر اساس تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول توسعه مییابد. بهوسیلهی این فرمولبندی میتوان پاسخهای دینامیکی ورق مستطیلی را برایشش ترکیب مختلف از شرایط مرزی کلاسیک به نامهای CC، CS، FC، FF، FS و SS ارائه کرد. همگرایی پاسخهای دینامیکی ورق تحت بارهای دینامیکی برای مشارکت تعداد مختلف نیمموج طولی در راستای y و فواصل زمانی نمونهبرداری بررسی شد. پاسخهای دینامیکی برای بارهای متناوب و ضربهای در حوزه فرکانس و حوزه زمان بهدست میآیند. پاسخ های دینامیکی با حلهای تحلیلی قابل دسترس برای اطمینان از صحت و دقت نتایج مقایسه شدند.
-2 معادله حرکت
بهدست آوردن معادله دیفرانسیل حاکم بر حرکت گام اول در گسترش ماتریس سختی المان طیفی یک سیستم الاستیک پیوسته است.یک ورق مستطیلی نسبتاً ضخیم با طول Ly، عرض Lx و ضخامت یکنواخت h، همانطوریکه در شکل 1 نشان داده شده است، در نظر بگیرید. میدانهای جابجایی ورق در راستای x، y و z بهترتیب به وسیله u - x,y,z,t - ، v - x, y z,t - و w - x,y,z,t - ارائه می شوند. میدانهای جابجایی برای ورق نسبتاً ضخیم بر اساس تئوری تغییرشکل برشی مرتبه اول و بدون حرکت درون صفحهای - u0=v0=0 - به صورت زیر تعریف میشود.که y و x تغییر مکانهای چرخشی در صفحه میانی ورق به ترتیب حول محورهای y و x، و w0 تغییرمکان عرضی هستند. t متغیر زمان است.
میتوان معادلههای دیفرانسیل حاکم بر رفتار ورق را بر حسب تغییر مکانهای w0، x و y بیان کرد .[17]که - G E / 2 - 1 مدول برشی، E مدول یانگ - یا مدول الاستیسیته - ،نسبت پواسون و ρ چگالی جرم مصالح ورق است. ممانهای خمشی Mxx، پیچشی Mxy و نیروی برشی عرضی Qx به دست آمده از تنشهای داخلی مطابق با قرارداد علامت نشان داده شده در شکل 1 به صورت زیر تعریف میشوند.
