بخشی از مقاله
خلاصه
آنالیز عددی سازه های دارای ترک به دلیل پیچیدگی ذاتی سالیان زیادی است که توجه محققان را به خود معطوف کرده است و تکنیکهای مختلفی برای اینگونه مسائل پیشنهاد شده است. یکی از این تکنیکها روش اجزای محدود بسط یافته می باشد که در آن با غنی سازی توابع شکلی با توابع تکین، مدل سازی رفتار نزدیک ترک بهبود می یابد.
در تکنیک دیگر که روش اجزای محدود تطابقی نام دارد، با همان توابع شکل کلاسیک ابعاد المانها به گونه ای تغییر داده می شوند که شبکه اجزای محدود خود را با مساله تطبیق داده و رفتار منطقه اطراف ترک با دقت مطلوب مدل شود. محققین در بررسی این تکنیکها به مشکلات و نقاط ضعف موجود در آنها در مسائل خاص اشاره نموده اند. در این مقاله هدف، ترکیب مناسب این دو تکنیک و پوشاندن نقاط ضعف تکنیکهای قبلی می باشد.
1. مقدمه
حل مسائل ترک به دلیل وجود ناپیوستگی در میدان جابجایی و تکین بودن میدان تنش در نوک ترک همواره جزو مسائل چالش برانگیز در رشته های مختلف مهندسی بوده است. به خصوص در استفاده از روش های عددی، روش هایی که در مسائل بدون ترک به خوبی جواب مساله را مدل می کنند، در مسائل دارای ترک جواب های واگرا و کاملا دور از جواب تحلیلی مساله را می دهند. بنابر این برای بهبود روش های عددی در تحلیل مسائل ترک تکنیک های مختلفی توسط محققین مختلف پیشنهاد گشته است.
یکی از این تکنیک ها روش اجزای محدود بسط یافته می باشد که ایده ی اصلی این روش بر مبنای اصل تقسیم بندی جزء واحد - partition of unity - می باشد که توسط بابوشکا و ملنک [1] ارائه گردید. بعد از آن بلیچکو و بلک [2] با اضافه کردن توابع غنی سازی برای محاسبات ترک در روش اجزای محدود با حداقل مش بندی مجدد توانست سنگ بنای این روش را بنا نهد. در ادامه داوکس و همکاران این تکنیک را برای ترکهای چندشاخه استفاده نمودند
به موازات این روش، تکنیک اجزای محدود تطابقی برای مدلسازی دقیق رفتار مسائل دارای ترک مورد استفاده قرار گرفته است. این روش نیز سعی دارد با ارائه ی اصلاح شبکه خطاهای ایجاد شده که تحت تاثیر نحوه شبکه بندی می باشند را کاهش دهد.
زینکویچ و همکاران [4] با هموارسازی پاسخ اجزای محدود در شبکه، یک پاسخ بهبود یافته در شبکه پیشنهاد کردند که بر مبنای آن می توان خطای موجود در قسمتهای مختلف شبکه را تخمین زد. زینکویچ و ژو [5] روش SPR را برای بهبود پاسخ اجزای محدود پیشنهاد نمودند که مقدار خظا را به ضورت دقیقتری پیش بینی می نمود.
خوئی و همکاران [6] روش SPR را به صورت وزن دار برای برآورد خظای شبکه پیشنهاد نمودند که به خصوص در مسائل ترک مقادیر خطا را به صورت واقعی تر برآورد می نمود.
با وجود آنکه در روش اجزای محدود بسط یافته نیاز به تولید مجدد شبکه برای دنبال کردن مسیر ترک با کمک توابع غنی سازی از بین می رود. ولی همچنان مشکلاتی نظیر خطای شبکه در محل نوک ترک، تغییر شکل بیش از حد المان ها و به هم ریختن ساختار آن و مواردی از این دست نیاز به استفاده از ع ملیات تولید مجدد شبکه را ضروری می سازد. در این مقاله هدف استفاده همزمان از توابع غنی سازی - برای مدل سازی ناپیوستگی تابع جابجایی - و تولید مجدد شبکه - برای کاهش خطای جواب در منطقه اطراف ترک - می باشد.
به این منظور ابتدا کلیات روش اجزای محدود بسط یافته توضیح داده شده است و سپس روش تولید مجدد شبکه بر اساس روش زینکویچ و همکاران [4] بیان شده است.در ادامه نحوه اعمال آن برای روش اجزا محدود بسط یاقته توضیح داده شده است. برای کنترل بهبود کیفیت جواب از پارامتر ضریب شدت تنش استفاده شده است و برای محاسبه ی آن از خروجی ه ای روش اجزا محدود و تکنیک همبستگی جابجایی ها استفاده شده است. در انتها برای نشان دادن موثر بودن روش، این تکنیک را برای دو مثال پیاده سازی کرده و متایج را با نتایج تحلیلی مقایسه کرده ایم. در این مقاله بر روی مسائل دو بعدی کار شده است و مساله ترک با فرضیات مکانیک شکست الاستیک خطی LEFM حل شده است.
2. توابع غنی سازی
به منظور مدلسازی ترک و رفتار آن در روش اجزا محدود بسط یافته بایستی از توابعی موسوم به توابع غنی سازی استفاده نمود. سانداراجان [7] برای توابع غنی سازی توابع زیر را پیشنهاد نمود که این روابط برای مسائل ایزوتروپ قابل استفاده می باشد .
در روابط فوق N مجوعه ی نقاط موجود در روش اجزا محدود استاندارد می باشد. Ncut مجموعه نقاطی هستند که ترک از المان های آن ها عبور کرده است و در اصطلاح آن ها را بریده است این نقاط در شکل با دایره مشخص شده است . Nfront مجموعه ی نقاطی است که نوک ترک در المان های آن ها قرار گرفته است. Ni نیز توابع شکل استاندارد در روش اجزا معمولی استاندارد می باشد . H نیز تابع پرش هویساید می باشد که در صورتیکه نقطه ی مورد نظر بالای ترک باشد + 1 و در صورتیکه پایین ترک باشد -1 در نظر گرفته میشود ، تابع B نیز از پاسخ تحلیلی میدان اطراف نوک ترک نشأت گرفته است و به صورت زیر بیان میگردد :
3. انتگرال گیری
به دلیل وجود ناپیوستگیِ توابع هویساید که در ماتریس شکل ایجاد میگردند، انتگرال گیری به روش های عادی ، نظیر استفاده از روش گاوس کارساز نیست و دقت لازم در انتگرال گیری وجود ندارد ، در این خصوص روش های متعددی وجود دارد که یکی از آنان روش پیشنهادی دالبو و همکاران می باشد . [8] در این روش المانی که از آن ترک عبور کرده است به زیر المان های مثلثی تقسیم می شود و انتگرال گیری بر اساس این زیر المانها محاسبه می گردد.شکل .1 نمونه ای از تقسیم بندی این زیر المان ها را به تصویر میکشد.
شکل .1 زیر المان مثلثی منطقه ترک
4. اجزا محدود تطابقی
اجزا محدود تطابقی یک روش مناسب برای یافتن بهترین المان بندی با استفاده از جواب های مساله می باشد. با استفاده از این تکنیک میتوان مسائل مختلف روش اجزاء محدود را با دقت مناسب و مورد نیاز محاسبه نمود. برای رسیدن به یک مش بندی مناسب ابتدا بایستی جواب های اجزا محدود ناشی از المان بندی دلخواه را با استفاده از متوسط گیری به روی گره های موجود برد. در واقع تنش ها به جای اینکه در المان ها بیان شوند در گره های اطراف المان بیان میشوند. سپس با استفاده از توابع شکل جواب بهبود یافته در نقاط گاوس محاسبه میگردند. رابطه ی 3 نشان دهنده ی نحوه محاسبه تنش های بهبود یافته می باشد.
از آنجایی که جواب های بهبود یافته دارای تقریب مناسب تری نسبت به جواب های واقعی مساله می باشد، لذا میتوان از اختلاف دو جواب بهعنوان خطای تقریب مساله استفاده نمود.
که ˆ جواب مساله در گره ها میباشد. تعریف فوق مقدار خطای برآورد شده را در تک تک نقاط دامنه می دهد، ولی برای ریزسازی شبکه معیار مناسبی نمی باشد. چرا که ممکن است در یک نقطه خاص مثل نوک ترک تنش به سمت بی نهایت برود که خطا در این نقطه بسیار بالا خواهد بود ولی در مجموع خطای کل جواب قابل قبول باشد. از این رو به جای خطای نقطه به نقطه نرم خطا تعریف می شود که به صورت انتگرال عددی از تابع خطا روی دامنه است. یکی از معروفترین نرمهای خطا، نرم L2 می باشد که در واقع همان جذر مجموع مربعات، ولی به صورت تابع پیوسته می باشد.
اینک برای اینکه بتوان اجزا محدود تطابقی را بر مدل اعمال نمود بایستی بر اساس خطای بدست آمده در هر گره چگالی جدیدی ارائه نمودتا بوسیله ی آن چگالی، اصلاح مش صورت گیرد. بنابر این چگالی جدید المان ها از رابطه ی زیر قابل محاسبه می باشد
در رابطه ی فوق i aim eσ - خطای هدف می باشد که بستگی به دقت مورد نیاز در مساله تعیین میگردد. نیز خطای موجود در هر گره می باشد.
5. برآورد فاکتور شدت تنش
برای برآورد فاکتور شدت تنش نیز از روش تقریبی Displacment Correlation Method استفاده شده است. در این روش بر اساس جابجایی های اطراف نوک ترک میزان فاکتور شدت تنش برآورد می گردد. از جمله محاسن این روش می توان به سادگی آن و همچنین تفکیک خودکار مودها اشاره داشت، همچنین تن ها به جابجایی های اطراف گره وابسته است و پارامتر دیگری در آن دخیل نمی باشد. البته این روش نسبت به سایر روش های دیگر که برای برآورد فاکتور تنش استفاده می شوند، تقریبی تر می باشد. با استفاده از روابط تحلیلی تنش می توان ضریب شدت تنش مود های یک و دو را از روابط زیر محاسبه نمود.
